高数微积分方向导数梯度高级课堂.ppt

引例：引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，，(5,1)，，(1,3)，，(5,3)．在坐标原点处有．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿：应沿由热变冷变化最骤烈由热变冷变化最骤烈的方向的方向（即梯度方向）爬行．（即梯度方向）爬行．第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度一、问题的提出一、问题的提出1学习幻灯 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题．的变化率问题．二、方向导数的定义二、方向导数的定义2学习幻灯当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？3学习幻灯记为记为在偏导数存在的前提下在偏导数存在的前提下4学习幻灯证明证明: 由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到是方向余弦是方向余弦5学习幻灯故有方向导数故有方向导数亦等于亦等于6学习幻灯xz y0 l  y x  zPP0z = f (x,y)QM 是曲面在是曲面在点点P0 处沿处沿方向方向l 的变化率，的变化率，即半切线即半切线方向导数方向导数 方向导数的几何意义方向导数的几何意义的斜率的斜率.N （（ 看成是割看成是割线，切线是割线的极线，切线是割线的极限位置）限位置）7学习幻灯解：解：所求方向导数所求方向导数8学习幻灯解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知9学习幻灯故故10学习幻灯推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义11学习幻灯12学习幻灯解解令令故故方向余弦为方向余弦为13学习幻灯故故14学习幻灯三、梯度的概念三、梯度的概念15学习幻灯16学习幻灯结论：结论：沿梯度方向的方向导数取得最大值，沿梯度方向的方向导数取得最大值， 即即函数沿梯度方向增长最快，函数沿梯度方向增长最快， 这个最大值等于这点处梯度的模。

这个最大值等于这点处梯度的模17学习幻灯 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数18学习幻灯称为函数称为函数 f f 的的等值线等值线 . . 则则L L* *上点上点P P 处的法向量为处的法向量为 同样同样, , 对应函数对应函数有有等值面等值面( (等量面等量面) )当各偏导数不同时为零时当各偏导数不同时为零时, , 其上其上 点点P P处的法向量为处的法向量为19学习幻灯函数在一点的函数在一点的梯度垂直于该点等值面梯度垂直于该点等值面( (或等或等高高线线) ,) ,指向函数增大的方向指向函数增大的方向梯度的几何意义：梯度的几何意义：梯度的方向与等值面（或者等高线）梯度的方向与等值面（或者等高线）该点的法线该点的法线的的一个方向一个方向相同相同（从数值低的等高线指向数值高的）（从数值低的等高线指向数值高的）.看书看书p46图图20学习幻灯解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故23学习幻灯势与势场 向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场), 它是由数量场f(M)产生的. 通常称函数f(M)为这个向量场的势, 而这个向量场又称为势场. 必须注意, 任意一个向量场不一定是势场, 因为它不一定是某个数量函数的梯度场.四. 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数量场. 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的向量F(M), 则称在这空间区域G内确定了一个向量场. 24学习幻灯例例5 设质量为设质量为 m 的质点位于原点的质点位于原点, 质量为质量为 1 的质点的质点 位于位于 记 25学习幻灯它表示两质点间的引力它表示两质点间的引力, 方向朝着原点方向朝着原点, 大小与质量大小与质量 的乘积成正比的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比与两点间距离的平方成反比. 这说明了引力明了引力场是数量是数量场 的梯度的梯度场, 因此因此常称常称 为引力引力势.26学习幻灯1 1、方向导数的概念、方向导数的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别））（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量））小结小结27学习幻灯思考题思考题答答28学习幻灯所以沿着任意方向的方向导数都存在且相等所以沿着任意方向的方向导数都存在且相等导数导数29学习幻灯思考与练习思考与练习1. 设函数(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方切线方向向 的夹角  . 30学习幻灯曲线1. (1)在点解答提示解答提示:函数沿 l 的方向导数M (1,1,1) 处切线的方向向量31学习幻灯32学习幻灯2. 函数在点处的梯度解解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性(92考研考研)33学习幻灯指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A3. 函数提示提示:则(96考研考研)34学习幻灯课后思考题：课后思考题：1.研究多元函数连续，偏导数，全微分，研究多元函数连续，偏导数，全微分，方向导数，梯度的关系。

方向导数，梯度的关系2.研究多元函数偏导数，全微分，研究多元函数偏导数，全微分，方向导数，梯度的几何意义方向导数，梯度的几何意义35学习幻灯。