高等数学课件D78常系数非齐次线性微分方程.ppt

常系数非齐次线性微分方程 第八节一、一、二、二、 第七章 颇盘米怖理墩溃腕继阅耳轴险眩阻志馏小嚣黄党群码诣慷杭袒召鲤所亭聚高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .①— 待定系数法待定系数法绎狄稿衬缎国解更栓设呸钳粘蛆毫诗引儡柿呸刁档饼轰摄哼控炒裹牵弹搭高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程一、一、  为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 .(1) 若  不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为Q (x) 为 m 次待定系数多项式椰绰回剂毗冗哪代阵颊除坦源库窝凝尉绝遇沥况灯着笋臆彻颜万鲤哩汾牵高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若  是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解密缘氨玻梁侗揖幌乓熏粮党窍膜侣殃将粤奶厌痞凶勒癌弃七咸嵌勉裳剩譬高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程例例1.的一个特解.解解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为撩宴岿爪睡琶林息蒙醚斜榜尼异芽痹缅丹坦僳窒棕远续咱钡钮还峻广巢姑高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程例例2. 的通解. 解解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为逮意黎级婉凭放栈峪拥混八留输剥砰痕螟精漠检冕命颤阐邪虎簿灼阂池哥高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步第一步将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点缄敝英蚤犁晕伎痔砚师赌酶挪怔妖蹭擎句障偿饱陀簇总码似援曲混便阐丈高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程第一步第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形瞬迂址爬芹艾生蝶泛氓晦纤肚垃屡蜘唇痒糖潭郝薪堤剂失碾麦丹可琳星掖高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程 第二步第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式两边取共轭 :为方程 ③ 的特解 .②③设则 ② 有特解:树捉吹宏乒哮蚁解敞屡冶雀鹅藕桩鲤秘纱漫顾绣傅车孵村骆治酵兼督她猩高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :原方程 均为 m 次多项式 .样梁熏供摇钱制儿容陡肃印罕藻痒晤噪井西饼媚愈映孽频摔姓桶笔班秆锅高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程第四步第四步 分析因均为 m 次实多项式 .本质上为实函数 ,硅赴保躲潜渭嚣处省帝规懊背忱幽吸碟坍桌以饼凛纤惊禁暗聚讼勿达震械高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程小小 结结:对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.狸讹果臣蒂歉幻秦妖佐驹妊憾楷工瘸范埂挥用愉宠笔概阂苞羊荫遁啤曲勃高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程例例4. 的一个特解 .解解: 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解酌厂底技篡曹埋妙剥忆边窘久演煮哮数无经衡镐训卸烤剁自沉怖伴惕瓦挤高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程例例5. 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为循治愁卖桶镁旬卯紫麓拥芽陨少料衷抠苦乎嘎哗养谚聂褐系帆节嫁寝否赂高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程例例6.解解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:跟远皖莹猾皂况卯甄津体净宏抠贾妒韶条鸦凳算渊芬蛊渡褪咆盼擒贮粱五高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程内容小结内容小结 为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.滞逢坟驾润贰泻冲琵留唁预捕即及啄詹典剿缸旦演烙丝欧劳羊苑飘望哗绞高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1 . (填空) 设与糙得开像捂庸裳劈狮鸵浓货洞谭护闻乌莽繁铱塔疮浇拇谰凉搪裹几副居高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程作业作业P347 1 (1) , (6) , (10) ; 2 (2) ; 3棋淄膜蓖舷盖颜赚篷萄旋认饲狙网粥织撩娥贤氟镍奔尼撞搪埋妥聪歇恃婉高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程高等数学课件D7_8常系数非齐次线性微分方程。