
2021年高考数学模拟试题及答案 (十九).pdf
17页一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )2=|20Mx x 2, 1,0,1,2N MN A. B. C. D. 1 0,11,0,1【答案】B【解析】【分析】化简集合,按交集定义,即可求解.M【详解】由,得,所以,220xx0,2x1MN故选:B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.已知复数 z 满足 z(1+2i)=i,则复数在复平面内对应点所在的象限是( )zA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,求出的坐标得答案.z【详解】解:由,得,所以(12 )zii(12 )2112(12 )(12 )55iiiziiii2155zi复数在复平面内对应的点的坐标为,在第四象限.z21,55故选:D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.3.已知向量,,则“m<1”是“,夹角为钝角”的( ), 2am2,1b rabA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的知识可得若,夹角为钝角,则且,再由且ab1m 4m 1m m 结合充分条件、必要条件的概念即可得解.4m 1m m 【详解】若,夹角为钝角,则且,abcos,0a b cos,1a b 由可得,解得且,222cos,45a bma ba bm 222204522145mmmm 1m 4m 由且可得“m<1”是“,夹角为钝角”的必要不充分条件.1m m 4m 1m m ab故选:B.【点睛】本题考查了利用平面向量数量积解决向量夹角问题,考查了充分条件、必要条件的判断,属于中档题.4.甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是( )A. 90B. 120C. 210D. 216【答案】C【解析】【分析】根据题意:分为两类:第一类,甲、乙、丙各自站在一个台阶上;第二类,有 2 人站在同一台阶上,剩余1 人独自站在一个台阶上,算出每类的站法数,然后再利用分类计数原理求解.【详解】因为甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上,且每级台阶最多站 2 人,所以分为两类:第一类,甲、乙、丙各自站在一个台阶上,共有:种站法;3363120C A 第二类,有 2 人站在同一台阶上,剩余 1 人独自站在一个台阶上,共有:种站法;22236290C C A 所以每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.12090210故选:C【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用,还考查了分析求解问题的能力,属于中档题.5.已知定义在上的函数,,,,则,,R( )2xf xx3(log5)af31(log)2bf (ln3)cfab的大小关系为( )cA. B. C. D. cbabcaabccab【答案】D【解析】【分析】先判断函数在时的单调性,可以判断出函数是奇函数,利用奇函数的性质可以得到,0x 3(log 2)bf比较三个数的大小,然后根据函数在时的单调性,比较出三个数的大小.33log5,log 2,ln30x , ,a b c【详解】当时,,函数在时,是增函0x '( )22( )2ln2 20xxxxf xxxfxx( )f x0x 数.因为,所以函数是奇函数,所以有()22( )xxfxxxf x ( )f x,因为,函数在时,33311(log)( log)(log 2)22bfff 33log5loln31g 20 ( )f x0x 是增函数,所以,故本题选 D.cab【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题,判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.6.对 n 个不同的实数 a1,a2,…,an可得 n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个 n!行的数阵.对第 i行 ai1,ai2,…,ain,记 bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3…,n!.例如用 1,2,3 可得数阵如图,对于此数阵中每一列各数之和都是 12,所以 bl+b2+…b6=-12+2×12-3×12=-24.那么,在用1,2,3,4,5 形成的数阵中,b1+b2+…b120等于( )A. -3600B. -1800C. -1080D. -720【答案】C【解析】【分析】根据用 1,2,3,4,5 形成的数阵和每个排列为一行写成一个 n!行的数阵,得到数阵中行数,然后求得每一列各数字之和,再代入公式求解.【详解】由题意可知:数阵中行数为:,5! 120在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中,每一列各数字之和都是:,5! 512345360 . 12120...3601234536031080bbb 故选:C【点睛】本题主要考查数列的应用,还考查了分析求解问题的能力,属于基础题.7.