动力计算课件.pdf

习题训练下一页第3章结构动力计算本章主要介绍结构在动荷载作用下的动力响应，及结构本身固有的动力特性，如：自振频率及振 型等重点求解集中质量质点的退出振动本 章 主 要 内 容第一节概述第 二 节 单自由度体系的振动第三节单自由度体系的强迫振动第 四 节 阻尼对振动的影响第 五 节 多自由度体系的振动第 六 节 主振型的正交性第七节 多自由度体系自由振动的通解第 八 节 能量法让篁自振频率第 九 节 对称性利用自测题 习题第 一 节 概 述 结构动力学研究结构在动荷载作用下的变形和内力，即研究结构的动力反应结构的动力反应涉及结构本身的动力特性、动力荷载的性质结构本身的动力特性是结构本身固有的，如自由振动频率，振型等动力荷载是指大小、方向、作用点随时间而变化的荷载动力荷载不能忽略惯性力，这是区别静力荷载的关键一、动 力 荷 载 的 种 类(1)简谐性周期荷载-运动的规律性通常表现为正弦或余弦函数形式：0(1)=Psm 3t(2)冲击荷载-荷载强度很大，但作用时间很短，如打桩3)随机荷载 变化规律带有一定偶然性的非确定性荷载，如地震荷载和风荷载二、动 力 计 算 中 的 体 系 的 自 由 度质点的位移就是动力计算的基本未知数。

把体系在弹性变形过程中确定所有质点的位置所需的独立参数的数目，称为该体系的自由度把体系的分布质量相对集中为几个集中质量，把无限多个自由度化成有限多个自由度来计算忽略其转角变形仇 即 把“质体”视为质点忽略其轴向位移x,认为轴向是不可伸长（压缩）的简化的质点数越多，其误差相对越小，但自由度增加，计算就越复杂2V12简化为2个质点umndo.25m 0.5m0.25m简化为3个质点体 系 自 由 度 的 确 定要确定具有若干个集中质点体系的自由度数时，则需对质点施加链杆约束，限制所有质点的位移使整个体系完全不能动，所施加的链杆数就是体系的自由度数2个自由度4个自由度2个自由度体 系 自 由 度 的 确 定注意：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度,自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关b)m.m2.a(0EI=8 三个集中质量，一个自由度一个集中质量，两个自由度2.确定体系振动自由度的方法;方法一：可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度2个自由度方法二：当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造分析中的钱接链杆法将所有质点和刚结点变为较结点后，使钱接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。

4个自由度 .列：设直杆的轴向变形不计，图示体系的动力自由度为1 多少?(a)(b)例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体系的动力自由度数为多少？自由度数5三、阻 尼尼对结构的作用:A一类是材料的非弹性变形，使变形能损失另一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简;把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用并且假定阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘滞阻尼理论即：R-cv=孚=-cyatA一 阻 尼 力；负号表示阻尼力的方向与运动速度的方向相反c阻尼系数；V质点运动的速度;返回目录1第 二 节 单 自 由 度 体 系 的 摄 动1.单自由度体系的自由振动；2.单自由度体系的强迫振动；3.阻尼对振动的影响；iJ 3.2.l单 自 由 度 体 系 的 自 由 振 动、自由振动微分方程的建立 y1k1 r工,刚度法：从力系平衡的角度考虑 卜Dmm受力：|,弹性力：用，与位移方向相反；y惯性力：-雄，与加速度方向相反；?9 日m根据达朗伯原理：m y+k y=O k/my/72.柔度法：从变形协调角度考虑 1体系受惯性力：fi=m y 必m 的位移：y=f =m y 3其中：友一刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力；5 柔度系数；单位力作用下m产生的位移：s=jI，3.2.1单 自 由 度 体 系 的 自 由 振 动二、自由振动微分方程的解微分方程：m y+k y=O 令：京=方程可改写为:7my-i-CD y=0方程通解：y(0 =q S i n a+G c o s a根据初始条件：t=0时，y=y0,产也可确定G，Gy(t)=G c o s 血-G s i n Q G=N o、一i；Cxco vn=C 方程的解:y。

)=%s i n /+蟒c o s日自由振动的组成：一部分由初始位移y引起的；另一部分由初始速度Vco方程的解也可以写成：=4 s i n(a+a)根据初始条件可解得：a =工 a =t gx当V 6 9 V3.2.1单 自 由 度 体 系 的 自 由 振 动三、结构的自振周期从微分方程的解:M%）=q s i n 3 +o）知位移是周期函数;自振周期T：振动一周需要的咯闻单位:“S （秒）”T=尊=2%楞 =2 万 痂;自振频率片单位时间的振动次数；单位叁H z J L 赫兹）二f =L =-QLJ T 2兀圆频率或角频率3：2 兀时间内的振动次数，单位*弧度/S”；=2jjf co1=-=/7 7 7 mo自振周期的性质：1.自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关2.质量越大，周期越大；刚度越大，周期越小3,自振周期是结构动力性能的一个重要指标例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为/,截面面积为4 惯性矩为I,弹性模量为石杆顶重物的质量为m杆的质量忽略不计，试分别计算水平振动和竖向振动的自振周期解：解题的依据1.水平振动mQ刚度系数：即位移法的基本体系在质点处单位位移/作用下的杆端力。

