高中数学第三章导数应用31函数的单调性与极值极值问题易错点辨析素材北师大版2-2..doc

2.3极值问题易错点辨析一、错误认识一：极大值一定比极小值大在求解极值问题的过程中，有些同学因为受“极大值”、“极小值”字面含义的影响，就在潜意识里形成了这样一种认识：极大值一定比极小值大 .事实上，这种认识是错误的请看下面的例子•例1求函数f(x)二x —( p >0)的极值.x解：f (x) lx E 卜1 —px2 =1 —爲, I X』 x令 f (x) =0 ,得 x = p .当x变化时，f (x), f (x)变化状态如下表：x(q,-佝-t/p(J7,0)(0,7)f (x)+0——0+f(x)Z-2麻zz2斥z从上表可以看出，当x = -... p时，f (x)有极大值 -2 p ；当x =和时，f (x)有极小值2“ .y1( /-v pV7 1评注：从本例可知，函数的极大值不一定比极小值大 .事实上，极值只是相对于一点附近的局部性质(这与最值不同，最值是相对整个定 义域内或所研究问题的整体的性质) •理解这个问题时要紧扣极值的概念，并通过一些例子加深对该问题的认识 •用几何画板能够作出函数f(x)二x £(p 0)的图象，如图所示，我们可以直观地看出，极大值x反而比极小值小.、错误认识二：极大(小)值点是唯一的成唯一的，这样就导致有些同学认为函数的极大值和极小值是唯一的,由于平时所做的练习题中，命题者为了降低题目难度，常把函数的极大值和极小值设计 其实不然，请看下例.、 、/ 1例2求函数f(x) x・cosx(-2n： x ::: n)的极值.21解：f (x) sin x，令 f (x) =0 ,211 7 n 5• —2 n ：：. x ::. n, . . x 二一— n，—— n, —, — n.6 6 6 6可以得到,2#11x n时，f (x) 最大值611 n 3 ；12 27 3n -；12 2n . 3T (x)极大值12 25 312 2x — — — n时，f (x)最小值6x才寸,x€n时,f (x)最小值##三、错误认识三：导数为 0的点一定是极大(小)值点0的点就是极大(小)有些同学通过求解一部分极值问题，总结出这样的规律：导数为值点•这是一种错误的思维定势，如下面的例子例3 求函数f(x) =(X2 -1)3 1的极值.解：f (x) =6x(x -1)—令 f (x) =0，得为--1, X2 =0, X3 =1 .当x变化时，f (x), f (x)变化状态如下表:X(©, -1)-1(-1,0)0(0,1)1(1, )f (x)—0—0+0+f(x)Z1Z0Z1Z从上表可以看出，X - -1和X =1都不是函数的极值点.##以上列举了同学们在解题中常出现的三种错误认识,通过对这些错误认识的辨析， 我们认识到，在解题中既要准确把握定义,又不能以偏概全•对于平时自己出现的某些模糊认识,##还可以结合一些特例，或借助计算要经常翻看课本，回顾概念，并养成跟同学讨论的习惯, 机作图对有关概念进行更深入的理解和把握#。