单元与插值函数的构造.pdf

单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造单元与插值函数的构造问题： 利用广义坐标，建立有限单元法的插值函数方法繁琐，形成的单元矩阵复杂必须注意：插值函数的构成不取决于求解的微分方程式，插值函数构造方法仅取决于：几何图形（单元形状）、 结点数量与位置以及在单元结点处规定的因变量的数量单元与插值函数的构造利用广义坐标建立有限单元法的插值函数方法，首先将场函数表示为多项式的形式，然后利用节点条件，将多项式中的待定参数表示成场函数的节点值和单元几何的函数无疑，形成插值函数的方法烦琐尤其在形成三角形高阶单元时，利用面积 (自然 )坐标可以更方便地建立单元插值函数单元与插值函数的构造从节点参数的类型来看, 可以仅包含场函数的节点值，也可能包含 场函数的导数的节点值取决于在单元交界 面上的连续性的要求, 这往往由泛函(或控制微分方程)中场函数导数的最高阶决定的 例如，场函数导数的最高阶为一阶时，仅要 求在单元交界面上的场函数连续，即： C0连续性从运算简单和易于满足收敛性的要求来看从运算简单和易于满足收敛性的要求来看, 采用采用幂函数多项式做为插值函数比较合适幂函数多项式做为插值函数比较合适, 因而得到广泛因而得到广泛应用应用 。

采用幂函数多项式时采用幂函数多项式时, 对于仅满足对于仅满足C0连续性要求连续性要求的单元的单元, 则仅在单元的角点配置节点则仅在单元的角点配置节点 随着连续性要随着连续性要求的增加求的增加,单元内部的函数场一般应当二次单元内部的函数场一般应当二次(或高次或高次)变变化化, 则要求不仅在单元的角点配置节点，还要在单元则要求不仅在单元的角点配置节点，还要在单元的边配置一至数个边节点的边配置一至数个边节点 为了尽可能构造完全多项为了尽可能构造完全多项式式, 一般还会附加生成单元内部节点一般还会附加生成单元内部节点 单元与插值函数的构造到目前为止到目前为止, 关于单元内部节点的利弊都还待深关于单元内部节点的利弊都还待深入研究入研究 一般认为一般认为, 在实体在实体(二二, 三三)维问题中维问题中,单元单元内部节点弊大于利内部节点弊大于利, 应尽量避免应尽量避免 而在板壳问题中而在板壳问题中,单元内部节点对于稳定计算是有贡献的单元内部节点对于稳定计算是有贡献的 单元与插值函数的构造一一.Lagrange单元单元1.n个结点构造个结点构造n-1次次Lagrange插值多项式插值多项式注：注：1)结点结点i的插值函数的插值函数,2)ξi为第个为第个i结点坐标结点坐标,3)ξ为自然坐标为自然坐标即：即：为结点当为结点当n-1次插值函数。

次插值函数i=1,2…n一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C0））∏≠=+−+−−−−=−−−−−−−−−−=nik1k kikni1ii1ii2i1in1i1i21)1n(i)()())...()()...()(())...()()...()(()(lξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ)(l)1n(iξ−2. 的性质的性质i=1,2…n1) n-1次插值函数次插值函数,共有共有n个个2) 3))(l)1n(iξ−⎩⎨⎧≠==−ji0ji1)(lijj)1n(iδξ1)(l)1n(in1i=−=∑ξ一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C0））3.构造一维单元插值函数构造一维单元插值函数a. Lagrange线性插值线性插值(n=2)或记为：或记为：)1(21)1(21)()()(121211ξξξξξξξξ +=−=−−=l)1(21)1(21)()()(212112ξξξξξξξξ +=+=−−=l)1(21)(1ξξξiil +=一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C0））11() (1 )2iil ξ ξξ=+即：即：111() (1 )2l ξ ξ=−121() (1 )2l ξ ξ=+一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C0））b. 二次二次Lagrange插值插值(n=3))1(21)1(21))(())(()(l1131213221ξξξξξξξξξξξξξξξ +=−−=−−−−=)1(21)1(21)(l3323ξξξξξξξ +=+=)1()(l222ξξ −=一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C0））()()()∏≠=−==nijjijjniifflN,11ξξξ为构造其他形式的为构造其他形式的Lagrange单元方便，定义单元方便，定义其中，其中，则，则，()jjf ξξξ −=()jiijf ξξξ −=( ) 0=−=jjjjf ξξξ() ()ininiiniilN φξφξφ∑∑=−===111一维单元插值函数的构造（一维单元插值函数的构造（C0））3.2.2 Hermite 单元单元如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数的连续性如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数的连续性, 则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值. 此时可此时可以采用以采用Hermite插值多项式作为单元插值函数插值多项式作为单元插值函数. 对于一维对于一维二节点元二节点元, Hermite插值多项式可以表示为插值多项式可以表示为()()()()()220111ii iiHHφφξ ξφ ξξ==⎛⎞∂=+⎜⎟∂⎝⎠∑∑()0,ij ijH ξ δ=() ()41iiiH Qφξ ξ==∑或者或者其中其中Hermite插值多项式具有以下性质插值多项式具有以下性质()10,ijH ξ =( )00jidHdξξξ=( )1jiijdHdξξδξ=当当ξξ1=0, ξξ2=1时时, 和和是以下形式的三次多项式是以下形式的三次多项式( )( )0231113 2NHξ ξξ==−+( )( )123312NHξ ξξξ= =− +112 23 412,, ,Q Qφ φφφξ ξ⎛⎞ ⎛⎞∂∂=== =⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠( )( )0232232NHξ ξξ==−( )( )12342NHξ ξξ= =− +并且并且( )0iH ξ( )1iH ξ01H02H11H12H1.01.011()()()()()()()222 201211 1ii i iiiddHH Hφ φφξ ξφ ξ ξξ ξ== =⎛⎞⎛⎞=+ +⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑ ∑在端部节点最高保持场函数的一阶 导数连续性的Hermite多项式称为一阶多项式称为一阶Hermite多项式多项式.0阶的阶的Hermite多项式就是多项式就是Lagrange多项式多项式. 一般地一般地,在节点处保持至在节点处保持至场函数的 n阶导数连续性的 Hermite多项式称为 n阶阶Hermite多项式多项式. 在在2节点时节点时,它是它是ξξ的的2n+1次多项式次多项式.函函数数ΦΦ的的2阶阶Hermite多项式可以表示为多项式可以表示为() ()61iiiH Qφξ ξ==∑或者或者其中其中( )( )034522 2210 15 6 ,NH Qξ ξξξ φ==−+=( )( )034511 11110 15 6 ,NH Qξ ξξξ φ==−+−=()()134531 31683,dNH Qdφξξξ ξ ξξ⎛⎞==−+−=⎜⎟⎝⎠()()()22234551 521133 ,2dNH Qdφξξξξξξ⎛⎞==−+−=⎜⎟⎝⎠()()134542 42473,dNH Qdφξξξξξ⎛⎞==−+−=⎜⎟⎝⎠()()()2234562 62212,2dNH Qdφξξξξξ⎛⎞==−+=⎜⎟⎝⎠一、三角形单元一、三角形单元在构造三角形单元的插值函数时在构造三角形单元的插值函数时,普遍采用自然普遍采用自然(面积面积)坐标来形成具体的形函数坐标来形成具体的形函数,其方法直观简单其方法直观简单.iAiA对于对于3节点三角形单元节点三角形单元,引入面积坐标引入面积坐标:Li=Ai/A单元的插值函数可以表示为单元的插值函数可以表示为: Ni=Li二维单元插值函数的构造二维单元插值函数的构造三角形单元ijm中，任一点P （x, y ）的位置，可以用如下的三个比值来确定：点的面积坐标。

