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GeoGebra在初中数学教学中的运用作者：黄晨璐 张维忠 字数：〔MS來源：中学数学杂志(初中版) 2016年4期【摘要】GeoGebra作为一款新兴的数学动态几何软件，集合了代数和几何等特点，功能 强大而操作简易，在初中数学的教学中可以帮助教师更好地教学，激发学牛学习兴趣，提升 课堂教学效率.【关键词】动态儿何；GeoGebra；初中数学近年来信息技术的迅猛发展，带来了数学教育技术的巨大变革，其中数学教育软件也是 层出不穷，人们熟知的有Maple. Matlab>几何画板等.这些软件在专业领域上功能不可谓不 强大，但是，它们中有些不具备良好的教学展示功能，只适合专业领域使用[1].而几何画板 作为优秀的儿何教学软件，在教师教学的具体应用中它的部分缺点也逐渐显露出来并且很难 解决[2]. GeoGebra作为新一代的动态儿何软件，具备强大的数学研究和教学展示功能，它可 以替代几何画板完成中学阶段相关的所有的教学工作，并且在许多功能上超过了几何画板.1 GeoGebra 简介GeoGebra (Geometry 和 Algebra)是奥地利数学家 Markus Ilohenwarter 于 2002 年在 美国佛罗里达州亚特兰大学设计的一款数学动态几何软件，已经在国际上获得多个教育软件 奖项[3]・作为一个免费开源和跨平台的教育软件，GeoGebra整合了函数、儿何、代数、3D数 学功能等，可以运用到从小学到大学各个阶段的数学教学.与儿何画板等软件相比，它具有免 费与共享、集几何与代数一体、多平台使用等特点[4],使用者可以在Windows> MacOS X、 安卓、Linux等平台免费使用它，在几何和代数同步变化的演示上GeoGebra的优势更为突出, 而且操作也更加方便，界面更加丰富.2 GeoGebra在数学教学中运用传统的儿何教学中，动态性图形演示是它的一块短板，教师很难直观地描述相关的儿何 图形的变化，而借助GeoGebra可以规范且直观地反映图形变化内容，让学生对所学内容有一 个深刻的印彖•平面几何教学是几何教学中的一部分，GeoGebra凭借其强大的运算功能和绘 图功能在平面几何教学中成为教师教学的新帮手.GeoGebra可以轻易实现学 生亲自探究的环境•利用GeoGebra绘制出圆周角和示例1圆周角定理. 圆周角定理在以往的 学习中常常是教师教授定 理内容“一条弧所对圆周 角等于它所对圆心角的一 半”，学生进行记忆•虽说 教师在教学过程中会帮助 学生进行证明，但是由于 条件所限，教师很难让学 生观察到闘周角等于I员1心 角的一半的事实,而借助圆心角图形如图1,教师可以改变图1中4、B、C这三 个点的位置，让学生点观地看到圆心角和圆周角同 时变化时，圆周角的大小始终为圆心角的一半，同一 段弧所对的圆周角大小不变.具体步骤(1)作圆：在GeoGebra界面点击個 圆按钮⑥，以直角坐标原点0为圆心做一个圆；(2) 描点:在圆上用描点工具0画岀A、B、C三 个点；(3) 连线:用线段按钮□连接OA、0B、AC、BC・(4) 求角度：选中角度按钮园先后点击A0与 〃。

得到乙AOB数值，点击4C与BC得到厶ACB数 值,隐藏相关的标签和坐标轴.学生通过观看几何区各点变化过程小関周角和 圆心角的大小关系，对圆周角定理会冇一个更加深 刻的理解•而教师将原先理论性的知识通过软件点 接而动态地呈现出來，化解了教学难点，为学生搭建 了视觉化表征,帮助学生对所学知识进行建构，提高 教学效益.□・• •■ - .•- - - - •:•・a ♦ ■ • st・-• •示例2 二次函数的性质.二次函敷楚初中阶段继i □匕例甬数、一次函数 和反比例臥数以麻乂 •个恥嘤甬数模型•而二次臥 数的图像和性质乂是中号的直点和堆点•传统的课 世上•教师FI：绘制二次隔数图像耗时长•准确度不 爲.