主李宗儒在正式介绍高斯次互反律之前,我们先简单的介绍下同余.doc

高斯二次互反律高斯二次互反律主講：李宗儒在正式介紹高斯二次互反律之前，我們先簡單的介紹一下同餘方程式同餘方程式 給定正整數 m 及 n 次整系數多項式1 110( )...nn nnf xa xaxa xa 我們討論這樣的問題：求出所有的整數 x，使同餘式(mod m) (1)( )0f x  成立，這就是所謂的解同餘方程式而上式稱為模 m 的同餘方程式若(1)式在 x=c 時同餘式成立，稱 c 是(1)式的解顯然，這時剩餘類 c (mod m) 中的任意 整數也都是解，我們把這些解看作是相同的，並說剩餘類 c (mod m) 是(1)中的 一個解，我們把它記為(mod m)xc當均為(1)式的解，且模 m 不同餘，我們就稱它是同餘方程式(1)的不同解，12,c c所有模 m 兩兩不同餘的解的個數，稱為是同餘方程式(1)的解數模為質數的二次同餘方程在此節，由於的情形是顯然的，所以下面我們假定 p 是奇質數假設 p 不2p 整除 a，二次同餘方程的一般形式是(mod p) (2)20axbxc 但是因為 p 不整除 a，所以 p 不整除 4a，所以(2)的解跟(mod p) (3)240a axbxc的解相同，上式可以改為(mod p) (4)2224axbbac透過變數變換，我們可以得到下列式子(mod p) (5)224ybac(4)與(5)是等價的，也就是說，兩者同時無解或有解。

若有解，對於(5)的每個解(mod p)，通過變數變換(因為這是 x 的一次同餘方程，0yy2yaxb ，所以解數為 1)，我們可以解出一個 (mod p)，由以上的討論可( ,2 )1pa 0xx知，我們只要討論形如(mod p) (6)2xd的同餘方程式，很容易的，當 p 整除 d 時，(6)僅有一解(mod p)所以，0x  我們只討論 p 不整除 d 的情形 定義 1設質數，d 是整數，且 p 不整除 d，如果同餘方程式(6)有解，則稱 d2p 是模 p 的二次剩餘，若無解，則稱 d 是模 p 的二次非剩餘定理 1在模 p 的一個完全剩餘系中，恰有個模 p 的二次剩餘，個模 p1 2p1 2p的二次非剩餘，此外，若 d 是模 p 的二次剩餘，則同餘方程式(6)的解數為二定理 2設質數且 p 不整除 d，其中 d 是整數那麼 d 是模 p 的二次剩餘的充2p 要條件是 (mod p)；d 是模 p 的二次非剩餘的充要條件是 (1) 21pd(mod p)(1) 21pd 為了接下來的討論方便，我們引進一個表示模 p 的二次剩餘、二次非剩餘 的符號 ─ Legendre 符號定義 2設質數，定義整數變數 d 的函數2p 引理 1(1) dpd pp(2) (mod p)(1) 2pddp(3) dcdc ppp(4) 若 p 不整除 d2 1d p(5) ，11p (1) 211p p (6) 同餘方程式 (mod p)的解數是2xd1d p引理 2設質數且 p 不整除 d，再設，，，以 n 表示2p 12pjjtjd0jtp這個中大於的的個數，那麼有(1) 2pjt2pjt( 1)nd p  定理 3我們有 2(1) 82( 1)p p 定理 4設質數且 p 不整除 d，且當，有2p ( ,2 )1dp ，其中 ( 1)Td p (1) 21pjjdTp定理 5在定理四中，若 d 也是奇質數，則有(1) 2 (1) 2( 1)pp pq    這就是有名的高斯二次互反律。