实验一MATLAB计算留数和积分.docx

实验一MATLAB计算留数和积分(一) 实验类型：验证性实验类别：基础实验实验学时数：2学时实验目的1熟悉MATLAB基本命令与操作；2、掌握MATLAB计算留数；3掌握MATLAB计算封闭曲线上的复积分.实验内容MATLAB基本命令与实际操作MATLAB基本命令1在MATLAB中求函数的留数的方法较简单,如果已知奇点z°和重数m，则可用下面的MATLAB语句求出相应的留数.R=limit(f*(z-z0),z,z0)%简单极点R=limit(diff(f*(z-z0)人m,z,m-1)/prod(1:m-1);乙z0)%m阶极点2、在MATLAB中用函数Residue,可以计算有理函数的留数.调用格式如下：格式:[R,PK]=residue(B,A)说明：向量B为f(z)的分子系数；向量A为f(z)的分母系数；向量R为留数；向量P为极点位置;向量k为直接项:(二) 实验要求1、学生在实验操作过程中自己动手独立完成，1人为1组2、完成实验报告：按照试验的每个题目的具体要求完成实验仪器、设备计算机(安装Windows98、Windows2000或WindowsXP或以上)实验课承担单位：信息与计算实验室1.1求孤立奇点处的留1.2利用留数定理计算闭合路径的积分1.1求孤立奇点处的留1・1・1用下面MATLAB语句求函数的留数.当z是简单极点时，用MATLAB语句R=limit(f*(z-zO),z,zO)求函数的留数;0当z是m阶极点时，用MATLAB语句0R=limit(diff(f*(z-zO)人m,z,m-1)/prod(1:m-1);乙zO)求函数的留数.f(z)例1试求函数1z3(z-1)sin(z+3)e-2n的孤立奇点处的留数．【解】分析原函数可知：z=0是三阶极点，z=1是简单极点，因此可以直接使用下面的MATLAB语句分别求出这两个奇点的留数.[Matlab源程序】symszf=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(zA3*(z-1))R=limit(diff(f*zA3,乙2)/prod(1:2)，乙0)%仿真结果为：R=-1/4*3人(1/2)+1/2；limit(f*(z-1),z,1)%仿真结果为:r=1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3人(1/2).练习题1求函数f(z)=Z在z=1和z=2处的留数.(z-2)2cosz2%结果为：R=-2*pi/(piA2-8*pi+16)R=(cos(2)+2*sin(2))/cos(2)人21・1・2对于有理函数的留数计算，在MATLAB中用函数Residue.调用格式如下：格式:[R,PK]=residue(B,A)说明：向量B为f(z)的分子系数；向量A为f(z)的分母系数；向量R为留数；向量P为极点位置；向量k为直接项：直接项是指有理分式f(z)=B(z)/A(z)的展开式中的K(z)，即为没有奇点的项,例如下式：f(、B(z)Q(l),Q(2),,Q(n),K()f(z)==++++K(z)A(z)z-P(1)z-P(2)z-P(n)z2+1...例2求函数T7T在奇点处的留数.【解】[Matlab源程序】[R,P,K]=residue([1,0,1],[1,1])%结果为：R=2P=-1K=1-1f()_z3-z2+1练习题2求函数f(z)-(z-1)(z-3)在奇点处的留数.【解】【Matlab源程序】[R,P,K]=residue([1,-1,0,1],[1,-4,3])%结果为：R=9.5000-0.50001.2利用留数定理计算闭合路径的积分对闭合路径的积分，先计算闭区域内各孤立奇点的留数，再利用留数定理可得积分值．,zn外处处解n定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点今z2,Jf(z)dz=2C析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则n工Resf(z),z]kk=1例3计算积分J2g_z+1dz，其中C是正向圆周z=2.cz一1【解】先求被积函数的留数O【Matlab源程序】[R,P,K]=residue([2,-，11],[1,-1])%结果为：R=2P=1K=2可见在圆周IZ2内有一个极点，所以积分值等于S2nsum(R)S=2*pi*i*2%结果为S=0+12・5664i故原积分2Z2ZXdz2isum(R)4icz1练习题3姑算积分竺丄dZ的值.Z1Z211dz例4计算积分z|2(Zi)o(z1)(z3)的值.【解】【Matlab源程序】clearsymstzZ=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i厂10/(z-1)/(z-3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)%结果为inc=779/78125000*i*pi+237/312500000*pi%若只输出6位有效数值，使用语句vpa(inc,6)%结果为ans=.238258e-5+.313254e-4*i.例5计算积分Jzdz，其中C是从1到i的直线段.C【解】【Matlab源程序】clearsymstzz=1-t+it;f=conj(z);inc=int(f*diff(z),t,0,1)%结果为inc=i.Jz15d练习题4计算积分J|丄2(z2+1)2(z4+1)3dZ的值.【解】【Matlab源程序】Osymstzz=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=zA15/((zA2+1)A2*(zA4+1)A3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)%结果为：inc=2*i*pi.。