福建师范大学21秋《近世代数》期末考核试题及答案参考79.docx

福建师范大学21秋《近世代数》期末考核试题及答案参考1. (溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐．现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L(溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐．现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L的速率注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以每分钟3 L的速率流出容器．问在任意时刻t容器中的含盐量是多少?正确答案：2. 设f=(f1,f2)-1，其中f1(x1，x2，x3，y1，y2)=2ey1+x1y2-4x2+3，f2(x1，x2，x3，y1，y2)=y2cosy1-6y1+2x1-x3，x0=(3，2，7设f=(f1,f2)-1，其中f1(x1，x2，x3，y1，y2)=2ey1+x1y2-4x2+3，f2(x1，x2，x3，y1，y2)=y2cosy1-6y1+2x1-x3，x0=(3，2，7)T，y0=(0，1)T求由向量方程f(x，y)=0所确定的隐函数y=g(x)在x0处的导数，其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2)T由于题中的向量方程f(x，y)=0是由两个五元方程f1(x1，x2，x3，y1，y2)=0与f2(x1，x2，x3，y1，y2)=0构成的方程组，其中的5个变量是x1，x2，x3，y1，y2，因此能确定两个三元函数。

由题意，它们就是y1=g1(x1，x2，x3)，y2=g2(x1，x2，x3)容易验证，f1与2满足隐函数存在定理的条件(1)，(2)(读者自        所以能在(x0，y0)T的某邻域内唯一确定两个单值的有连续偏导数的三元函数y1=g1(x1，x1，x3)与y2=g2(x1，x2，x3)，也就是以g1与g2为分量的向量值函数y=g(x)，要求的导数就是g在x0处的Jocobi矩阵     3. 求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积12πR24. 用某种仪器间接测量温度，重复测量7次，测得温度(单位：℃)分别为120.0，113.4，111.2，114.5，112.0，112.9，113.6，用某种仪器间接测量温度，重复测量7次，测得温度(单位：℃)分别为120.0，113.4，111.2，114.5，112.0，112.9，113.6，设温度X～N(μ，σ2)，在置信度为95%的条件下，试求出温度的真值所在的范围．  分析：设μ为温度的真值，X为测量值，在仪器无系统偏差情况下，即EX=μ时，重复测量7次，得到X的7个样本值，问题就是在未知方差(即仪器精度)的情况，求μ的置信区间．已知n=7，α=0.05，由样本观测值可求得(120.0+113.4+…+113.6)=112.8，            对于P{|T|＞λ}=0.05，T～T(7-1)=T(6)，查表得：λ=2.447，从而μ的置信区间为      即  [111.75，113.85] 5. 在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生性代数考试中取得了优秀成绩在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生性代数考试中取得了优秀成绩，假如有17名学生在此两科考试中都没有取得优秀成绩，问有多少名学生在两科考试中都取得了优秀成绩?并试用文氏图画出结果．设在高等数学考试中取得优秀成绩的学生为集合A，性代数考试中取得优秀成绩的学生为集合B，根据题意，有    |A∪B|=50-17=33    根据容斥原理    |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|    |A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|=21+26-33=14    故在两科考试中都取得优秀成绩的学生人数为14人，文氏图如下：   6. 某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量ξ～N(100，1.22)，现测量9支灌装样品的灌装量(单位：g)某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量ξ～N(100，1.22)，现测量9支灌装样品的灌装量(单位：g)为：  99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，102.1，100.5，99.5  问在显著性水平α=0.05下，已知σ2=1.44． 因为ξ～N(100，1.44)，n=9．    ①提出假设．H0：μ=μ0=100．    ②找统计量．．    ③求临界值．对给定的α=0.05，查正态分布表得，满足P(|U|≥uα/2)=0.05的临界值为uα/2=1.96．    ④求观察值．由，计算得．    ⑤作出判断．因为|U|=0.5＜1.96，所以接受H0，即认为灌装量符合标准．$已知期望μ=100，因为ξ～N(100，1.44)，n=9．    ①提出假设．H0：．    ②找统计量．．    ③求临界值．对给定的α=0.05，查χ2分布表，求出临界值        ④求观察值．计算，得出．    ⑤作出判断．由于2.7＜10.17＜19，因此接受H0，即认为灌装精度在标准范围内． 7. 设F(T)=δ(t-t0)，则傅氏变换F[f(t)]=( ) A．1 B．2π C．eiωt0 D．e-iωt0设F(T)=δ(t-t0)，则傅氏变换F[f(t)]=(  )  A．1  B．2π  C．eiωt0 D．e-iωt0D8. 方程y"-4y&39;+5y=e2x(cosx+3sinx)的特解形式为y&39;=______；方程y"-4y'+5y=e2x(cosx+3sinx)的特解形式为y'=______；xe2x(Ccosx+Dsinx)．9. 在区间[0，1]上任取两点P，Q，求它们之间距离Z=|PQ|的概率密度fZ(z)，以及概率P{Z≤1/6}．在区间[0，1]上任取两点P，Q，求它们之间距离Z=|PQ|的概率密度fZ(z)，以及概率P{Z≤1/6}．当0≤z≤1时，fZ(z)=2(1-z)．P{Z≤1/6}=11/36．经常将相遇问题作为几何概率的例题．用二维随机变量的函数是另一种选择，题2中的概率就是一个相遇问题的解．10. 计算矩阵的指数函数eAt．计算矩阵的指数函数eAt．A有特征值λ=0，λ=i，λ=-i．    对应于λ=0的特征向量u=[u1，u2，u3]T满足        可取特征向量u=α·[1，0，0]T，其中α≠0为任意常数．对应于λ=i的特征向量v=[v1，v2，v3]T满足        可取特征向量v=β·[1+2i，i-2，1]T，其中β≠0为任意常数．对应于λ=-i的特征向量w=[w1，w2，w3]T满足        可取特征向量w=γ·[1-2i，-2-i，1]T，其中γ≠0为任意常数．对应的齐次微分方程组有基解矩阵(取α=β=γ=1)        因为    ，    得    eAt=Ф(t)·Ф-1(0)         11. 验证极限存在，但不能用洛必达法则求出．验证极限存在，但不能用洛必达法则求出．若用洛必达法则，则因    不存在故题设极限不能用洛必达法则求出． 12. 设 证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积．设  证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积．证 由于    若c≠0，将A的第2行乘以加到第1行，得        再将第1行乘以-c加到第2行，得        再将第1列乘以加到第2列，得        即    所以    若c=0，a≠0，那么将第1行加到第2行即化为前一种情况，同样可证明要证的结论． 13. 证明‖f-g‖≥‖f‖-‖g‖证明‖f-g‖≥‖f‖-‖g‖[证明]  ‖f‖=‖(f-g)+g‖≤‖f-g‖+‖g‖    所以‖f-g‖≥‖f‖-‖g‖ 14. 求下列函数f(x)的Dini导数：求下列函数f(x)的Dini导数：D+f(0)=D+f(0)=D-f(0)=D-f(0)=+∞．$D+f(0)=D+f(0)=1，D-f(0)=D-f(0)=-1．$对x∈Q，D+f(x)=0，D+f(x)=+∞，D-f(x)=-∞，D-f(x)=0；对，D+f(x)=D-f(x)=0，D+f(x)=-∞，D-f(x)=+∞.$由于在区间(1/(2n+2)π，1/2nπ]中cos(1/x)以及sin(1/x)可取到从-1到+1之间的一切值，故知    ．    类似地，有D+f(0)=a，D-f(0)=a'，D-f(0)=b'． 15. 判别一个正项级数的收敛性，一般可以按怎样的程序选择审敛法？判别一个正项级数的收敛性，一般可以按怎样的程序选择审敛法？一般而言，经过一定的训练以后，往往根据所给正项级数的特点，大致可以确定使用何种审敛法来判定级数的收敛性，但这对初学者来说，有时可能感到困难，这时可按下面的程序进行考虑：    (1)检查一般项，若，可判定级数发散．否则进入(2).    (2)用比值审敛法(或根值审敛法)判定．倘若或极限不存在，则进入(3).    (3)用比较审敛法或极限形式的比较审敛法．若无法找到适用的参照级数，则进入(4).    (4)检查正项级数的部分Sn和是否有界或判别Sn是否有极限． 16. 证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交，从而    N=B×T=(cost，sint，0)。