呈现效果羞•而通过GroGebra进行二次南数教 学町以卩约时间•滥发学生学刃先服提岛教学效 率•川GcoGebra绘制二次阴数图像如图2•通过拖动 0 淆动条或》右击掃动条点击启动动俩・町以很 It观地石“上《变化时图像开11方向•开I丨大小以 及对称轴、根的个数的变化•和以往的幻灯片血搖呈 现不网•这个例f中学生n到的不仅仅見结柴.亚是 过程•学生吋以深刻体会到参数的改变和图像的关 系•以及刿别式AM— 4m和二次函数根个数的关系.对学生理解二次南敌图像和性质冇很大的帮助.＜；＜o(；＜ lra ft农现二次两数图像肘可以很好地体现 数形结合的思想•这也是它本乃的-大待点・IS 2 二次函數具体步鼻(1)参数设i仁通过选中滑动条按 钮目・依次设代鸾数“、G(2) 绘制二次两數图像:在命令僧中输入*7U) =＜ix"2 ♦ bx +r**(对 F 5.0 版本的 GeoGebra 可以省略(I) 步9K.fi接进入第二步也可以fl动生成發如. 几)•选择交点•选中顒数图像和X轴得到二碎交点 冈/!上&(3) 判别式以及对称轴的代数農示：命令框输 人"“ =6*2 - 4m" •禅输 AMe = - 6/( 2a) ** ；(4) ＜1称轴圏像以及判别式文本：山命令矗输 人=代凹对称轴图像•适中文木框曰在作图区 敢击后输人n・2 - 4ar二”对線为d•勾选IjiTcx 数学式•点击确宜.在绘图K会出现二次隕数楼的刿 别式•类似地可以得到绘图K的对称轴文本.此外•我们町以将Jt^lU为动态M贝■即使A-没 右安装GmGrbni的汁篦机1：也町以使川浚例了•进 1亍探宛二次函数的图像和性质•并IL住教学中也可 以il：学生II己动FSK参数的大小•进一步体会其 中的啟学恵世.这样一来町以增强学习的互动性•捉 倚学生的学习动力•同时也符介新课稈改英的观念. 把探索的机会昭给学生•创设-做中学”的学习环境.示例3 勾股定理.(；eoGrl＞ra良好的数形结合功能可以很好地把 ft和形的潜6-关系及其动态变化W. JK出來.任儿何 教学中•典们一 r［强澗数形结合•但在实际过那中却 很堆将该思想发挥的尽评尽思而GcoGrbra可以胜 任这个「.作•任勾股定理的教学小•学生经过学习能 够理解ft fflHffl形三边的关系•但址女数学牛只知 itt用勾股定理进行简单的计算•对J t rt iE的来历以 及证明方法并不了解•为n i：学生正理解勾股定 理•我们利JII GeoGebra给岀两种驗证勾股定理例 尹•给学生以形禦N规的勾股能理的证明方法.S3第一种方法•川GeoGebra绘制血角询形如图 3•只空拖动A.B两点・就町以改变两条ftfft边的大 小■学生可以消楚地n到两a fn边(ft的变化.而两 条w角边的平方和始终等f斜边的平方.具体步骤(i八问点：选中描点按钮日在坐抓 轴 I：建工点 4(0.0) ”(0・3) .€(4,0):(2) 绘制血角 加形:选中线段按钮［刁连接线 段A li^C、〃匚便用附着按钮0 it各点附鶴在坐标 轴上(保证直角)：(3) 命令框输入J =/2 +了2”；(4) 命令征输人S/T2J(5) 文本部分戒用文本按&B.勾选UTcx数 学式•输人・川畑+ KT2才•对象为。

