第四章 动能和势能.doc

第四章 动能和势能能量是物理学中最为重要的概念之一.“那是一个最为抽象的概念”.人类认识这个概念经历了长期曲折的过程.本章第一节将概念述，人们是怎样逐步认识能量和能量守恒定理，能量可从一种形式转变为另一种形式，但总量不变做功恰好是使能能量发生转换的一种手段.§4.1 能量—另一个守恒量（学生自己看）§4.2 力的元功，用线积分表示功能量反映物体的运动状态，它可以从一个物体转移到另一个物体或从一种形式转变为另一种 形式，但总是不变，最好从能量的变化 和转移中认识能量，力做功是改变能量的手段.我们即从力做功入手.一、力的元功和功率 我们简单讨论过功的概念.一个物体在力的作用下移动叫做力对物体作工；李对物体的所作的功等于力和物体沿力的方向移动距离的乘积.最简单的情况是；物体在大小和方向都不变的恒力作用下作直线运动，而且力的方向与物体的移动方向一致.这是力对物体所作的功A可用下式表示 A=FS ;其中F为力的大小，S为物体移动的距离.“功”的概念与平常所说的“工作”虽联系，但有区别，“工作”比较广泛，体力劳动或脑力劳动完成某一项任务都叫做“工作”物理学中的“功”比较狭义的，只有当物体在力的作用下，沿着力的方向移动一段距离后，才能说力对物体作了功，设有移动，力对物体仍然没有做工. 图4-2.1S二、力和物体运动方向不一致时的功上面讨论的功，力和物体运动方向一致的情况.在实际问题中，力的方向与物体的运动方向往往并不一致.社原来静止的某一物体在力的作用下在光滑木平面上移动.作用力的方向与物体运动方向的夹角，此时我们可以把力分解为物体运动方向分力和物体运动方向垂直运动方向的力F2.显然在力F2的方向上物体没移动，所以力F2部做功.如图（4-2.1）所示。

因而在物体移动距离S的过程中力所作的功A就等于共分力F1所作的功. .这就是恒力的一般表示式.它将功的概念以及功的计算方法推广到力和物体运动方向不一致的情况. 下面讨论几种情况.若⑴ 时，所以A>0为正功. ⑵时，，所以.⑶时，，所以.为负功.当一个力对物体作负功时， 在力学中往往说“物体”克服该力做功（正功）.图4-2.2一个物体变力的作用下，沿一直线运动，在此直线与取S轴，用表示作用在物体上的力沿S轴的投影，假设是一个随物体的位置变化的变力也是物体的位置而变，是坐标S的函数. 当物体以位置S1移动到位置S2时，力作了多少功呢？这可以下面的方法来求得.如图（4-2.2）所示，将物体走过的路径S= S1+ S2 ；分成n个相等的小段.，每段可视为不变的位移.在这小位移上力也可以以为是不变的，那小位移为无穷小量称为元位移，力在元位移上的功称元功.力的元功等于，是点出的力.图4-2.3O如图（4-2.3）所示,在物体从S1移动至S2的过程中，力所作的功近似值等于各段距离上的功的近似值之和.即，；n越大即分的段数越多，每段路程就越短，则在每一段上力的变化就越小.将变力看作恒力就越近.实际情况，若n趋向无限大（），则的极限就是力在此过程中所作的功.即： ；图4-2.4O在积分学上，这种类型的极限叫做函数灾区间上对自变是S的积分，用下列符号表示 ； 所以，图(4-2.4)所示，力在物体从移动到时过程中所作的功可表示为列积分：；若质点沿任意曲线运动怎样计算力所作的功？ 图4-2.5F图（4-2.5）所示，如果，将受力质点的路径分成许多小段，每段可视为一方向不变的位移，在这小位移上力也可以认为是不变的位移，在这小位移上力也可以认为是不变的.那少位移无穷小量，可以为与轨迹重合，称元位移.力在元位移上的功称为元功.元功等于力与受力质点无穷小位移的乘积. ；表示力与位移的夹角； 时，力做正功.时，力不做功.时，力做负功.国际单位制中 ，，；若干力作用于一质点，质点位移为，根据矢量标积的分配律有即合力所做的功等于分力所做功的代数和；在时间内力所做的功为 称作力在趋于时力的平均功率的极限叫做瞬时功率. ， ；即力的功率等于力与受力点速度的标积，功率的单位，，， ，.图4-2.6二、利用不同坐标系表示无功1.平面直角坐标系叁考图(4-2.6)所示，在平面直角坐标系中力和元位移表示为 ；，， 图4-2.7若力沿直线位移做功令轴与位移重合，则有.2.平面自然坐标质点沿平面曲线运动沿曲线上取平面.如图（4-2.7）所示，自然坐标，设在力作用下质点元位移为，越短，其大小越近于它所对应的自然坐标增量ds得值,其方向越靠近元位移起点处曲线的切线.故元位移近似表示作：.将力沿切向与法向分解，因 ；力的元功为 ;即功等于力在切向单位矢量上的投影和张坐标增量的乘积.3.在极坐标系表示功如图（4-2.8）所示，质点在力作用下发生元位移，在极坐标系重点的坐标为（），每点出均可引入径向单位矢量和法向单位矢量，将力和元位移分别向和投影，得A图4-2.8力的元功为 ，此即极坐标系中功的表示式.三、力在有限路径上的功图4-2.9上文研究力在长路经某无穷小元位移，现在研究用积分描述受力质点在有限路径上的功,如图（4-2.9）所示，元位移 组成力的元功为 总功近似等于 ；元位移数目无限增多面每一元位移增均趋于0，则该和式的极限给出功的精确值. 该和式的极限即称作力沿曲线自至线积分，记作.它意味着变力的功等于元功之和.我们可采用不同方法计算这一积分，在直角坐标系有 （4-2.9）该式右方表示两级分，是沿轴做功的代数和. 是沿轴做功的代数和；若质点轴运动 . （4-2.10）图4-2.10设力方向大小不变，且与位移成角，又上式得这正是大家的恒力做功的表示.[例1].叁靠图（4-2.10）簧一端固定，另一端与一质点相连，弹簧颈度系数为k。

