【立体设计】2012高考数学 2.8 函数模型及其应用挑战真题 理（通用版）.doc

用心 爱心 专心 12012高考立体设计理数通用版 2.8 函数模型及其应用挑战真题1. (2009·浙江)某地区 居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分 0.568超过 50至 200的部分 0.598超过 200的部分 0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分 0.288超过 50至 200的部分 0.318超过 200的部分 0.388若某家庭 5月份的高峰时间段用电量为 200千瓦时，低谷时间段用电量为 100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 148.4元(用数字作答)．解析：高峰时间段 200千瓦时的用电电 费为：50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)；低谷时间段 100千瓦时的用电电费为：50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，合计：148.4 元．答案：148.42. (2009·湖北 )围建一个面积为 360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m的进出口，如下图所示．已知旧墙的维修费用为 45元/m，新墙的造价为 180元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元)．(1)将 y表示为 x的函数；(2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．分析：(1)先由辅助未知数，即设矩形的另一边长为 a m，可以建立 y， x， a的关系式，再根据条件用 x表示 a即可．(2)利用基本不等式求解函数的最值．解：(1)如下图所示，设矩形的另一边长为 a m，则 y＝45 x＋ 180(x－2)＋180·2 a＝225 x＋360 a－ 360.由已知 xa＝360，得 a＝ .360x所以 y＝225 x＋ －360( x>0)．3602x(2)因为 x>0，所以 225x＋ ≥2 ＝10 800.3602x 225×3602所以 y＝225 x＋ －360≥10 440.3602x用心 爱心 专心 2当且仅当 225x＝ 时，等号成立．3602x即当 x＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440元．3. (2008·湖北)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)， 这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解：(方法 1)设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则ab＝9 000. ①广告的 高为 a＋20，宽为 2b＋25，其中 a>0， b>0.广告的面积S＝( a＋20)(2 b＋25)＝2 ab＋40 b＋25 a＋500＝18 50 0＋25 a＋40 b≥18 500＋2 25a·40b＝18 500＋2 ＝24 500.1 000ab当且仅当 25a＝40 b时等号成立，此时 b＝ a，代入①式得 a＝120，从而 b＝75.即当58a＝120， b＝75 时， S取得最小值 24 500，故广告的高为 140 cm，宽为 175 cm时，可使广告的面积最小．(方法 2)设广告的高和宽分别为 x cm， y cm，则每栏的 高和宽分别为 x－20， ，y－ 252其中 x>20， y>25.两栏面积之和为 2(x－20) ＝18 000，y－ 252由此得 y＝ ＋25，18 000x－ 20广告的面积 S＝ xy＝ x ＝ ＋25 x，(18 000x－ 20＋ 25) 18 000xx－ 20整理得 S＝ ＋25( x－20)＋18 500.360 000x－ 20因为 x－20>0，所以 S≥2 ＋18 500＝24 500.360 000x－ 20 ×25 x－ 20当且仅当 ＝25( x－20)时等号成立，360 000x－ 20此时有( x－20) 2＝14 400(x>20)，解得 x＝140，代入 y＝ ＋25，得 y＝175.即当18 000x－ 20x＝140， y＝175 时， S取得最小值 24 500，故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm，可使广告的面积最小． 。