导学案008函数性质的综合运用)导学案.doc
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函数性质的综合运用 编号008一、 考纲规定基本初等函数及函数的性质二、 复习目的：能灵活运用函数的性质解决有关问题三、 重点难点函数的性质的综合运用四、知识梳理及典例分析一）．常用函数（基本初等函数）：1． 2．3． 4．5．幂函数： 6．指数函数：7．对数函数：8．三角函数：，，，，，由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数如：，，，试着分析以上函数的构成二）．定义域：1．“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽视定义域2．求定义域：例1求下列函数定义域：（1） （2）三）．值域：1．① ② ； ③ ④⑤．函数的定义域和值域都是(b>1),求b的值小结：函数值域的计算能力规定高、考察频率高，应当分类归纳，各个击破四）．单调性：1．单调性的证明：（1）定义法：例1 判断函数的单调性，并用定义证明2．单调性的简朴应用：例2 （1）函数的单调增区间是________ 高考真题预测：已知是上的减函数，那么的取值范畴是 （ ）（A） （B） （C） （D）解：依题意，有0
例 设是R上的任意函数,则下列论述对的的是 (A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数【解析】A中则，即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能拟定，即函数的奇偶性不拟定，C中，，即函数为奇函数，D中，，即函数为偶函数，故选择答案D例4 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则 当时， .解：当x∈(0,+∞) 时，有-x∈(-∞,0)，注意到函数f(x) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 ．从而应填-x-x4．例5 已知定义域为的函数是奇函数Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范畴；解析：（Ⅰ）由于是奇函数，因此=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上为减函数又因是奇函数，从而不等式： 等价于，由于减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而鉴别式练习：1、已知函数，若为奇函数，则________解析：函数若为奇函数，则，即，a=. 2、 若奇函数满足，，则_______六）．函数的周期性：（一）要点：1．（定义）若是周期函数，T是它的一种周期。
阐明：nT也是的周期（推广）若，则是周期函数，是它的一种周期2．若定义在R上的函数的图象有关直线和对称，则是周期函数，是它的一种周期（推论）若定义在R上的偶函数的图象有关直线对称，则是周期函数，是它的一种周期3． 若定义在R上的函数的图象有关点和点对称，则是周期函数，是它的一种周期（推论）若定义在R上的奇函数的图象有关点 对称，则是周期函数，是它的一种周期4．若定义在R上的函数的图象有关直线和点对称，则是周期函数，是它的一种周期（推论）若定义在R上的奇函数的图象有关直线对称，则是周期函数，是它的一种周期5．若；；；则是周期函数，2是它的一种周期（二）例题解说：例6 函数对于任意实数满足条件，若则_______________解：由得，因此，则例7 是定义在R上的偶函数，图象有关对称，对任意，有，且⑴求；⑵证明：是周期函数； 例9 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2解：由于f（x）是定义在R上的奇函数，因此f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，因此f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B 练习1 、已知函数是一种以4为最小正周期的奇函数，则（ ） A．0 B．－4 C．4 D．不能拟定2、 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且则f ()= .3、 已知是(-)上的奇函数，，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=________ 4已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A） （B） （C） （D）解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，<0，∴，选D. 七）．函数的综合应用：1．二次函数：例1 已知函数在区间上有最小值记为，求的函数体现式。
例2 若不等式x2＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，〕成立，则a的取值范畴是（ ）A．0 B. –2 C.- D.-3选C 例6 设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明； 解：（1） （2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此. 由于. 2．函数方程例 已知定义域为R的函数满足 （I）若，求;又若，求; （II）设有且仅有一种实数，使得，求函数的解析体现式 例 对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即}，.(1). 求证：AB；(2).若，且，求实数a的取值范畴.证明(1).若A=φ，则AB 显然成立；若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 AB. 解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即的实根. 由 A≠φ，知 a=0 或 即 B中元素是方程 即 的实根由AB，知上方程左边具有一种因式，即方程可化为 因此，要A=B，即要方程 ①要么没有实根，要么实根是方程 ②的根.若①没有实根，则，由此解得 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 ，代入①有 2ax+1=0.由此解得 ,再代入②得 由此解得 .故 a的取值范畴是 例 定义在集合A上的函数f(x)满足：对任意的x1, x2∈A均有,则我们称函数是A上的凹函数.（1）试判断=3x2+x与否是R上的凹函数？（2）若函数=ax2+x是R上的凹函数，求实数a的取值范畴.解：（1）…2分 ∴f(x)=3x2+x是R上的凹函数………………6分. （2）（文科）∵f(x)=ax2+x是R上的凹函数，.即恒成立……8分.恒成立. ∴a≥0.…………………………12分. 四、 反思感悟五、 千思百练 1、已知函数若，则实数a的取值范畴是 2、若，则a的范畴 3、设奇函数在上为增函数，且，则不等式解集为__.4、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则由小到大的顺序是 5、有关函数有下列命题：①其图像有关轴对称；②的最小值是；③的递增区间是；④ 没有最大值．其中对的是______________（将对的的命题序号都填上）． 。
