(NEW)吉林大学数学学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题及详解.pdf
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目录 2012年吉林大学432统计学专业硕士考研真题 2012年吉林大学432统计学专业硕士考研真题及详解 2013年吉林大学432统计学专业硕士考研真题 2013年吉林大学432统计学专业硕士考研真题及详解 2015年吉林大学432统计学专业硕士考研真题 2015年吉林大学432统计学专业硕士考研真题及详解 2012年吉林大学432统计学专业硕 士考研真题 2012年吉林大学432统计学专业硕 士考研真题及详解 一、（25分）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组 成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10为了使整个系统起作 用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率 （（1.67））0.9225；（0.6）0.7257；（0.33）0.6293） 解：由题意可知每个部件正常工作的概率为0.9，总样本数n 100，用X表示正常工作的部件的数量，XB（100，0.9），则整个系 统起作用的概率为P（X85）np905且n（1p）95，根据棣 莫弗-拉普拉斯中心极限定理可知， 所以整个系统起作用的概率为： 二、（25分） 1由统计物理学知，分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦 （Maxwell）分布，其概率密度为 其中bm/（2kT），k为Boltzmann常数，T为绝对温度，m是分子 的质量，试确定常数A。
解：根据概率密度函数的性质可得： 解得 又bm/（2kT），故 2研究了英格兰在1875年1951年期间，在矿山上发生导致10人 或10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的T（以日 计）服从指数分布，其概率密度为： 求分布函数FT（t），并求概率P50T100 解：当t0时 当t0时，FT（t）0 所以分布函数为 三、（25分）设某电子器件的寿命（以小时计）T服从双参数的指 数分布，其概率密度为 其中c，（c，0）为未知参数自一批这种器件中随机抽取n件 进行寿命试验，设它们的失效时间依次为x1x2xn （1）求与c的最大似然估计； （2）求与c的矩估计 解：（1）似然函数为 两边求对数得到对数似然函数为： 因为lnL（，c）关于c单调递增，且当x1c时L0，当x1c时L 0，所以 cLx1是唯一使L达到最大的c值，即c的MLE将lnL（，c）对 求偏导并令其等于0，得到nn xnc0，由于似然函数是指数族 的形式，且 L的属于自然参数空间*：00，）的内点集， 故的极大似然估计为 L xx1 （2） 因为DTET2（ET）22，所以和c的矩估计为： 四、（25分）设从均值为，方差为20的总体中，分别抽取容量 为1，2的两个独立样本， X1和 X2分别是两样本的均值。
试证：对任意 常数a，b（ab1），Ya X1b X2都是的无偏估计并确定常数a，b 使Y的方差Var（Y）达到最小 解：由题意可知， 同理E（ X2），所以有： E（Y）E（a X1b X2）aE（ X1）bE（ X2）ab（a b） 因此，对任意常数a，b（ab1），Ya X1b X2都是的无偏估 计 因为两样本相互独立，所以： 当an1/（n1n2），bn2/（n1n2）时，Var（Y）达到最小值 五、（25分）随机地选8个人，分别测量了他们在早晨起床时和晚 上就寝时的身高（cm），得到如下数据 设各对数据的差DiXiYi（i1，2，，8）是来自正态总体 （D，D2）的样本，D，D2均未知，问是否可以认为早晨的身高要比 晚上的身高要高？（取0.05，t0.05（7）1.8946） 解：整理数据得到下表： 第一步：提出假设：H0：D0；H0：D0 第二步：计算D的均值和方差： D（0132121 2）/81.25 第三步：构造检验统计量 第四步：当原假设成立时，根据样本数据计算检验统计量的值为T 2.76； 第五步：做出决策：当0.05时，t0.051.8946，因为T2.76 1.8946，所以拒绝原假设，认为早晨的身高比晚上的身高要高。
六、（25分）假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为 yixii，i1，，n E（i）0，Var（i）2，诸观测者相互独立 （1）写出，2的最小二乘估计； （2）对给定的x0，其对应的因变量均值的估计为 y0，求Var（ y0） 解：（1）根据最小二乘法，使（yi yi）2（yi xi）2最小 令Q（yi yi）2根据微积分的极值定理，对Q求相应于的偏导数， 并令其等于0，便可求出 ，即 由于随机项i不可观测，只能从i的估计残差ei出发，对总体方 差2进行估计可证2的OLS为 （2）对给定的x0，其对应的因变量均值的估计为 y0， y0的方差为： 用最小二乘法计算得到 2013年吉林大学432统计学专业硕 士考研真题 2013年吉林大学432统计学专业硕 士考研真题及详解 一、（20分） 1设A，B为两个随机事件，P（A）P（B）1/3，P（A|B） 1/6，求条件概率P（ A| B） 解：由已知得P（AB）P（A|B）P（B）1/18，P（AB） P（A）P（B）P（AB）2/31/1811/18，P（ B）1P（B） 11/32/3，所以： 2设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不 发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）等于多少？ 解：由题意可知P（ A B）1/9，P（AB）P（A）P（AB） P（BA）P（B）P（BA），即P（A）P（B）。