故N与z轴垂直    即主法线与z轴垂直，且螺线上任一点r(t)处的主法线方程为ρ=ρ(λ)=r(t)+λN(t)=(acost，asint，bt)+λ(cost，sint，0)显然z轴上的点(0，0，bt)=ρ(-a)在主法线上，故主法线与z轴垂直相交，交点为ρ(-a) 17. 问：射影直线上的一点能将射影直线剖分成两部分吗?射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分吗问：射影直线上的一点能将射影直线剖分成两部分吗?射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分吗?正确答案：都不可能．都不可能．18. 总体X～N(μ，σ2)，检验假设H0：；x1，x2，…，x11是一个样本，α=0.05，则H0的拒绝域为( )总体X～N(μ，σ2)，检验假设H0：；x1，x2，…，x11是一个样本，α=0.05，则H0的拒绝域为(  )或19. 某种动物从出生而活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄是20岁的这种动物活到25岁的概率是0.6某种动物从出生而活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄是20岁的这种动物活到25岁的概率是0.6参考答案：错误错误20. 已知当x≠0时，函数，若函数f(x)在点x=0处连续，则函数值f(0)=______．已知当x≠0时，函数，若函数f(x)在点x=0处连续，则函数值f(0)=______．2由于函数f(x)在点x=0处连续。