函数最值问题求解策略浅探.doc
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函数最值问题求解策略浅探最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用最值问 题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基木方法，形如F(x)= 4/2U)+z?/(x) + d的函数最值问题，均可使用配方法例1、已知 /(x) = 2 + log；/w [1,3],求函数 y = [/(兀)]2 + /(X2)最值解：由/(x) = 2 + log^xe[l,3]，得 y = [/(x)]2 + /U2) = (2 + log^)2 + 2 + logf=(logO2 + 61og； + 6 = (log； + 3)2 - 3 o 又函数 f(x)定义域[1,3],所以函数 y = [/(x)]2 + f(x2)定 义域为｛心今，解得135巧，所以loggo,*］由二次函数单调性得，6
特别的，形如y=件：+加+(1 a®不同是为0)分子、分母无公因式的函数最值 a2x^ ^b2x + c2常用此法例2、 求下列函数最值(1)3%%2 +4:⑵ J：+4_7x2+2X + 33x a解；(1)由 y= ,得 yx2 -3x + 4y = 0 0x +43 3 3 3当网时g当円时，由“0得寸 r,故原函数最小值为盲,最大值为才2)将已知函数式变形为yx2 + 2yx + 3y = 2x2 +4x-7,即(y — 2)/+2(y — 2)x + 3y + 7 = 0,显然丁工2,将上式视做关于x的一元二次方程0xg/?,BP±述关于x的一元二次方程有实根，所以[2()一2)]2-4()一2)(3)，+ 7)\0,9 9解得—SyS2又)，h2,函数最小值为—评注:若在解的过程中经过变形，从而扩大了的取值范围，利用判别式求出的范围后，应综合函数的 定义域，将扩大部分剔除三、换元法主要有三角换元和代数换元换两种用换元法时,要特別关注中间变量的収值范围特別的，形如 y = ClX + b + JcX + d(Q,b,C, d均为常数，且0工0)的函数常用此法求解例3、求函数y = 2x + J- 2兀+1最小值。
解:令 t = 71-2x(/ > 0),则 x = ^-f 贝 ij y = -r+t + l = -(t-丄)2+丄1丄,2 2 4 4所以，所求函数最小值为丄4注：(1)换元前后的等价性题中t = V1 - 2xt > 0 ,而不是看解析式有意义的t取值范围;(2)换元后可操作性1 1 v- 7 丫？ + k" + 丫°例4、求函数尸出宀/ '的最大值和最小值— I — 2x~ + x + x'• -V - 1 + 2x2+x4 + 1 + 2x2+x41-x2u+戏丿gF,令严，则1Vf(x)=f(e) = cos2^ + -sin^ =-sin2^ + -sin^ + l =- sin0-丄 +2 21716，.当sin()冷时,f(x)最大值为”，当sin=T时，/(兀)最小值为—*四、数形结合法主要适用于具有几何意义的函数，通过函数的图象求最值例 5、 已知 x'+y'-2x+4y-20二0 求 x'+y?的最值分析:本题已知条件转化为(x-l)2+(y+2)M5 ,可用三角代换转化为三角函数最值问题处理,也可借 助几何图形数形结合处理解：作x2+y2-2x+4y-20=0的图形，它是圆心在P(l,-2)半径为5的圆，依题意冇x2+y2 =2x-4y+20,设x?+y2=z，则z=2x-4y+20即y =丄+岂二，其图形是斜率为丄且与已知圆相交的一簇平行线，于是求z的最值问题就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最小问题。
由平面几何知识知，圆心P(l,・2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径.即"x I 一 Ax (―2) + 一 § ,即130-2広10厉，故Q + (-4尸30-10^5 < z <30 + 10^5 ,故 ”+y2最小值为勺=30 —10厉，最人值为 z2 =30 + 10^5 <>五、函数的单调性法(1)关于白变量x的一次根式，女口 y = ax + b + 4dx + c ,用换元法求解，当ad>0时，也可利用单调 性求最值；；(2)形如y = x + -(k>0)的函数常考虑利用单调性，当x>()时，函数单调减区间(0,VT], 单调增区间为[低,+00),因其函数图象形如“J”，故称为对号函数，其分界点为(低,2低)对于XV0 情况，可依据函数奇偶性解决；(3)复合函数的最值，常用此法求解兀~ + 2xH—例6、求函数y二 ,XG[1,4-00)的最小值兀2 + 2兀 H— ] 7解：由丁 = =x + —+ 2在[1,+8)上是增函数，得f(x)在[1,+8)上最小值为f(l) = —x 2x 2例久求函数y = -x + V~ 2x +1的最小值解：设= -x, y2 = yj\-2x , 0, y2均为减函数，所以y也是减函数。
又y = 一兀+ J一 2兀+1定 义域为1 一2兀20,即x<--o当兀=丄时，ymin=--,故原函数最小值为一丄2* 2*例7、求函数y的最小值解：设《=-/+兀一？，则y4 •-x2+x-- = -（x-丄）2—2,知 当x>-吋，U 为4 2 2减函数；当x< —时,u为增函数，而y== 为减函数，故y94 J J在—时为增函数，在x< —2 2时为减函数，所以X =—时，原函数最小值为Aminriv239o六. 不等式法 运用不等式法求最值必须关注三个条件即” 一正.二定、三相等” •+ r + 1例8、求函数"匚厂35)的最小值解：+兀 + 1 二 °兀+旦 +(1_q) (兀 + l)+-g_+]_2d 兀+1 x+1 x+1> 2』兀 + 1)・一+ 1-2 1,当兀 + 1) = —^―,即 x=0 时等号成立，Ts二1V x+1 x+1七、导数法设函数f(X)在［a, b］上连续在(a, b)上可导，则f (x)在［a, b］上的最大值和最小值应为f (x)在(a, b) 内的各极值与f(a),f(b)«p的最人值和最小值例9> 动点P(x, y)是抛物线y=x2-2x-l上的点,0为原点，当x=2时，0P2収得极小值，求0严 的最小值。
解：OP2 =x2+y2=x2+( x2-2x-1)2=x -4x3+3x2+4x+1,令 f(x)= x4-4x3+3x2+4x+l,i +\_、h 则广(x)=4x'T2x'+6x+4=4 (x-2) (x ) (x ,2 2X(1") f 2\ /1-V32"1-V3 1 + VT1 2 5 2\ /1 + V32(1 +的」〔2 J2(2, +00)f(x)—0+0—0+f(x)]极小值Z极大值]极小值Z令 /'(x) =0,得x=2,1 + V321-V32因定义域为R,故所求报小值为两个极小值中较小的-个,f (弓呼1, f⑵=5,故f (“ 的最小值，即OP?的最小值为11一6的。
