专题五不等式与线性规划学案.doc

专题五 不等式与线性规划(学案)【必考内容要求】（一）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2．一元二次不等式（1） 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2） 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3） 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.（二）二元一次不等式组与简单线性规划问题（1） 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2） 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3） 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【知识梳理】1．一元二次不等式的求解步骤： 一变、二求、三画、四结论．2．一元二次不等式恒成立的条件设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则ax2＋bx＋c＞0恒成立(解集为R)⇔y＝f(x)图象恒在x轴上方⇔f(x)min＞0⇔ax2＋bx＋c＜0恒成立(解集为R)⇔y＝f(x)图象恒在x轴下方⇔f(x)max＜0⇔3．三个“二次”的关系 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．4．对于给定集合M和给定含参数的不等式f(x) ＞0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”： (1)若M是f(x)＞0的解集，则由M＝{x|f(x)＞0}来求； (2)若f(x)＞0在M上有解，则由M∩{x|f(x)＞0}≠∅来求； (3)若f(x)＞0在M上恒成立，则由M⊆{x|f(x)＞0}来求．5．均值不等式I.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）II. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）IV.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）V.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．6．简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义！通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关.【热点分类突破】热点一　一元二次不等式【例1】 解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0.解　不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0，即(ax－1)(x－2)＜0. (1)当a＞0时，不等式可以化为(x－2)＜0.①若0＜a＜，则＞2，此时不等式的解集为；②若a＝，则不等式为(x－2)2＜0，不等式的解集为∅；③若a＞，则＜2，此时不等式的解集为.(2)当a＝0时，不等式即－x＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．(3)当a＜0时，不等式可以化为(x－2)＞0.由于＜2，故不等式的解集为∪(2，＋∞)．综上所述，当a＜0时，不等式的解集为∪(2，＋∞)；当a＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0＜a＜时，不等式的解集为；当a＝时，不等式的解集为∅；当a＞时，不等式的解集为.[规律方法] 含有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下，按照本题的方法求解，但如果不能根据因式分解的方法求出其根，则需要按照不等式对应方程根的判别式的情况进行分类．【训练1】 (1)已知关于x不等式＞0解集 (－∞，－1)∪，则a＝________.(2)(2013·安徽卷改编)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为______．热点二　含参不等式恒成立问题【例2】 不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对任意a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________． [规律方法] 含有多变量的不等式是近年来考查热点，要将不等式逐个看成关于某一变量的不等式，其它变量先看作常数，这样可以逐步减少变量个数，同时要看清是恒成立还是有解．【训练2】 已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．热点三　线性规划问题【例3】 (1)(2013·苏锡常镇调研)设实数n≤6，若不等式2xm＋(2－x)n－8≥0对任意x∈[－4,2]都成立，则的最小值为________．(2)(2013·陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________． [规律方法] 线性规划是不等式的重要内容，与函数的综合是常见题型，一般方法是利用线性规划求出某个中间变量的取值范围，再利用换元法、导数等方法求最值。

训练3】已知向量a＝(x－z,1)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式组则z的取值范围是________．热点四　均值不等式问题【例4】 求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋【训练1】已知，求函数的最大值训练2】求函数的值域押题精选】（一）、选择题1.【2009理海南宁夏理6文6】设满足则（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值2.【2010年新课标卷文11】已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）3【2012年新课标卷文5】已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则的取值范围是（A）(1－，2) （B）(0，2) （C）(－1，2) （D）(0，1+)4.【2013年新课标卷2理9】已知a＞0，x，y满足约束条件 ,若z=2x+y的最小值为1，则a=(A) (B) (C)1 (D)25. 【2013年新课标卷2文3】设满足约束条件，则的最小值是（ ）（A） （B） （C） （D）（二）、填空题 1.【2011年新课标卷理13文14】若变量满足约束条件则的最小值为 。

2.【2012年新课标卷理14】设满足约束条件：；则的取值范围为 3.【2013年卷1文】设满足约束条件 ，则的最大值为______4.若，则的大小关系是 .5.若实数满足，则的最小值是 .【高考试题汇编】1. （安徽11）若满足约束条件：；则的取值范围为2. 北京2．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A） （B） （C） （D）3.福建9.若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A． B．1 C． D．24.广东5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为( ) 5.（2009浙江卷文）若实数满足不等式组则的最小是 ． 6.（2009北京文）若实数满足则的最大值为 .。