(完整版)(高等数学)第六章定积分(全部).doc

周世国之《微积分》第六章：定积分第六章 定积分第一节 概念及性质一.定积分问题举例1.引例1.曲边梯形的面积引：在农业生产中，我们经常会遇到丈量土地面积的问题.在工厂中，又会遇到计算生产材料的面积问题.如果所遇到的需要计算面积的图形（见图1）是不规则的，人们一般采用分割法.（1）曲边梯形的概念设函数在区间上非负、连续，由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线称为曲边.（2）求曲边梯形的面积.第一步（分割）：在内任意插入个分点：，把分成n个小区间.第个小区间记为： ，同时也代表第i个小区间的长度(),则.第二步 （代替）：注意到由于是连续函数，只要划分足够细，每个小曲边梯形的高在对应的小区间上可近似看作不变，即可以任取一点，以的值作为的高.则这时的小曲边梯形可近似看作小矩形. 所以，，.第三步（求和）：.第四步（取极限）：为精确值，要求把无限地细分下去，即要使每一个小区间的长度都趋于零.这时，所有窄矩形的面积之和的极限可定义为曲边梯形的面积.记，则.2.引例2.求变速直线运动的路程. 设某物体做直线运动，已知速度是时间间隔上t的连续函数，且.试计算在这段时间内物体所经过的路程，其中. 注意：上述两个引例的背景相差很大，但两问题的最终解决却都归结为求一个特殊和式的极限.这种极限的得到可归纳为九个字思想：分割、代替、求和、取极限，而最终是要求一个特殊形式的和式的极限。

为此，引入定积分的概念二.定积分定义及其几何意义 1.定义1：设函数在区间上有界，在中任意插入n-1个分点：，把分成n个小区间.在每一个小区间上任取一点，做乘积，求和，令.如果当时，无论对如何划分，也无论如何选取，总存在而且相等，则称为函数在上可积，并称为在上的黎曼（Riemann）积分，简称定积分，记为.分别称为积分的下、上限.注意：（1）用定义应怎样叙述？ 如果对于总使无论对如何划分，也无论如何选取，只要，就有，则称为在上的定积分； （2）； （3） ，称为积分和式，问积分和式（a）与被积函数有关吗？（b）与被积区间有关吗？ (c)和被积区间的划分有关吗？(d)与点的选取有关吗？（4）（a）与被积函数有关吗？（b）与被积区间有关吗？ (c)和被积区间的划分有关吗？ (d)与点的选取有关吗？（5）定积分与积分变量的记号无关.（6）问与等价吗？（一般说不行，但在等分时可以）（7）注意：定积分的定义中并不要求在区间上非负、连续.（8）定积分的几何意义----曲边梯形面积的代数和.例1.利用定积分的几何意义计算： （1）； （2）； （3）.三.定积分的存在性1.设函数在区间上连续，则一定存在；2.设函数在区间上有界，且只有有限个第一类间断点，则一定存在.例2.根据定积分的定义计算. 注意到：，而说明就此例来说，可通过先求不定积分得到原函数，然后，对原函数再代入上、下限做差的办法求出定积分的值那么，是否对任何的定积分都可用此法来求解？我们这里暂且不讲，放在后面再讲。

我们仅指出：这种方法是可行的，而且绝大多数定积分是用此法算出来的.即，此公式称做牛—莱公式，又叫做微积分基本公式.我们将在以后给以证明，这里允许大家提前用.例3．求解：例4．求 注意：属广义积分，其求法以后再讲.四．定积分的性质1．两点补充规定：（1）；（2）2.定积分的性质性质1..性质2..推论：.性质3.如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设，则 .证明：因为函数 存在，所以不论把怎样分，积分和的极限总是不变的.因此，可在划分区间时，使c永远是一个分点，那么上的积分和等于上的积分和加上上的积分和.记为：=.令，上式两端同时取极限，即得：.注意：(1)性质3称为定积分对积分区间具有可加性；(2)其实，无论 相对位置如何，总有等式 成立比如：，由于 =.性质4..性质5.（比较性质）.如果在区间上，则.证明：因为，所以，又由于， 因此，.令，即可得要证的不等式.推论1.如果在区间上，则.推论2..性质6.设分别是函数在区间上的最大值与最小值，则.证明：因为，所以由性质5之推论1，可得： .注意：（1）性质6又称估值定理。

