问题支架模式下的数学教学.doc

问题“支架”模式下的数学教学 ------空间线面关系的判定杜根华摘要：本文充分挖掘教材主旨思想，对教材进行二次深度开发，利用向量坐标法和向量几何法判定空间线线、线面、面面的位置关系，同时结合传统方法解决立体几何，让学生体会各种方法的优越性教学中笔者采取问题“支架”,合作探究等学习数学的方式，促使学生发挥学习的主动性，让学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程关键词：问题“支架” 向量坐标法 向量几何法问题“支架”的教学模式是指联系一定的教学目标，以导学案为载体，以问题为导向，以问题解决为基石，使学生在解决问题的过程中掌握知识，形成自主学习能力的课堂教学模式它即弥补了过分强调教师的主导作用，忽视学生的主体地位和学生学习的积极性、主动性的不足，又弥补了过分强调学生的主体地位而忽视教师主导作用的不足在高二数学《空间线面关系的判定》一节教学中，笔者运用如图所示的问题“支架”的教学模式进行教学问题1.1问题1.2问题2.1和2.2问题3.1、3.2、3.3问题4.1和4.2问题5空间线面关系的判定问题 6一、回顾问题，承前启后 问题1.1共面向量基本定理: 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得 问题1.2空间向量基本定理: 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在惟一有序实数组，使 评注: 问题设计应注重铺垫性。

这两个小问题即为系列3问题的解决做了良好的铺垫（问题3.1的解决应用了平面向量基本定理，问题3.2的解决应用了空间向量基本定理），也为后面解决空间立体几何图形的位置关系提供了一个十分有效的工具，起到了导向的作用，体现了数学学科特点二、探究问题，知识生成问题2.1在空间中线线、线面、面面的位置关系主要有哪几种关系？问题2.2如何用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线线、线面、面面位置关系？评注：问题设计应具有召唤性问题2.1与2.2有利于帮助学生找准新旧知识的连接点，唤起与形成新知识相关的旧知，从而使学生的原认知结构对新知识的学习具有某种“召唤力”解决问题2.2，笔者采取每四人一组进行讨论的互动方式，让每一个学生都处于问题探究中心，通过大胆猜想，积极思考，动手实践，将原本模棱两可的猜想通过图形语言和符号语言的展示变为现实清晰的结论，从中体验了数学知识生成的来龙去脉，加深学生对数学知识的理解，更好的加以应用三、教师引导，解决问题B1C例1、如图，在直三棱柱中，，,,是棱的中点.求证：. 问题3.1请同学们思考如何应用向量法解决立体几何中的线线垂直问题?要证，只要证,，即证评注：问题设计应研究教材。

教材中的解法结合传统的平面向量基本知识，将三维空间问题简化成二维平面问题，体现出数学的化归思想问题3.2如何将一个向量转化为不共面的三个向量线性表示？选择以作为基底，先将分别用基底线性表示，然后运用向量的数量积去证明评注：问题3.2的解决体现向量之间转化的熟练程度，从二维到三维的升华问题3.1和3.2的证法归结为向量的几何法 问题3.3通过观察图形的垂直关系,如何选择特殊的基底？ 选择正交基底建立空间直角坐标系，分别以、、所在直线为，建立空间直角 坐标系，然后将用表示评注：解决问题3.3要求学生的观察能力非常强，加强学生的直观判断问题3.3的证法归结为向量的坐标法系列3问题的设计注重了思维递进，从一个向量如何被两个不共线的向量表示，到如何被三个不共面的向量表示，再到被特殊基底表示，建立空间直角坐标系，运用向量的坐标法去解决立体几何系列3问题的解决体现出三维到二维、二维再到三维、最后特殊化的思维变化思维的递进，方法的优越，不断地转化到本节课的重点，鼓励学生灵活选择适合自己的方法，探索解决立体几何的最优方法AEFMNDBC例2、如图，已知矩形和矩形所在平面垂直，点分别在对角线，上，且，.求证：∥平面.问题4.1如何利用向量法证明立体几何中的线面平行关系？以所在直线为，建立空间直角坐标系，设,然后拿出各个点坐标，最后拿出和平面的法向量的坐标。