•同样■输入 “BCP「•对徐为b.第二种方法■通过(；＜M)(；rbni的面枳按fll启分别 求以fifh三角形三边为边的止方形而枳.探求以两 仕角边为边的止方形面枳之和於仲暮F以斜边为边 的正方形面视如图4为以rt角边为边的ie方形•通 过改妇询 三角影的边长■备边所形成的止方形而枳始终満足卿个小止方形而积之和尊F k iE方形面 枳•即M ft角边的平H和零于斜边的卩H.具体步骤(I)选抒描点按ft坐标轴k 建工点\出・C( C点在坐标腹点・\点YE Y轴I.・〃点 在X轴上)$(2) 选中线段按昭先后绘制"：、〃CM〃•得到 血角三角形；(3) 选中iE多边矗按fl・& (:、I点•顶点个数 设W为四个以得到以CA为边的止方形•类似地 町以得到以BC.AB为边的正方形(其中多边形的方 向马点的选挪《序有关A(4) 选中面积按和［3依次点击这三个iE方形・ 凰示出它们各自的而积大小$(5) 文木部分:修改相关文本标签■输人SJI =多边形1 •勾选LjiTcx数学式时绘图b(第•个 正方形I：显示5, = 9.42.类似地.可以得到S2 = 10. I 3 = 19. 52.为『也加便F现察两个小正方形 面积之和等于大正方形面机可以在命令机输入T =多边形I *多边《5 2”•选抒文本按入“S_|l| +S_；2才•対彖为伉勾适STz数学式•便址现九+S严19.52 •类似側到S, = 19.52.185此外不仅仪是止方形满足该条件•还可以址1E 五边形(如图5) ■正六边形以及正“边形(第弓步中 顶点个数设为n)等图形都吋以側到同样的结论•还 町以止学生进行白主操作探穽・便爪发现数学的•变 中右不变”的思也.此过程中可以创设撷怖的制境. 让学生进行思与和猜盘・引出柿似图形边长之比和 而畐比比的关系.示例4 CeoObra制作正〃边形的对角线.数学图形具右组合獎、对称矣.运动矣•密集矣 符•许多图形绘过迭代•对称或肚其他的变换町以让 学生经历特殊的美学体脸■而传统的教学过程中•教 师常以ffffi和其他教具来给学生讲解图形之災.对 尸一此简临的儿何图条.教邮可以将其傭出呈现给 学生观看•但是对于址杂的圈形和需耍展现图形动 态关和密集关的时候・门 绘制则&现效泉不好•下 而为GeM；"m绘制一个疋多边形对角线的例F.初中学生学习多边形和对角线关系的时酸•教 輔往往只会用少数儿个多边形说明•其余的it学生 记住公九对仰线条数等尸5； 4(〃为多边形的■边数)•这样的教学・学生很多只停協在死iiltt卄1:・ 而在学习过程中缺少兴趣和动力.教师可以借助 (>o(M-I>ra来昱现多边形的对角线条数•使学生感受 几何图形待右的災妙.如图6为边数分别4、5、6 J的 正多边形的对角线图形.Httff况卜••上课过稈中教 締很再往FM•时何上也不允许•但是利川 GroGrbra 以fit轻M地IM作止n边形的对角线图 形jfiill会发现R0农边数的堆加・该图形会越来越冇 幣集JL通过心动动叽学生可以看列廉个过程卜分 绚丽•如图7为正二十边形的对角线图形•图8为图7 的对角线延伸所形成的图形•通过这样的例子对以 很客W il:学生感受到儿何图形之畏•澈发学生学习 兴趣•作为•种兴趣探究•可以忖;f数学课堂.田7 田8具体步骤(I)在作图区作点1(0.0)和〃(4. 0)・(2) 选择淆动条按钮目•建立審数n(表示n边 形)/为幣数•范国4一30 •增ht为I •再次建工参数 H控制对角线长度)•范IM I —3•堆lit为0・01・(3) 建工列& 1：命令框输人”序列［旋转［血 (2iri)/n • 4儿I.町”.代数K中W性名称设V为 几(4) 命令IKIfcA-序列［房列［线段［位似［尤素 JI J］ •&•元崇［贝・訂］•位似｛元崇［刃J］ .A .元素［JI J］］｝ 2+ l.njjj.n-l］\改变〃和&的値航 可以得到不同的图案.作为一个数学教学的技术辅助软件・3GrbmIWiW作简矗•数形结合、功能强大以及免瞬开源尊 优势•运用(><>G<-I>ni FJ中数学教学的例子还冇很 多.瞅f篇轴这翌不再举例.sfi n国内对该软件的应 用研究进•步的深人•相信GeoGehni在数学教学中 优化教学内客的坚现形式・自工学住的学习方式•激 发学生学习数学的兴趣以及提升教紳的I：作效华等 方面会有越来越改婴的作用⑶.參考文猷I］ 。