函数的凹凸性与函数的作图学习教案.ppt

会计学1函数函数(hánshù)的凹凸性与函数的凹凸性与函数(hánshù)的的作图作图第一页，共32页问题:如何研究曲线的弯曲(wānqū)方向?问题: 如何用准确(zhǔnquè)的数学语言描述曲线的凹凸性?第1页/共31页第二页，共32页　　定义4.2 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线(qiēxiàn)的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线(qiēxiàn)的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的(上凹简称凹,下凹简称凸)．4.4.1 曲线(qūxiàn)的凹凸性与拐点第2页/共31页第三页，共32页曲线凹凸曲线凹凸曲线凹凸曲线凹凸(āo￿tū)(āo￿tū)(āo￿tū)(āo￿tū)的判定的判定的判定的判定: : : :第3页/共31页第四页，共32页　 定理3.10　设函数 在区间 内存在二阶导数，　　(2)若　　　　时，恒有　　　　，则曲线　　　　在　　　内下凹(简称凸的)．　　(1)若　　　　时，恒有　　　　，则曲线 在　　　内上凹 (简称凹的)；第4页/共31页第五页，共32页。

　例　证明(zhèngmíng)函数 的图像是处处下凹(凹)的　　故曲线(qūxiàn) 在整个定义域内是下凹 (凸)的解　　　　　　 第5页/共31页第六页，共32页　　定义(dìngyì)4.3　曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.　　求拐点(ɡuǎi diǎn)的一般步骤：　　②令　　　　，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；　　①求函数的二阶导数　　　；　　③对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的　　　的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．第6页/共31页第七页，共32页　　例1　求曲线　　　　　　　的凹凸区间与拐点 .　　解　　　　　　 ，令　　　，解得　　　，　　．拐点拐点　　曲线在　　　及　　　两个区间上凹，在　　区间下凹，　　和　　是它的两个拐点.第7页/共31页第八页，共32页　　例2　求曲线　　　　　　　的凹凸区间与拐点 .　　解　　　　　　　，　　　　　　；令　　　，解得　　　；　　只要　　　，恒有　　　，而函数没有二阶导数不存在的点，所以曲线　　　　 没有拐点，它在整个　　　　是上凹的．第8页/共31页第九页，共32页。

　　例3　求曲线　　　　　　　的凹凸区间与拐点 .　　解　　　　　　　　，　　　　　　　；　　　在　　　　内恒不为零，但　　　时，　不存在．　　　在4的左侧邻近时，　　　； 在4的右侧邻近时，　　　 .即　在　　两侧异号，所以　　是曲线的拐点 .第9页/共31页第十页，共32页　　练习(liànxí) 求下列曲线的拐点，并讨论其凹凸性.第10页/共31页第十一页，共32页2解凹的凸的凹的拐点(ɡuǎi diǎn)拐点(ɡuǎi diǎn)第11页/共31页第十二页，共32页第12页/共31页第十三页，共32页3解第13页/共31页第十四页，共32页　　定义4.4　如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线(zhíxiàn)的距离趋于零， 则称此直线(zhíxiàn)为曲线的渐近线.　　设曲线　　　　，如果　　　　　　 ,则称 直线 为曲线　　　　的水平渐近线 .4.4.2 曲线(qūxiàn)的渐近线　　1.水平(shuǐpíng) 渐近线第14页/共31页第十五页，共32页　　如果曲线　　　　在点　间断，且　　　　　　，则称直线　　　为曲线　　　　的铅垂渐近线．　　例4　求曲线　　　　的水平渐近线和铅垂渐近线.　　2.铅垂渐近线第15页/共31页第十六页，共32页。

　　解　因为　　　　　，所以　　　是曲线的水平渐近线．　　又因为5是　　　　的间断点 ,且　　，所以　　是曲线的铅垂渐近线．第16页/共31页第十七页，共32页　　例5　求曲线　　　　　的水平渐近线和铅垂渐近线 .　　解　因为　　　　　　　　，所以　　是曲线的水平渐近线．第17页/共31页第十八页，共32页　　又因为1和-1是　　　　　的间断点，且　　　　　　，　　　　　　　，所以　　和　　　是曲线的铅垂渐近线．第18页/共31页第十九页，共32页4.4.3 函数(hánshù)作图描绘函数图象(tú xiànɡ)的具体方法如下 :1.确定(quèdìng) 函数的定义域的值域；2.确定曲线关于坐标轴的对称性；3.求出曲线和坐标轴的交点；4.判断函数的单调区间并求出极值；5.确定函数的凹向区间和拐点；6.求出曲线的渐近线；7.列表讨论并描绘函数的图象 .第19页/共31页第二十页，共32页　　例6　描绘函数　　　　　的图象． 　　解　(1)定义域： .　 (2)函数不具有(jùyǒu) 奇偶性， 因此曲线无对称性 .　　　 (3)令　　　，得　　　，　　， 表明曲线 　 与 轴有两个交点，一个是　　 ，一个是 .　(4)　　　　　　　　　　 ，令　　　，得　　　，　　 .第20页/共31页第二十一页，共32页。

　　　　　　　　　，所以　　为极大值点， 为极大值.　　　　　　　　，所以　　　为极小值点， 　　　　为极小值；第21页/共31页第二十二页，共32页　　(5)令　　　，得　　．在　　　的左侧有　　　，在　　的右侧有　　　， 而　　　　，所以　　是拐点．　　(6)无渐近线.　　(7)将上面(shàng miɑn)的结果列表第22页/共31页第二十三页，共32页拐点极小值极大值第23页/共31页第二十四页，共32页　　例7　描绘函数　　　　　　　的图象．　　解　(1)定义域：　　　　　　．　　(2)函数不具有奇偶性，因此 (yīncǐ)曲线无对称性.第24页/共31页第二十五页，共32页　　表明曲线与　轴交于　　　　和　　　　 .　　(3)令　　　，即　　　　　　　　，　　　　　　，解得第25页/共31页第二十六页，共32页(4)，令 ，得 .第26页/共31页第二十七页，共32页　　在　　　左侧有　　　，在　　　右侧有　　　，所以　　　是极小值点，是极小值．(5).第27页/共31页第二十八页，共32页　　令　　　，得　　　 .当　从左向右经过-3时，　由负变正，又　　　　　　，所以　　　　是曲线的拐点 .　　(6)因为　　　　　　　　　，所以　　　是曲线的水平渐近线 .第28页/共31页第二十九页，共32页。

　　又因为　　是函数的间断点，且　　　　　　　　　，所以　　　是曲线的铅垂渐近线．第29页/共31页第三十页，共32页　　(7)将上面的结果(jiē guǒ)列表极小值拐点不存在第30页/共31页第三十一页，共32页内容(nèiróng)总结会计学第1页/共31页定义4.3　曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.定义4.4　如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零， 则称此直线为曲线的渐近线.所以(suǒyǐ)　　是曲线的铅垂渐近线．1.确定函数的定义域的值域7.列表讨论并描绘函数的图象.所以(suǒyǐ)　　是拐点．又因为　　是函数的间断点，且第30页/共31页第三十二页，共32页。