已知中,,,,为所在平面上一点,且满足.ABC60A 6AB 4AC OABCOAOBOC设,则的值为( )AOABAC A. 2B. 1C. D. 1118711【答案】C【解析】【分析】由由,得:点是的外心,由向量的投影的概念可得:,再代入运OAOBOCOABC·18·8AO ABAO AC 算,即可623342【详解】解:由,得:点是的外心,OAOBOCOABC又外心是中垂线的交点,则有:,·18·8AO ABAO AC 即,()·18()·8ABAC ABABAC AC 又,,,6AB 4AC 12AB AC 所以,解得:,6233424916即,41119618故选:.C【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点,投影的概念,平面向量的数量积公式,属中档题.8.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=BB1=1,M 是 AC 的中点,则三棱锥 B1-ABM 的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 3225498【答案】B【解析】【分析】根据题意找到三棱锥 B1-ABM 的外接球球心为中点,即可求出其半径,则可求出其表面积.1AB【详解】如图所示:取中点为,中点为.并连接,1ABOABDDM则平面,OD ABMDADBDM所以1OAOBOMOB所以三棱锥 B1-ABM 的外接球球心为中点.1ABO所以,1222ABR 所以三棱锥 B1-ABM 的外接球的表面积为.242SR故选:B【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积,属于基础题.解本题的关键在于画出三棱柱,找到三棱锥的外接球球心.二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的四个选项中,有多在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分.9.Keep 是一款具有社交属性的健身 APP,致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep 可以让你随时随地进行锻炼,记录你每天的训练进程.不仅如此,它还可以根据不同人的体质,制定不同的健身计划.小明根据 Keep 记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程(单位:十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是( )A. 月跑步里程最小值出现在 2 月B. 月跑步里程逐月增加C. 月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数D. 1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小【答案】ACD【解析】【分析】根据折线图,依次分析月跑步里程的最小值,中位数,变化趋势,波动性即得解【详解】由折线图可知,月跑步里程的最小值出现在 2 月,故 A 正确;月跑步平均里程不是逐月增加的,故 B 不正确;月跑步里程数从小到大排列分别是:2 月,8 月,3 月,4 月,1 月,5 月,7 月,6 月,11 月,9 月,10 月,故 5 月份对应的里程数为中位数,故 C 正确;1 月到 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月波动性更小,变化比较平稳,故 D 正确.故选:ACD【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用,考查了学生综合分析,数形结合,数据处理能力,属于基础题10.已知函数,下列结论不正确的是( )( )sincossincosf xxxxxA. 函数图像关于对称4xB. 函数在上单调递增,4 4 C. 若,则12()()4f xf x122()2xxkkZD. 函数 f(x)的最小值为-2【答案】BCD【解析】【分析】去绝对值号,将函数变为分段函数,分段求值域,在化为分段函数时应求出每一段的定义域,由三角函数的性质求之.【详解】解:由题意可得:,32cos(2,2)2cossincos44( )sincossincos2sinsincos52sin[2,2]44xxkkxxxf xxxxxxxxxxkk…函数图象如下所示故对称轴为,,故 A 正确;4xkkZ显然函数在上单调递增,上单调递减,故 B 错误;,040,4当,时函数取得最小值,故 D 错误;524xkkZ min2f x 要使,则,则或,或12()()4f xf x12()()2f xf x112 πxk=1122xk222xk,2222xk12,k kZ所以或, ,故 C 错误.2122xxk21xxkkZ故选:BCD.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应用,表达式中含有绝对值,故应先去绝对值号,变为分段函数,再分段求值域,属于中档题.11.已知正方体棱长为,如图,为上的动点,平面.下面说法正确的1111ABCDABC D2M1CCAM 是( )A. 直线与平面所成角的正弦值范围为AB32,32B. 点与点重合时,平面截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大M1CC. 点为的中点时,若平面经过点,则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形M1CCBD. 