求质点由运动至时弹簧弹性力所做的功坐标系原点位于自由伸展时质点所在位置解：弹簧弹性力为，弹力的功 ；若质点的沿曲线运动至，受力做的功等于；和表示受力点运动始未的然坐标，此式表明力的功等于切向力对自然坐标的定积分，由上式可见只有切向力做功，法向力总与元位移垂直而不做功.§4.3 质点和质点系动能定理一、质点的动能定理我们知道，力做功改变物体的运动状态，质点的运动学方程反映质点运动状态的变化与合力的关系，以此为线素，可能找到所求的物理量及其与功的定量关系.设质量为m的质点在合力的作用下沿某一曲线运动，沿质点轨迹取自然坐标质点加速度可写作 ；质点运动学方程可写作 ；设质点发生元位移，以标积上式两端得；等式端是合力做的元功，而.，；由于，所以上式化简成，； M为恒量，可移到微分符号后，上式变换为；我们看到这理出现了一个新的物理量 ，它决定质点和速率，因此是质点运动状态的函数，而且，它的微分决定于合力的功，正是我们所寻的物理量.我们把叫做质点的动能，用来表示；既然动能变化是用功来变量的，所以动能和功具有相同的量纳和单位表明.质点动能的微分等于作用于质点的合力所作的元功，叫做质点动能定理.是为质点动能定理的微分形式.将它积分即得质点动能定理积分形式. 或 （4-3.2）这样就得到非无穷小过程的质点的动能定理质点动能的增量等于作用于质点的合力所作的功.动能与动能概念不能混淆，质点的运动状态一且确定，动能就唯一的确定.动能是运动状态的函数，是反映质点运动状态的物理量，而功是过程的函数，可以说处于一定运动状态的质点有多少动能，但说某质点具有多少功就有任何意义.二、质点系内力的功图4-3.1在研究质点动量守恒定律时，众所用知，内力的矢量和为零.现在研究质点系内力之功的和这就需要研究两质点间作用力与反作用力的功，如图所示两质点沿虚线轨迹运动，它们相对于叁考点o的位置矢量各为和，和-分别表示质点1对2，2对1的作用力，这时相互作用力元功之和为；为质点2相对于1的元位移，表示质点2相对于1的位移矢量，则 ， ； （4-3.4）即二质点相互作用力所做的元功的代数和等于作用于其中一质点的力与该质点相对于另一质点元位移的标积.即这一力的功仅决定于力和质点间的相对位移，将分解为与垂直和平行的二分位移和.力F只在分位移，上做功，是方向的单位矢量，可表示，是的方向投影，且，，；此式进一步表明二质点间作用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变.元功的正负应由和的正负决定，仅当二质点沿力的方向无相对运动时，作用力和反作用力之功的代数和等于0.二、质点系的动能定理现在将某质点系视为一研究对象，沿质点系由n个质点组成，在运动过程中，作用于各质点合力的功等于结果使各质点动能从变成对每个质点使用动能定理，得将上式对一切质点取和： ；把质点系内各质点动能之和叫做点系的动能.式中质点系的初动能，是质点系的末动能.为作用于质点系一切力所做功的和，这可以分两部分，一、一切外力的所做功和.二、一切内力的所做功和.由于作用力与反作用力之功的代数和不一定为0.故不容忽视，于是上式写作 （4-3.7）即质点系动能的增量在数值上等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和，称作质点系的动能定理. [例1].如图（4-3.2），质量为M的卡车载一质量为m的木箱，以速率沿平直路面行驶。

因故突然紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对卡车滑行了距离卡车滑行了L距离已知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为，卡车论与地面的滑动摩擦系数为解：注意三力之受力质点位移各为和，根据质点动能定理为受力卡车的功图4-3.2 ， 或 ① 受力的功为 ②①； ②；2.用质点动能定理求解：卡车和木箱为一质点系，外力有只有外力做功.，内力之功；又视木箱为质点，得上面两式联立得与上法相同结果.§4.4 保守力与非保守力、势能质点系除可能具有动能外，还可能具有具有势能，势能与一定的保守力对应，本节讲述力场，保守力，非保守力以及势能概念.一、力场如前所述，质点受力通常与质点的位置，速度和时间有关.若一确定的质点所受之力仅与质点位置有关，即 （4-4.1）则称作力场，存在场力的空间称为力场. 图4-4.1二、保守力与非保守力首先讨论重力的功.如图(4-4.1)所示，质量为的质点在重力作用下自点经平面曲线运动到点.建立直角坐标系，轴铅直向上.根据(4-2.4),考虑到，重力的功为 (4-4.2) 或1路上运动时、，质点重力的作用下移动 ； ； ； ；这个结果表明，重力所做的功仅决定于质点的始末高度，一质点经过的路径无关.不难想到，凡均匀力场做功均有此种性质.重力在整个路径上所做的功，等于各小段上的元功的之和，即，；图4-4.2重力做功的这个特点，还可以用另一个方式来表达.令重量为的物体，沿任一闭合路径绕行一周再回到点。