因为P（ A B ）1P（AB）1/9，所以P（AB）8/9又因为A、B相互独 立，所以P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）2P（A） （P（A））28/9，且0P（A）1，解得P（A）2/3 二、（20分）袋内有a只白球，b只黑球，把球随机的一只只抽出 来，求第k次抽出的一只球是黑球的概率要求写出分析过程） 解：本题的求解思路可转化为：将a只白球和b只黑球放进ab个小 盒子里，求第k个小盒子放黑球的概率每个小盒子放一只球，一共有 （ab）！种放法，若第k个小盒子放黑球，那么一共有Cb1（ab 1）！种方法，因此第k次抽出一只球是黑球的概率为： 三、（20分）设二维随机（，）的联合分布密度为 试求D（），D（），Cov（，） 解：由已知得的边际密度函数为 的边际密度函数为 所以 则 同理可得 四、（25分）已知随机变量（，）的分布密度为 （1）求常数A； （2）求条件分布密度f（x|y），f（y|x）； （3）问，是否相互独立？ 解：（1）由概率密度函数的性质可知 故A6 （2）的边际密度函数为 的边际密度函数为 所以 （3）因为f（x）f（y）x（43x）y（43y）xy（1612y 12x9xy）f（x，y），所以，不独立。
五、（25分）设X1，X2，，Xn为总体的一个样本，总体的密度 函数为 其中c0为已知，0为未知参数，求参数的矩估计量和极大似 然估计量 解：因为 所以的矩估计量为 似然函数为L（）cnnc（x1x2xn）（c1） 对数似然函数为lnL（）nlncncln（c1）ln（x1x2xn）， x（1） 因为lnL（）关于单调递增，所以 LX（1）是唯一使L达到最大 的值，即的MLE 六、（40分）现收集了16组合金钢中的碳含量x及强度y的数据，经 计算得到 x0.125， y45.7886， 设各误差服从独立同分布的正态分布N（0，2），试回答以下问 题： （1）建立y关于x的一元线性回归方程 y 0 1x； （2）写出 0和 1的分布； （3）求 0和 1的相关系数； （4）给出1的0.95置信区间； （5）在x0.15时求对应的y的0.95预测区间 解：（1）根据最小二乘法，得到一元线性回归模型的系数的估计 为： 所以回归方程的表达式为 y84.3975x35.2389 （2） 0和 1均服从正态分布，其中： （3） 相关系数 （4）1的95%的置信区间为 （5）设x0为自变量x的一个特定值或给定值；E（y0）为给定x0时因 变量y的平均值或期望值。
当xx0时， y0 0 1x0为E（y0）的估计 值y0的95%的预测区间为： 其中x00.15， y00.1584.397535.238947.8985 2015年吉林大学432统计学专业硕 士考研真题 2015年吉林大学432统计学专业硕 士考研真题及详解 一、（15分）设随机变量X和Y都服从区间（0，1）上的均匀分 布，并且二者独立，求E|XY|a（a0为常数） 解：由已知X，YU（0，1），且两者独立，所以fX（x）1， 0 x1，fY（y）1，0y1，X，Y的联合密度函数为f（x，y）1， 0 x1，0y1故有： 二、（20分）设X1，X2，X3是来自均匀分布U（0，）的样本，记 14X（3）/3， 24X（1），分别计算 1和 2的均值和方差 解：由已知得XU（0，），，故X的概率密度函数为 最大次序统计量X（3）的密度函数为 最小次序统计量X（1）的密度函数为 故 所以 E 14E（X（3））/3 D 116D（X（3））/92/15 E 24E（X（1）） D 216D（X（1））32/5 三、（25分）设总体X的概率分布列如下：P（X0）P（X 2）2，P（X1）2（1），P（X3）12，其中（0 0.5）是未知参数，利用总体的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2， 3，求的矩估计值和最大似然估计值。
解：由已知可列出X的分布列如下表所示： 故EX0212（1）223（12）34根据 样本数据计算样本均值得到： x（31303123）/82 所以34 x2，解得的矩估计为 M1/4 似然函数为： L（）22（1）2（12）25（1322）25 6647 求导并令其等于0得到24（518142）0，因为00.5， 所以解得0.17，即的极大似然估计为 L0.17 四、（20分）设X1，X2，，Xn是来自均匀分布U（0，）的样 本，考虑检验问题：H0：3，H1：3，拒绝域取为WX（n） 2.5，求检验犯第一类错误的最大值，若要使得该0.05，则n至少应 取多少？ 解：由已知得XU（0，），故X的概率密度函数为 分布函数为 因此最大次序统计量X（n）的分布函数为 犯第一类错误的概率为 因为关于单调递减，所以当3时，取得最大值（2.5/3）n若 使0.5，则（2.5/3）n0.05， 即n至少为16 五、（25分）用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的 兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所 示： 在显著性水平0.05下对其进行方差分析，判断4种安眠药对兔子 的安眠作用有无明显的差别。
解：由表可知因素的水平数为4，在每种水平下做6次试验首先提 出假设： H0：1234 H1：1，2，3，4不全相等 计算各水平下安眠时间的均值为： x1（6.26.16.06.36.15.9）/66.1 x2（6.36.56.76.67.16.4）/66.6 x3（6.87.16.66.86.96.6）/66.8 x4（5.46.46.26.36.05.9）/66.03 计算总均值得到 计算各离差平方和得到： SSESSTSSA3.87362.55421.3194 综上可写出方差分析表如下： 由方差分析表可知F值F0.05（3，20），所以拒绝原假设，认为4 种安眠药对兔子的安眠作用有明显差别 六、（25分）在生产中积累了32组某种铸件在不同腐蚀时间x下腐 蚀深度y的数据，求得回归方程为 y0.44410.002263x，且误差方差 的无偏估计为 20.001452，总偏差平方和为0.1246 （1）对回归方程做显著性检验； （2）求样本相关系数； （3）若腐蚀时间x870，试给出y的0.95近。
