2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准.doc

2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分 2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次一．选择题（本题满分30分，每小题5分）1．已知集合．当时，实数的取值范围是（ ）．(A) . (B). 或 (C). (D)．或1. (B). 2．过原点的直线l交双曲线于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ的最短长度是（ ）．(A) . (B). (C). (D)．42. (D)．3．设均为非零复数，令，若，则的值为（ ）．(A) . 1 (B). (C). (D)．3. (C). 4．设是上的单调函数，且对任意，都有．若是方程的一个解，且，则的值为（ ）．(A) . 1 (B). 2 (C). 3 (D)．44. (B)． 5．内直径为，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（ ）．(A) . 30 (B). 33 (C). 36 (D)．395. (C)． 6．已知实数满足．则的最大值是（ ）．(A) . 7 (B). (C). (D)．3 6. (A) . 二．填空题（本题满分30分，每小题5分）7．若，则的最大值是 ．7. . 8．长方体中，，则异面直线与的距离为 ．8. . 9．椭圆的离心率为，斜率为1且过点的直线与椭圆交于A、B两点．设O为坐标原点，若，则该椭圆的方程是 ．9. . 10．将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有 种．10. . 11．已知函数设方程在区间内所有实根的和为，则数列{}的前项和= ．11. . 12．数列{}中，，则此数列的通项公式= ．12. . 三．解答题13．设关于的方程有两个实根，函数.（1）求的值；（2）判断在区间的单调性，并加以证明；（3）若均为正实数，证明：.13. 解: (Ⅰ)∵是方程的两个根， ∴，∴ ，∴，同理可得 ∴， ………………（5分）（Ⅱ）∵，当时，，∴在上单调递增． ………………………（10分）（Ⅲ）∵，，∴ ∴由（Ⅱ）可知，，同理， ∴， ……………………………（15分）由（Ⅰ）可知，，，，∴，∴． ……………………（20分）14.已知数列{}满足为实数）．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若=-2，求证：．14. 解: (Ⅰ)当时，由得，即时，. …………………………（5分）下面证明当时，.当时，成立；设当时，成立；则当时，，故对所有，成立.当时，成立， 故对所有，成立.综上，的取值范围是. ……………………………（10分）（Ⅱ）当时， （），（）， …………………（15分）. ……………（20分）15．如图，锐角△ABC中，AB