1 _MA _ 3 i _ 3 E I丁可柔度系数：即体系在质点处单位力作用下的位移一2.竖向振动例2：求图示结构的重量集中为柱顶，W=20KN,试计算结构的自振周期石/=3.528xl07Nm2.结构的刚度系数即使柱顶发生单位位移时，在柱顶需施加的力考虑梁AB的平衡可得:24EL3结构的自振周期：7一3一2叼无一2叼 西 柬I-T=2%2 0义1 x?-=0.14345V24x3.528 xl0 x9.8 A B/_L=，/12%12%例3：图a所 不 结 构 频 率 为 求 图b所不结构频率Goki(b)解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数A等于各弹簧刚度系数之和.k=kl+k1+k3co=k?+3m2 2 2+0)2+例4：图a所示结构周期为看,求图b所示体系周期解：图b体系为串联弹簧，其柔度力（刚度系数如勺倒数）等于各弹柔度4 （簧刚度系数用的倒数）之和2兀T=2兀C D%?式必s=4+&+a1 1 1=+k、k2 4 3/-x 7 z 1 1 1、)加 宁+婷)甲+厅+厅图a所示体系中，已知横梁6 端侧移刚度为吊,弹簧刚度为右，求竖向振动频率a)(b)解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系,竖向振动频率为区=I左也V m m(k+左 2)例：图a所示体系中A1为横梁在C点的侧移刚度，k2为弹簧刚度。

求体系的竖向振动频率m.k i1 k2 青(a)加(b)解：体系可简化为图b所示的并联弹簧体系，竖向振动频率为返回目录w第 三 节 单 自 由 度 体 系 的 强 迫 振 动1.单自由度体系的强迫振动的微分方程:ym y+k y=P 可写成：9+2歹=等彳/kwvwvwP(t)2.当荷载为简谐荷载时：P(t)=F s0 0 ty+co y=Cm3.微分方程的解为：y=-2-2-(sin6lf-sin69/)=乂/?(sin4-m a)i 6 6 01 T0 、sm c o t)2ym ym受力图CD 以二层为静荷载F作用下的振幅方 为动力系数m co 1-2co时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振4.单自由度体系的强迫振动时的动力放大系数1）简谐动荷载作用在质体上,内力动力系数与位移动力系数相同V 1动力系数：，=u 二 铲Kt i_E_1 2C O计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法算出相应的位移、内力，再乘以动力系数万即可2）简谐动荷载不作用在质体上，结构没有一个统一的动力系数计算结构的位移和内力时，应先算出质体上的惯性力，再将惯性力及荷载幅值作用于结构上（如左图所示），然后按静力方法计算。

例3:图示梁/=4 m,截面抗弯系数W=534 cm z,惯性矩/=748cm4,弹模石=2.1xl()4KN/cm2在跨中有电动机，重量Q=35KN,转速n=50017m in电机转动的离心力P=10K N,离心力的竖向分力为Ps配仇不计梁的质量，试求梁振动的动力系数和最大正应力1.体系自由振动的圆频率：|P S m O t1 I I 2 I l3 一百 -o-k /2 2 4 3 4:4配_ _ ”0.5产=k=1 )=工=48.7g m m8 m8 g/3 1，叵田返还二五L5743/S/V 35 x10 X43 方32.荷载频率：架=红 逑 _ =52.36/s 25160 60 M3.动力系数：5；.362 3为动力位移和动力应跨中最大正应力：0 57.43力的放大倍数M m ax _/I R PlW 4少“4少(35 x 10,+5.93 x 10 x10)x44x5.34x10-4=17.66x105.最大位移和最大内力的计算 振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；振幅为动位移的幅值（最大动位移）；最大内力为最大动内力与静内力之和最大动位移和最大动内力要考虑动力系数的影响；动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。

6.动荷载频率的大小与结构受力特点的关系 当外荷载的频率很小时（夕 v v ），体系振动很慢，因此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡当外荷载的频率很大时（分 助，体系振动很快，因此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主要与惯性力平衡当外荷载接近自振频率时（，=），弹性力和惯性力都接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡返回目录第 四 节 阻 尼 对 振 动 的 影 响1.单自由度体系有阻尼振动的微分方程:my+cy+ky=P(t)2.有阻尼自由振动:my+cy+ky=Q微分方程的解为：yym P(t)km2C D Jy=e 2m (sin coj+a)my参 数a.cor.a是 与co.c.m.y0,v0有关的系数其中，&二 不 为阻尼比,c为阻尼系数Zmco阻尼比不是结构阻尼的重要参数第 四 节 阻 尼 对 振 动 的 影 响 阻尼对体系自振频率的影响考虑阻尼时体系的自振频率 例为小阻尼，体系具有振动的性质；自振频率减小qi（大阻尼）和宁1 （临界阻尼）时，体系不具有振动的性通 常？很小，一般结构可取 小 O2.阻尼比的确定利用有阻尼体系自由振动时振幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。

J x-In 以2 即 yk+n其中以与以+为相距个周期的自由振动振幅第 四 节 阻 尼 对 振 动 的 影 响3,阻尼对动力系数的影响在强迫振动中，阻尼起着减小动力系数的作用.简谐荷载作用下动力系数为：D _ y O m a x _一丁丁小此V CD CO当9/G的值在0.751.25之 内（共振区）时，阻尼对降低动力系数的作用特别显著返回目录第 四 节 阻 尼 对 振 动 的 影 响3,阻尼对动力系数的影响在强迫振动中，阻尼起着减小动力系数的作用.简谐荷载作用下动力系数为：D _ y O m a x _一丁丁小此V CD CO当9/G的值在0.751.25之 内（共振区）时，阻尼对降低动力系数的作用特别显著返回目录1第 五 节 多 自 由 度 体 系 的 振 动1.运动微分方程式的建立及求解2.振型向量的概念；3.自由振动频率和振型计算示例；.3 5 1运 动 微 分 方 程 式 的 建 立 及 求 解 ll 一、刚 度 法 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _C!|度法：由各质点力的平衡条件。