玉林师范学院应用物理学2006级本科量子力学期中考试试卷参考答案.doc

应用物理学 2006 级《量子力学》期中试卷 第 1 页 （共 4 页）玉林师范学院期中课程考试试卷（2008——2009 学年度第 2 学期）参考答案命题教师：骆斌 命题教师所在系：物理与信息科学系 试卷类型：课程名称：量子力学 考试专业： 应用物理学本科 考试年级：2006 题 号 一 二 三 四 五 六 总 分应得分 9 9 20 14 48 满分：100实得分 评分：评卷人签 名一、解释名词（每小题 3 分，总计 9 分请用文字或公式进行说明）1、态叠加原理答：如果 和 是体系的可能状态，那末，它们的线性叠加12也是体系的一个可能状态12 (,)cc是 复 数2、表象答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象3、德布罗意公式（或德布罗意关系）答： Ehpnkrr二、单项选择题（每题 3 分，总计 9 分请将你认为正确的答案的序号填入该题后的括号内）1、氢原子中仅考虑为库仑相互作用，则能级 的简并度为4EA、4 B、8 C、16 D、32答：（ C ）2、两力学量算符 和 满足 ，则 大于或等于ˆAˆ[,]4iBh2ˆ()ABA、 B、 C、 D、18h26423216答：（ B ）3、设有体系处于状态 ，其中 为211(,)(,)(,)YC(,)lmY归一化的球谐函数， 为归一化的波函数， 为待定常数，则该体系,角动量 在的平均值是2ˆLA、 B、 C、 D、2634h2634h223h答：（ D ）得 分 评卷人得 分 评卷人考 试 时 间2009 年 4 月 日（ ）午系(院):年级: 专业:班别: 学号:姓名: 座位号: ——————————————————————————————————————————————————————密 封 线 内 不 要 答 题∞ 装 订∞ 线 ∞应用物理学 2006 级《量子力学》期中试卷 第 2 页 （共 4 页）三、填空题（每题 2 分，总计 20 分）1、如两力学量算符 和 具有共同本征函数，则 0 。

ˆABˆ[,]AB2、算符在其自身的表象是一个 对角 矩阵3、守恒量是体系的一种特殊的力学量，即不显含时间又与 对易ˆ H的力学量4、若 是么正矩阵，则 SS1 5、一般来说，把无限远处为零的波函数所描写的状态称为 束缚态 ，体系能量最低的态称为 基态 6、氢原子的波函数为 ，量子数 的取值范围(),nlmllmRrY,nlm分别是 1,2,3,… 、 0,1,2, … 、n1),0,(1),llL7、 的狄拉克符号表示式 )nmnmuxd nm8、设 为氢原子的能量本征函数，则,rl，Lnlmyxnlm)ˆ(2* 2 [(1)] lhdll 2 9、线性谐振子的 为实数，则其221ˆ ,dHxxh能级 nE21 - 210、设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的(,)Cpt 2|(,)|Cptd物理意义为 粒子动量分布在 的几率 pd四、证明题（11 分）若 ， ，证明：ˆ1anˆ1ann],[证明：由于 ˆˆˆ[,]() ˆˆ 11 ()1()ananann nn 所以两边去掉 得nˆ[,]1a得 分 评卷人得 分 评卷人应用物理学 2006 级《量子力学》期中试卷 第 3 页 （共 4 页）五、计算题（每小题 16 分，合计 48 分）1、一维运动的电子被约束在一维上半空间（ ）运动，其势能0x为 2()4eUxx为电子的电荷。

若基态波函数为e xNe其中 为待定的常数， 为归一化常数求 、基态能量和 在基 x态的平均值解：设基态能量为 ，则满足一维定态薛定谔方程：0E2 0()UxExh代入势能和波函数得 2 22 04xx xeNxENe   h化简，可得2204exEhh从上式可得：，24eh222 40 243eeEhh由归一化： 可求得0*1dx 32N则 在基态的平均值为x 206*xxdeh得 分 评卷人应用物理学 2006 级《量子力学》期中试卷 第 4 页 （共 4 页）2、已知体系的哈密顿量 , 试求出体系能量本征值及的2ˆH正交归一化的本征矢解：设本征值为 、本征矢为 ，则由定态薛定谔方程得：12c1122c即 1220c要求 02解之得本征值为 13, 当 时，代入本征值方程，得13120c即 ，归一化得 对应的本征矢为 12c131同理可得对应的本征矢为 。

1123、一刚性转子转动惯量为 ，它的能量的经典表示式是 ，I2ˆLHI为角动量已知转子绕一固定点转动，求与此对应的量子体系的定态能ˆL量与波函数解：取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为2ˆ1LIH无关，属定态问题，其本征方程为tH与ˆ),(),(ˆ21EYI(式中 设为 的本征函数， 为其本征值)),YH,(2),(ˆ2IL令 ，则有2hIE),(),(ˆ22Yh此即为角动量 的本征方程，其本征值为2ˆL) ,210( )1(22 Lllh其波函数为球谐函数 immmePNYcos,ll∴ 转子的定态能量为 2)1(IEhll能量是分立的，且是 重简并的 )2(l。