己知为中点,当的和最小时,为的中点N1DDAMMNM1CC【答案】AC【解析】【分析】以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用DDADC1DDxyzDxyz空间向量法可判断 A 选项的正误;证明出平面,分别取棱、1AC 1ABD11AD、、、、的中点、、、、、,比较和六边形的11AB1BBBCCD1DDEFQNGH1ABDEFQNGH周长和面积的大小,可判断 B 选项的正误;利用空间向量法找出平面与棱、的交点、,11AD11ABEF判断四边形的形状可判断 C 选项的正误;将矩形与矩形延展为一个平面,利用BDEF11ACC A11CC D D、、三点共线得知最短,利用平行线分线段成比例定理求得,可判断 D 选项的AMNAMMNMC正误.【详解】对于 A 选项,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直DDADC1DDxyz角坐标系,则点、、设点,Dxyz2,0,0A2,2,0B0,2,02Maa平面,则为平面的一个法向量,且,,AM AM 2,2,AMa 0,2,0AB ,224232cos,,32288AB AMAB AMABAMaa 所以,直线与平面所成角的正弦值范围为,A 选项正确;AB32,32对于 B 选项,当与重合时,连接、、、,M1CC1ADBD1ABAC在正方体中,平面,平面,,1111ABCDABC D1CC ABCDBD QABCD1BDCC四边形是正方形,则,,平面,ABCDBDAC1CCACCBD1ACC平面,,同理可证,1AC Q1ACC1ACBD11ACAD,平面,1ADBDD1AC1ABD易知是边长为的等边三角形,其面积为,周长为1ABD2 21232 22 34A BDS△.2 236 2设、、、、、分别为棱、、、、、的中点,EFQNGH11AD11AB1BBBCCD1DD易知六边形是边长为的正六边形,且平面平面,EFQNGH2//EFQNGH1ABD正六边形的周长为,面积为,EFQNGH6 2 23623 34则的面积小于正六边形的面积,它们的周长相等,B 选项错误;1ABDEFQNGH对于 C 选项,设平面交棱于点,点,,11AD,0,2E b0,2,1M2,2,1AM 平面,平面,,即,得,,AM DE AMDE220AM DEb 1b 1,0,2E所以,点为棱的中点,同理可知,点为棱的中点,则,,E11ADF11AB2,1,2F1,1,0EF 而,,且,2,2,0DB 12EFDB //EF DBEFDB由空间中两点间的距离公式可得,,2222015DE 222221 2205BF ,DEBF所以,四边形为等腰梯形,C 选项正确;BDEF对于 D 选项,将矩形与矩形延展为一个平面,如下图所示:11ACC A11CC D D若最短,则、、三点共线,AMMNAMN,,11//CCDD2 2222 22MCACDNAD,所以,点不是棱的中点,D 选项错误.11222MCCCM1CC故选:AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围,同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题,考查空间想象能力与计算能力,属于难题.12.函数 f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列说法正确的是( )A. 当 a=1 时,f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 2x-y+1=0B. 当 a=1 时,f(x)存在唯一极小值点 x0且-1<f(x0)<0C. 对任意 a>0,f(x)在(-π,+∞)上均存在零点D. 存在 a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】【分析】逐一验证选项,选项 A,通过切点求切线,再通过点斜式写出切线方程,选项 B 通过导数求出函数极值并判断极值范围,选项 C、D,通过构造函数,将零点问题转化判断函数与直线 y=a 的交点问题.【详解】选项 A,当时,,,1a sinxf xex,x 所以,故切点为,, 01f0,1 cosxfxex所以切线斜率, 02kf故直线方程为:,即切线方程为:, 选项 A 正确.120yx 21yx选项 B,当时,,,1a sinxf xex,x cosxfxex恒成立,所以单调递增, sin0xfxex fx又, 202f 3434331cos4422fee ,所以,即,所以233422eee342e34122e304f 所以存在,使得,即03,42x 00fx00cos0xex则在上,,在上,,0,x 0fx0x , 0fx所以在上,单调递减,在上,单调递增.0,x f x0x , f x所以存在唯一的极小值点. f x0x 000000sinsincos2sin4xf xexxxx,则,,所以 B 正确.03,42x 03,44x 02sin1,04x 对于选项 C、D,, sinxf xeax,x 令,即 ,所以, 则令, 0f x sin0xeax1sinxxae sinxxF xe,x ,令,得 2sincossin4xxxxxFxee 0Fx,1,4xkkkZ 由函数的图像性质可知:2sin4yx时,,单调递减.52,2+44xkk2sin04x F x时,,单调递增.52,2++244xkk2sin04x F x所以时,取得极小值,52,,14xkkZ k F x即当时取得极小值,35,,44x F x又,即354435sinsin44ee3544FF又因为在上单调递减,所以3,4 F x 343242F xFe 所以时,取得极小值,2,,04xkkZ k F x即当时取得极大值,9,,44x F x又,即9449sinsin44ee944FF所以 4242F xFe当时,,x 3442222eF xe所以当,即时,f(x)在(-π,+∞)上无零点,所以 C 不正确.34122ea 342ae当,即时,与的图象只有一个交点4122ae42ae 1 ya sinxxF xe即存在 a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点,故 D 正确.