研究生录取的最大匹配模型.docx

研究生录取的最大匹配模型1 引言在研究生录取工作中，根据素质教育和培养高素质合格人才的要求，目前各学校都在录取的过程中采用了考试成绩与复试成绩相结合的做法．一般是根据初试的成绩，在达到国家和学校分数线的学生中从高分到低分排序，按1：1．5的比例选择进入复试的名单，由专家组的多名专家根据自己的看法和偏好，对所有参加复试学生的专业知识面、思维的创造性、灵活的应变能力、文字和口头的表达能力和外语水平等综合素质给出相应的评价，再由主管部门综合所有专家的意见和学生的初试成绩结合学生与导师的双向选择，确定录取名单，为每名被录取的研究生配备一位导师．(具体的问题见“2004年全国部分高校研究生数学建模竞赛”d题)本文的目的就是研究如何合理地录取研究生以及合理地把被录取研究生与导师进行配二、模型假设1． 在硕士研究生录取中，按目前国内大多数高校惯例假定初试和复试成绩所占比例（ ）固定，取值 0.5：0.51:2． 假设模型中各部分（如成绩、导师水平各方面、导师对学生要求等）所占权重和具体水平的量化在录取工作之前已对导师、学生和社会完全公开，体现了公平、公正和公开3． 本模型假定，作为某学生甲，他对导师 A 的满意程度，不会因为导师 A 带的学生数增加而改变。

4． 同时假定，某导师 A 对学生的满意程度是相互独立，且不会因为所带学生数多少而改变5． 模型假定，每一导师和学生配对产生的总合意指数是相互独立，且可以叠加6． 模型假定，师生双方的整体满意度用模型中的总体合意指数矩阵 中的相S应元素和来度量，选择最佳的方案，即等价于寻找一个最大匹配，使得在约束下的 指数和最大),(jiS三、问题分析题目中要求根据所给数据表格，给出各种不同的筛选方案、最佳双向选择方案以及一些配对的策略由于所给表格中除初成绩以外，其他大部分数据都只是半量化的量，所以首先必须根据比较、分散、公平、实际水平和量化数字正相关(即等级高的实际数据量化后的量化值也高) 等原则，对数据进行量化工作及标准化量化这些数据后就可以根据这些数据统计出学生的综合水平及导师的整体评价，从而可以确定出不同的筛选方案对于其中的“满意度” ，这是一个抽象的量，所以在此将其量化为“满意指数” ，这样使得最佳双向选择方案的问题转化为关于整体满意指数最大化的问题而如何使得师生双方配对的满意度最高，是解决问题的一个关键所在而题目中要求提供一些双向选择过程中的选择策略，这可以类似于一个动态规划的问题求解，为导师（或学生）提供策略，使得每一步他和某学生（或导师）之间相互选择的的机率最高。

四、符号定义、 、 ：初始时参与的导师（Director） 、学生（Student） 、专家dNse（Expert）人数在本模型中 取 15；第（3）问中 10 名导师与sN10 名学生一对一双向选择，则 10sd、 ：最后参加双向选择配对的导师、学生人数dns：在本模型中表示学生、导师（或专家）和涉及讨论各部分各因素的kji,索引下标 ：第 个学生笔试（Examination）的原始成绩和标准化的成绩iEii：第 个专家对第 个学生面试（Interview）第 方面的评分其中ijkIji k分别表示：灵活性、创造性、知识面、表达力和外语5~1、 ：专家组对第 个学生面试（Interview）第 方面的原始评分和标准ikIii化后的评分复试面试中五个方面相对总体的权重（Weight） ， Ikw 10,51IiiIw：研究生录取工作中初试占初试复试总成绩的权重，由假设 1 取  7.：第 个学生的专业发展意愿与第 个导师专业方向的吻合度，具体取值如ijMj下： 10.5ij i jMij学 生 第 一 志 愿 专 业 方 向 与 导 师 方 向 一 致学 生 第 二 志 愿 专 业 方 向 与 导 师 方 向 一 致学 生 没 有 申 报 导 师 的 方 向则 表示学生专业意愿与导师专业方向的吻合度矩阵（ ） 。