利用这个性质，可以估计积分值的范围； （2）当时，性质6的几何意义是：以曲线为顶、以为底的曲边梯形的面积介于以m及M为高且有共同底的两矩形的面积之间（作图）.性质7.（积分中值定理）如在区间上连续，则在上至少有一点，使：证明：因为在区间上连续，所以必可在区间上取到最小值m及最大值M.由性质6，得： 上式两边同除以得： ，所以，由闭区间上连续函数的介值定理，知：在上至少有一点，使：，即.注：（1）只要在区间上不恒为常数，性质7中的必落在的内部； （2）此定理的几何意义是：在上至少有一点，使得以以曲线为顶、以为底的曲边梯形的面积等于同底而高为的矩形的面积. （3）称为函数在区间上的积分平均值.推广的积分中值定理 设在区间上连续，且在区间上不变号，则在上至少有一点，使：证明：因为在区间上连续，所以必可在区间上取到最小值m及最大值M.即 （1）由于在区间上不变号，故 或者 总之， 总介于与之间，故总介于在区间上的最小值m及最大值M之间，因此由性质6，得： 在上至少有一点，使：，即.例5．估值解： 令. ，令. 所以，设分别是函数在区间上的最大值与最小值. 因此，，所以，.例6．比较与的大、小.解：令. 则，所以，在单调增加.因此， .由性质5，知：.例7．设在上且连续，又则在上.证明：（反证法）设，不妨设在处不等于0，即. 又因为连续，所以，，根据函数极限的保号性定理：，当时，有.于是，.所以，.例8．求解：.例9.证明积分第二中值定理设在上可积，而在单调，那么在存在，使得 （1）特别地，如果在单调上升，且，那么有，使得 （2）如果在单调减少，且，那么有，使得 （3）证明：由假定都在上可积，因而在上可积。

一）先在非负、单调增加的假定下证明（2）式成立，再推出一般情形下的（1）式成立 在上取一列分点记是在区间上的幅度.即 （4）把所讨论的积分做如下改变 （记作） （5）因为在上有界： （6）估计 由于可积，所以当时，；因此从而 （7）记 （8）那么 在上连续的函数，必有最大值和最小值，，显然有 （9） （因为（8）） 其中 （9）由于在上非负、单调增加，故由（9）式 所以即 （10）（10）两边令得 因此存在介于之间，使 （11）因为在上连续，由介值定理，知存在使从而（11）式变成，即（2）式获证。

在非负、单调减少的假定下证明（3）式成立的方法与在非负、单调增加的假定下证明（2）的证明相仿.（二）在是一般单调增加情形下，即只要求单调增加（未必非负）时令则单调增加，且，因此在上满足（一）的条件，故由（2）式，得 ，即，也就是因此 在是一般单调减少情形下，即只要求单调减少（未必非负）时，可应用（3）式，模仿上述的处理方法，证明（1）成立.附录：三.定积分存在的充分必要条件 现在我们从理论上来研究一个函数在某一个区间上定积分存在的充分必要条件为此，我们首先要引进两个辅助的和数，即达布上和与达布下和.由于可积函数必定有界，故我们只讨论有界函数.定义1：设在上有界，对的任一分法设和分别为在部分区间在上的上、确界，即 作和数 它们分别称为对于这一分法的达布上和与达布下和，简称上和与下和.上（下）和具有以下几个重要的性质性质1 对于一个固定的分法，有证明：仅证 首先，固定分法，对于任意的取法有，故 其次，对于任给的恒可取使从而可找到一种取法，使其对应的 所以，由上确界的定义知，性质2 设是由添加有限个分点而成，则（上和不增，下和不减）.证明：仅就添加一个分点的情形证之.设在分法中加入一个新分点而成（设位于中），显然 其中，由于，故有，即.类似地，可证性质3 对于任何两个分法，有（任一个下和都不超过任一个上和）证明：将两分法的所有分点合并在一起，作为一个新的分法，记作.由性质2，知但故得定理1.设在上有界，则在上可积的必要充分条件是：对于任意的固定的分法，都有 其中，，表示在区间上的振幅.证明：（一）必要性设在上可积，即，其中为有限数.任给，存在使当时，恒有即对于固定的分法，取的上确界和下确界，由性质1，得故因此，（二）充分性。

假定由性质3，知一切下和有上界，一切上和有下界，且这里由于对任何分法有，故由式，即得令此公共值为由于任何分法，有 故由此，根据即得，故在上可积. 利用定理1，我们可证明以下三类重要函数是可积的.定理2 设函数在连续，则在必可积.证明：因为在闭区间上连续，则在闭区间上一致连续.故使当，时，恒有 （1）现设是任一满足的分法根据闭区间上连续函数的最值定理知，必分别在中某两点处达到，即 但注意到，故由（1）式， （2）因此，对于分法，有故由定理1知，在可积.定理3. 设函数在有界，且只有有限个间断点，则在必可积证明：可先就只有一个间断点的情形证之，一般情况可类似证明 任给令，其中表示在上的振幅，即今将分为三个闭区间：由于在上连续，从而一致连续，于是使当，时，恒有 （1）同样，由于在上连续，从而一致连续，于是使当时，恒有 （2）现令则对于满足的任意分法，可分成两个部分：.其中第一部分对应的诸区间都完全属于或；第二部分对应的诸区间都完全属于或部分属于.于是有故 。