圆的知识点,推荐文档.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -1第三章 圆一．与圆相关的概念1. 圆： 平面上到定点的距离等于定长的全部点组成的图形叫做圆；定点称为圆心，定长称为半径 . 【圆心打算圆的位置，半径打算圆的大小，圆心和半径确定了，圆就确定了】2. ①圆弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，等于半圆的弧叫半圆 .②等弧： 在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫等弧；等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等） .等弧也可以通过它所对的圆心角、圆周角、弦来进行判定，详细地说：a. 在同圆或等圆中，所对的圆心角相等的两段弧是等弧；b. 在同圆或等圆中，所对的圆周角相等的两段弧是等弧；c. 在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧；【 温馨提示 ：半圆是弧，半圆形不是弧； 弧的度数等于弧所对的圆心角的度数 . 】3. 弦： 连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径；圆中最长的弦是直径 .【 温馨提示 ：一条弦对着两条弧，对着两个圆心角（挑选题），一般让求“弦所对的圆心角的度数”，指的是“弦所对的小于 180 °的那个圆心角”（填空题）；一条弧对着一条弦，对着一个圆心角】4. 圆心角 ：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角 . 【圆心角∠ AOB的取值范畴是 0 °＜∠ AOB＜ 360 °】5. 圆周角： 顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角 .6. 外心： 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形 . 三角形外接圆的圆心（外心）到三角形三个顶点的距离相等 .【 温馨提示 ：三角形三边垂直平分线的交点叫三角形外接圆的圆心 ; 三角形有且只有一个外接圆，但圆有很多个内接三角形】以下图为例 O为外接圆的圆心，即外心 .1 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -2温馨提示：锐角三角形外接圆的圆心（外心）在它的内部； 直角三角形外接圆的圆心（外心）在它斜边的中点上〔R=c 〕 ；钝角三角形外接圆的圆心（外心）在它的外部 .27. 内心： 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形 . 三角形内切圆的圆心（内心）到三角形三边的距离相等 .【 温馨提示 ：三角形 三条角平分线的交点叫内切圆的圆心 ; 三角形有且只有一个内切圆，但圆有很多个外切三角形】附注： ①等边三角形的内切圆和外接圆设等边△ ABC的边长为 a，内切圆的半径为 r ，就有 r3 a ，外接圆半径 R= 3 a6 3②直角三角形内切圆设 Rt △ ABC两直角边分别为 a、 b，斜边为 c ，内切圆半径为 r ，就有 r四边形 IDCB 为正方形 ，边长 ID=r.三角形的外接圆和内切圆比较1 〔a b 2c〕 或 raba b c，其中名称 确定方法 图形 性质1. OA=OB=OC〔即圆心到三角形三个顶外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点 .点的距离相等 〕.2. 外心不肯定在三角形的内部 .2 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -内心：三角形内切圆的圆心三角形三条内角平分线的交点 .31. 圆心到三边的距 离 相 等 . 2.OA 、 OB、 OC分别平分∠ BAC、∠ ABC、∠ ACB.3. 内心在三角形内部 .等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为 2:1 （如图 1）直角三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为c : a b2 2c = c : 〔 a bc〕 （如图 2）等腰三角形的内心和外心虽然不同，但都在底边的垂直平分线上 .三角形外接圆半径的求法R ab 2h【即三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商】三角形内切圆半径 r 的求法∵ S△ ABC1 〔a2b c〕r∴ r 2S△ ABCa b c二．圆的确定： 不在同始终线上的三个点确定一个圆；过不在同一条直线上的三点作圆的做法：3 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -4三．与圆相关的位置关系1. 点与圆的位置关系（ 1）点在圆内dr点 C 在圆内；（ 2）点在圆上dr点 B 在圆上；（ 3）点在圆外dr点 A 在圆外；2. 直线与圆的位置关系（ 1）直线与圆相离dr无交点；（ 2）直线与圆相切dr有一个交点；（ 3）直线与圆相交dr有两个交点；r d d=r r d三．与圆相关的性质和定理1. 圆的对称性： 圆是轴对称图形 , 对称轴是任意一条经过圆心的直线（或直径所在的直线） , 它有很多条对称轴 . 圆也是中心对称图形 , 它的对称中心就是圆心 .4 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -5圆的旋转不变性： 一个圆围着它的圆心旋转任意一个角度 , 都能与原先的图形重合 .★★★ 2.垂径定理垂径定理 ：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论： （ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；3. 圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等；EFODCDA CB4. 圆周角定理（ 1）圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半； B OA（ 2）圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 .推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（ 3） 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 ：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（补充） 平行弦定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等 .C D5. 圆内接四边形（ 1）性质定理：E性质定理 1：圆内接四边形的对角互补 B即：在⊙ O 中， A∵四边形 ABCD 是内接四边形∴ C BAD180B D 1805 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -710. 圆的内正多边形（ 1）正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形 .（ 2） 正多边形与圆的有关定理把圆分成 n〔n ≥ 3〕 等份：①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形；②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形；③任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆 .留意： ①依据正多边形与圆的有关定理①、②，只要能将一个圆分成 n〔n ≥ 3〕 等份，就可以得到这个圆的内接正 n边形及外切正 n 边形 .(3) 正多边形的其它性质①正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心，边数为偶数的正多边形仍是中心对称图形，它的中心就是对称中心 .②边数相同的正多边形相像，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆 .(4) 正多边形的有关运算正多边形的外接圆 〔或内切圆 〕的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角 .正 n 边形的有关运算公式每个内角180（ nn2） 180180- 360n；每个外角360n180正 n 边形边长 a2 R.sin，内切圆半径 rnR.cosn，正 n 边形周长 Pn.a正 n 边形面积 Sn. 12r.a1 Pr2nR2.sin180n.cos180n留意： ①同一个圆的内接正 n 边形和外切正 n 边形是相像形，相像比是圆的内接正 n 边形边心距与它的半径之比180cos . 这样，同一个正 n 边形的内切圆和外接圆的相像比n180cosn7 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -8②常用帮助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和1 边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各2元素间的关系，是解运算问题的基本图形。