dsn：整体学生的专业意愿和第 个导师专业方向的吻合指数j j：第 个导师的第 个学术（Academic）水平的原始指标数，其中 jkAjk 4~1k分别表示发表论文数、论文检索数、编（译）著作数和科研项目数例如，表示第 2 个导师的编（译）著作数目为 1123：第 个导师的第 个学术水平的标准化指标数jkAjk：导师各学术水平指标占总体学术水平的权重ikw 10,14AikkAiw、 ：第 个导师对学生专长的第 个方面的期望要求（Requirement） ，jkRjj k及标准化后的期望要求，其中 分别表示：灵活性、创造性、知5~1识面、表达力和外语 表示导师对学生专长的期望要求矩阵R（ ） 5dn：以第 个学生第 k 方面专长占该学生整体专长的比重，作为该学生评价导Rikwi师时，导师对学生该方面期望占全部期望的权重10,15RikkRiw： 以第 个导师对学生第 k 方面专长期望占总体期望的比重，作为该导师Ijkj评价学生面试成绩时，该方面专长占整体的权重10,15IjkkIjw：以整体学生在第 k 方面专长占总体专长的比重，作为主管部门评价导师SRw时，导师对学生该方面期望占总体期望的权重。

10,15SRkkSRw ：以导师组对学生第 k 方面专长期望占总体的期望的比重，作为导师组评DIkw价学生面试成绩时，该方面专长占整体的权重10,15DIkkDIw：第 个学生对第 个导师的满意（Satisfaction）指数， 表示一),(s2djiSij dsS2个 学生对导师的满意指数矩阵dsn：第 个导师对第 个学生的满意指数， 表示一个 导师对学),(d2sjiji sdS2dsn生的满意指数矩阵第 个学生配对第 个导师双方产生的总体合意指数， 表示一个),(jiSij S总体合意指数矩阵dsn：学生对导师的满意指数所涉及三个方面的权重，kw210,12312dskkdsw：导师对学生的满意指数所涉及三个方面的权重，sd210,1s2d312kksd：导师(Director)评价(Evaluation)指数中所涉及三个方面的权重，DEw10,131EDkkEw：对第 个学生的综合评价（The Integrated Evaluation of Student）)(iISi指数对第 个导师的综合评价（The Integrated Evaluation of )(jIEDjDirector）指数。

导师组对第 个学生的综合评价（The Integrated Evaluation of )(iGISiStudent by Director Group）指数表示第 个学生和第 个导师间的配对关系具体如下：ijtij个 导 师 之 间 不 配 对个 学 生 和 第第， 个 导 师 之 间 配 对个 学 生 和 第第 jitij1,0五、模型的建立1．量化数据首先，由于所给表格中除初试成绩以外，其他大部分数据都只是半量化的量，所以首先必须按公平、合理、正相关（即等级高的实际数据量化后的量化值也高）原则对数据进行量化在面试评分中给出了 A、B、C、D 四种等级基于一般学校评分的惯例，A、B、C、D 四种等级（有时为优、良、中、差）与 100 分制的对应关系如下：ABCD 四等级 对应 100 分制的范围（分） 近似量化分数（分）A 85~100 92.5B 70~85 77.5C 60~70 65D 0~60 40表中最后一列给出 100 制中对应的近似量化分数，那么本模型中将学生的面试等级 ABCD 换算为近似量化的分数导师对学生在某方面专长（如外语）的期望也给出了 A、B、C、D 四种等级。

