函数定义域的重要作用.doc

函数定义域的重要作用湖北省　王卫华 函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终.尽管对应法则是构成函数的核心，但定义域也是构成函数的重要组成部分，是构成函数的三大要素之一，是函数赖以变化的基础，函数定义域的变化对函数图象和性质的改变等方面有着不容忽视的制约作用．下面就谈谈定义域对解题的作用与影响．一．利用函数的定义域判断函数是否是同一函数例1．判断函数与=是否同一函数？解：∵定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，而定义域为(0，+∞)，∴f(x)与g(x)的定义域不同，∴与不是同一函数．评析：由此题得到一个重要结论：在化简函数表达式时要在原函数定义域上等价变化，也就是说定义域在函数解析式变形化简中有重要的作用．二．函数定义域是构成函数关系式的重要组成部分函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数关系式时必须考虑所求函数的定义域，否则所求函数关系式就可能出错.另外，根据函数定义可知函数定义域是非空的数的集合，若一个关系式中某一个变量取值范围的集合是空集，那么这个关系式中的几个变量之间就不能构成一个函数关系式．例2．把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，求矩形面积S与矩形长x的函数关系式. 解：设矩形的长为cm，则宽为cm，由题意得： ，故所求的函数关系式为：.如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围，解题思路还不够严密．因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数或零，即矩形的面积为非正数，这与实际问题相矛盾，故还要补上自变量的范围：，所以函数关系式为：（）.评析：从此例可以看出，用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，结果很有可能出错.例3．判断式子y=是否为函数关系式．解：要使上面的式子有意义，则1-x2≥0且x2-1>0，其解集为空集，由函数定义可知这个式子不表示函数关系式．评注：解题时若忽视了定义域的作用，则很可能得到一个错误结果．三．函数定义域对函数值域的限制作用函数的值域是指全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定后，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应特别注意函数定义域.例4．求函数的值域．错解：令∴，故所求的函数值域是．剖析：换元后，而函数在[0，+∞)上是增函数， 所以当t=0时，ymin=3．故所求的函数值域应为[3，+∞)．评析：由此例可看出变量的允许值范围是何等的重要，特别是变量隐含的取值范围，对整个解题过程，以及对最后的结论都起到至关重要的作用．若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维过程，检验已经得到的结果，就可以避免以上错误结果的产生.四．函数定义域对函数奇偶性的作用由函数奇偶性定义可知：函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件，若一个函数的定义域不关于原点对称，则此函数就一定不具有奇偶性．故判断函数奇偶性时，应优先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，再用奇偶性定义加以判断．例5．判断函数y=(1+x)的奇偶性．　解：要使函数有意义必有，则-1