必须强调利用矩形和矩形所在平面垂直证明互相垂直，体现书写的完整性和规范性问题4.2表示坐标时出现了分数，能不能通过改变设法从而使得的坐标没有分数形式？ 通过学生直观感知题目中出现的字样，假设，这样即简化了表达式又减少了计算量，最后强调证到了之后，必须添加不在平面内 评注：系列4问题是系列3问题在知识方面的迁移，同时系列4 问题通过直观感知让学生在几种方法中选择向量的坐标法，让学生的思维可以展翅飞翔，同时笔者指导学生查阅教材第75页例1，感受教材是如何应用向量的几何法来证明， 体会两种方法各自的魅力，便于学生选择适合自己的方法四、方法探究，融会贯通FA1EB1D1C1CDBA例3、如图，已知正方体求证:平面.问题5探讨用哪种方法，更快更便利的证明面与面的位置关系？法1：只要证 或者只要证；法2：只要证；或者只要证；法3：只要证平面的法向量与平行或者证平面与平行；法4：只要求平面和平面的法向量，证明两个法向量垂直评注：问题设计应具有开放性以开放性的问题引导，采取同桌合作的探究方式，探讨出要证面面垂直只要证线面垂直，同时探讨出4类方法，激励学生进行拓展思维、发散迁移，将传统方法和向量方法结合，指出向量方法解决立体几何并不是万能的，也不一定是最优越的。

只有有机结合传统方法和向量方法，才是解决立体几何的真谛五、感受收获，画龙点睛问题6同学们你本节课的收获有哪些？评注：问题设计应具有发散性问题6的问法范围比较广，思维比较发散有部分学生回答的是“我学习了空间向量解决立体几何”，也有部分学生回答的是“学习了向量法和几何法解决立体几何”，只有个别学生回答的是“传统证法解决立体几何”这些回答都不能满足笔者心目中的答案，但将这些发散性的答案合成，也许可以让学生回顾具体知识、具体解法，从中得知在处理规则的立体几何问题时可以首先考虑向量坐标法，但在不规则的几何体中建立空间直角坐标系就并非易事，所以单纯的传统方法或向量方法都不是解答问题的最佳方案，只有有机地将两种方法结合在一起，才能更好地体现数学方法使用的灵活性只有发散的问题才会得到最后的点睛之笔,起到了完善知识网络、强化目标、知识迁移的作用,课堂教学也上升到了理论的高度,显现出了课堂教学的魅力问题设计除了前面提到的这些方面，笔者认为问题设计还应给学生提供多样化的探究方式系列2和系列5问题分别采取小组合作和同桌合作的探究方式，体现出以学生为主体、一切为了学生发展的教学理念，同时尽可能地让学生开展自主探究，给学生留下足够的思考、交流的时间和空间，通过自己的思维活动获得知识，体会思想，掌握方法，学会应用，做到使每一个学生得到不同程度的提高，让每一个学生在课堂上放飞思维的翅膀。

本节课中，笔者提出了一个又一个的问题，就像给学生提供了一个又一个的脚手架，每一个脚手架不是简单的组合，它必须贴近学生的学情，学生的思维，有较好的结构性，使学生的认识一步步深化数学教学从问题开始，回顾旧知，引发思考，激活思维，展示知识发生、发展、应用的过程，在这一过程中通过笔者建立适当的问题“支架”，实现课堂最大化的有效教学 参考文献 [1]徐英俊.教学设计[M」.北京:教育科学出版社，2001.[2]李士绮.PME:数学教育心理[M].上海:华东师范大学出版社，2001.[3]李光.新课程背景下立体几何教学研究[D].昆明:云南师范大学数学学院，2006.。