这里可以将它理解为评价该方面专长对总体重要性的等级，与评价学生水平的等级不同本模型将把它与重要性评分的 4 分制对应起来：ABCD 四等级 对应 4 分制的分数A 4B 3C 2D 1然后需要进行不同指标的标准化，标准化目的是使取值范围不同、分散集中程度不同的数据能够进行公平比较一种简单的标准做法就是：以学生笔试成绩 为例，标准化后的笔试成绩为：iE，iNiiiii Esss11mnax则 10iE2．给出选取（筛选）方案在对数据进行量化后，接着再根据题目要求给出方案先挑选学生或导师，此方案中根据不同题目要求需提供下列方案：（1） 从主管部门的角度考虑，给出综合学生的初试和复试成绩从 15 名候选研究生中筛选 10 名研究生；（2） 从导师的角度，不考虑学生申报志愿，给出由导师组筛选 10 名研究生的新方案3） 从学校的角度考虑，充分考虑学生和导师的综合情况给出选择 5 名导师；根据题目的不同要求，我们将在接下来模型的应用求解中给出不同的方案（先对学生或先对导师进行筛选） 3．建立满意度指标经过前面的方案的第一轮筛选，最后剩下的导师数为 （ ） ，学生dndN数为 （ ） ，双方再进行双向选择。

snsN为了衡量双方选择的满意程度，我们引入了满意度指标，其中学生对导师的满意指数 是衡量学生 i 对导师 j 满意程度的量化指标同理，导师),(s2djiS对学生的满意指数 是衡量导师 j 对学生 i 满意程度的量化指标而两,2sji者之间的乘积则是衡量他们相互选择产生的双方总体合意程度的量化指标，记为 一定程度上，它也表示师生双方互相选择的概率，这是他们相互选),(jiS择时要考虑的重要参数接下来，我们先考虑学生对导师的满意指数 ),(s2djiS学生会根据自己的专业发展意愿、导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师，所以我们必须充分考虑这三方面的因素学生 选 导 师的满意度导 师 的专业方 向导 师 的期望要 求学生志愿和导师专业方向的吻合度创造性表达力知识面灵活性外语导 师的学术 水平论文检索数编译著作数发表论文数科研项目数图 1：学生对导师的满意度指标上图是学生对导师的满意指数与导师基本情况的 AHP 图首先，对与第一层次的三个因素的考虑，一般认为三个因素对 的影响程度依次递减，),(s2djiS不妨将权重取为 、 和 即如下表：2/1dsw3/1ds 6/1w表 1：学生对导师的满意（Satisfaction）指数影响的因素影响因素序号 影响 具体因素),(s2djiS所占权重1自己专业发展意愿与导师专业方向的吻合程度； 取 2/1ds2 导师的基本学术情况； 取 3sw3自己专长与导师对学生期望的符合程度； 取 6/2ds对于第 1 个因素，考虑第 个学生的专业发展意愿与第 个导师专业方向的i j吻合度 ，具体取值如下：ijM0.5ij i jij学 生 第 一 志 愿 专 业 方 向 与 导 师 方 向 一 致学 生 第 二 志 愿 专 业 方 向 与 导 师 方 向 一 致学 生 没 有 申 报 导 师 的 方 向如本题中，15 个学生的专业发展意愿与 10 个导师专业方向的吻合度表格如下：表 2：学生专业发展意愿与导师专业方向的吻合度导师 1 导师 2 导师 3 导师 4 导师 5 导师 6 导师 7 导师 8 导师 9 导师 10学生 1 0 0 0 1 1 0.5 0.5 0.5 0 0学生 2 0.5 0.5 0.5 0 0 1 1 1 0 0学生 3 1 1 1 0.5 0.5 0 0 0 0 0学生 4 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 1 1学生 5 0 0 0 0.5 0.5 1 1 1 0 0学生 6 0 0 0 0 0 1 1 1 0.5 0.5学生 7 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0 1 1学生 8 0 0 0 1 1 0 0 0 0.5 0.5学生 9 1 1 1 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0学。