故选:ABD.【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题,含参数问题的处理,考查数学运算,逻辑推理等学科素养的体现,属于难题题.三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.13.的展开式中的常数项为____________________.(用数字作答)621(2)xx【答案】240【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于 0,求出的值,即可求得常数项.xr【详解】解:展开式的通项公式为,621(2)xx66 3162( 1)rrrrrTCx令,求得,可得展开式中的常数项为,630r2r = =2462240C故答案为:240.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于基础题.14.一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的 1 个绿球和 3 个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球,每次摸取一个球,规则如下:若摸到绿球,则将此球放回箱中可继续再摸;若摸到红球,则将此球放回箱中改由对方摸球,甲先摸球,则在前四次摸球中,甲恰好摸到两次绿球的概率是________.【答案】15128【解析】【分析】先定义事件,,,,从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件AABB,利用事件的独立性进行概率计算,即可得到答案。
),,AAA BBAABA ABAA【详解】设“甲摸到绿球”的事件为,则,A1( )4P A “甲摸到红球”的事件为,则,A3( )4P A 设“乙摸到绿球”的事件为,则,B1( )4P B “乙摸到红球”的事件为,则,B3( )4P B 在前四次摸球中,甲恰好摸到两次绿球的情况是,(),,AAA BBAABA ABAA所以.113133114444444P 3311154444128故答案为:15128【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解的关键是准确定义相关事件15.己知 a,b 为正实数,直线 y=x-a 与曲线 y=ln(x+b)相切于点(x0,y0),则的最小值是11ab_______________.【答案】4【解析】【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、,进而可得,再利用01xb 00y 1ba,结合基本不等式即可得解.1111ababab【详解】对求导得,lnyxb1yxb因为直线 y=x-a 与曲线 y=ln(x+b)相切于点(x0,y0),所以即,011xb01xb 所以,所以切点为,00lnln 10yxbbb1,0b由切点在切线 y=x-a 上可得即,1,0b10ba1ba所以,11112224bab aababababa b当且仅当时,等号成立.12ba所以的最小值是.11ab4故答案为:.4【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用,考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力,属于中档题.16.已知双曲线,F1,F2是双曲线的左右两个焦点,P 在双曲线上且在第一象限,圆 M 是△2218yx F1PF2的内切圆.则 M 的横坐标为_________,若 F1到圆 M 上点的最大距离为,则△F1PF2的面积为4 3___________.【答案】 (1). 1 (2). 24 3【解析】【分析】利用双曲线的定义以及内切圆的性质,求得的横坐标.由 F1到圆 M 上点的最大距离,求得圆的半径,MM求得直线的方程,由此求得点的坐标,从而求得,进而求得△F1PF2的面积.1PFP12,PFPF【详解】双曲线的方程为,则.2218yx 1,2 2,1 83abc设圆分别与相切于,M1212,,PF PF FF,,B C A根据双曲线的定义可知,根据内切圆的性质可知122PFPF①,121212122PFPFPBFBPCF CFBF CF AF A而②. 由①②得:,所以,12126F AF AFF124,2F AF A()1,0A所以直线的方程为,即的横坐标为 .MA1x M1设的坐标为,则到圆 M 上点的最大距离为,M1,0Mrr 1F14 3MFr即,解得.2244 3rr4 33r 设直线的方程为,即.1PF30yk xk30kxyk到直线的距离为,解得.M1PF24 3334 331kkk3k 所以线的方程为.1PF33yx由且在第一象限,解得.223318yxyxP5,8 3P所以,.221538 316PF 21214PFPFa所以△F1PF2的面积为.121212PFPFFFr14 316 1462324 3故答案为: ;124 3【点睛】本小题主要考查双曲线的定义,考查圆的几何性质、直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.。