为，，的面积、、、，，P分别LLLP的面积面积P 分别别三角 AAAmjimjiPijmijmAALAALAALmmjjii===（1 ）面积坐标与直角坐标的关系三角形 Pjm的面积为)(21111ycxbayxyxyxAiiimmjji++==1()(,)2iiiiL abxcy ijmA=++面积坐标为将上式中的 3个式子分别乘以 xi、 xj、 xm并利用ai、 bi、 ci得⎪⎭⎪⎬⎫=++=++yLxLxlyxLxLxLxmmjjiimmjjii同理1. 二次单元二次单元二次单元有六个节点二次单元有六个节点,单元插值函数可以表示为单元插值函数可以表示为()( )()21231123,,,,ijiijj iiif LLLNf LLL==∏()( )123,,ijf LLL( )()123,, 0ijfLLL=iAiA其中其中, 是通过除节点是通过除节点i以外以外所有节点的二根直线方程所有节点的二根直线方程的左端项的左端项.例如例如,当当i=1时时, 分别是分别是通过节点通过节点4,6的直线方程的直线方程的左端项和通过节点的左端项和通过节点2,5,3的直线方的直线方程程614523(½, ½,0)(0,½, ½)(½,0,½)( )1jf()11123 11,, 02fLLLL= −=的左端项的左端项.( )( )12123 1,, 0fLLLL= =()123,,ij iiif LLL是节点是节点i到直线到直线j的正则化的正则化的距离的距离(也即面积坐标值也即面积坐标值),因此可以因此可以得到形函数得到形函数:()1211112211LLNLL−=⋅=−645231(½, ½,0)(0,½, ½)(½,0,½)1102L − =10L=通过类似的步骤通过类似的步骤, 可以得到其余各点形函数可以得到其余各点形函数:645231(½, ½,0)(0,½, ½)(½,0,½)()1222212211LLNLL−=⋅=−()1233312211LL−=⋅=−1241211224LLNLL=⋅=3252311224LLNLL=⋅=3 161311224L LNLL=⋅=（2 ）形函数对于六结点三角形单元， 形函数 可用面积坐标表示为可以利用形函数的性质检验上式的正确性 。

在 i点等于 1，在其他结点等于 0 ，见下）:(21)(,):4(,;,)iiiijmNLL ijmNLLij mij m′=− ⎫⎪⎬′′′=⎪⎭角结点边中结点⎭⎬⎫′′′=−=′),,;,,(4:),,)(12(:mjimjiLLNmjiLLNmjiiii边中结点角结点AALAALAALmmjjii===2/0: AAAAimji=== 　　对边上中结点0: ===mjiAAAAi 　　对角结点01 ===mjiLLL 　　面积坐标：10 0ijmijmNNN NNN′′′= == ===代入上式：2/10 ===mjiLLL 　　面积坐标：'''10 0ijmijmNNN NNN= == ===代入上式：形函数检验形态函数形态函数¾等效结点荷载 ：由于位移模式是非线性的，因此体积力和表面力引起的结点力向量不能采用静力等效原理进行分配，而应采用相应公式进行计算3 ）等效结点荷载⎭⎬⎫′′′=−=′),,;,,(4:),,)(12(:mjimjiLL。