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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 • 第 1 页 1996 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设2lim()8xxxa xa，则a  ln2 . (2) 设一平面经过原点及点)2 , 3, 6( ，且与平面824zyx垂直，则此平面方程为 2x +2y–3z = 0 ． (3) 微分方程'' 2 ' 2xyyye的通解为) 1sincos(21xcxceyx(4) 函数)ln(2２ ＋ｚyxu)在 A(1，0，1)处沿点 A 指向点 B(3，-2，2)方向的方向导数为1 2. (5) 设 A 是 4 3 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2,而 B = 301020201 ，则 r(AB) = 2 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 已知 2)()( yxydydxayx 为某函数的全微分，则a等于 (D) (A) –1. (B) 0 . (C) 1 . (D) 2. (2) 设 xf有二阶连续导数, 且(0)0f , 0( )lim1 xfx x,则 (B) (A) )0(f是 xf的极大值 (B) )0(f是 xf的极小值 (C) (0,(0))f是曲线 yf x的拐点 (D) )0(f不是 xf的极值, (0,(0))f也不是曲线 y = xf的拐点. (3) 设0na (1,2,)n ， 且1nna收敛,常数(0,)2,则级数2 1( 1) ( tan)n n nnan(A) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 （C） 发散 (D) 敛散性与有关. 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 • 第 2 页 (4) 设 xf有连续的导数，(0)0f，)0( ' f0， F x=,)()(202dttftxx且当0x时，)( ' xF与kx同阶无穷小，则k等于 (C) (A) 1. （B）2. (C) 3. (D) 4. (5) 四阶行列式 4433221100000000ababbaba的值等于 (D) (A) 4321aaaa-4321bbbb (B) 4321aaaa+4321bbbb (C)（2121bbaa） （4343bbaa） (D) （3232bbaa） （4141bbaa） 三、三、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分) (1) 求心形线)cos1( ar的全长,其中0a. 解：解：( )sinra ， ……2 分 22( )dsrrd22(1 cos )( sin )2 |cos|2adad  ……3 分 利用对称性，所求心形线的全长 0022 cos8 sin822sadaa. ……5 分 (2) 设101x,nnxx61(n=1,2,…)，试证数列 nx极限存在，并求此极限. 证证：：由110x 及216164xx，知12xx. 假设对某正整数k有1kkxx，则有11266kkkkxxxx，故由归纳法知，对一切正整数n，都有1nnxx.即{}nx为单调减少数列. ……3 分 又由16nnxx，显见0(1,2,)nxn，即{}nx有下界. 根据极限存在准则，知limnnx 存在. ……4 分 令limnnxa ，对16nnxx两边取极限，得6aa.从而260aa.因此32aa 或.因为0(1,2,)nxn,所以0a .舍去2a  ，故极限值3a . ……5 分 四、四、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分) (1) 计算曲面积分Szdxdydydzzx）（2,其中 S 为有向曲面22yxz，(10 z)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角. 解一：解一： 以1S表示法向量指向z轴负向的有向平面221(1)zxy，D为1S在XOY平面上的投影区域，则1(2)()SDxz dxdyzdxdydxdy. ……2 分 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 • 第 3 页 记表示由S和1S所围的空间区域，则由高斯公式知1(2)(2 1)S Sxz dxdyzdxdydv212421113000 0336()6242rrrdrdrdzrrdr    . ……5 分 因此13(2)()22Sxz dxdyzdxdy   . ……6 分 解二： 以,yzxyDD表示 S 在,YOZXOY平面平面上的投影区域，则 (2)Sxz dxdyzdxdy2222(2)()( 2)()yzyzxyDDDzyzdydzzyz dydzxy dxdy2224()yzxyDDzy dydzxy dxdy ……2 分 其中 231112222104(1)3 yzy Dzy dydzdyzy dzydy 42044 3 1sincos33 4 2 24yttdt； 2122200()2 xyDxydxdydrrdr， ……5 分 所以1(2)4.222Sxz dxdyzdxdy  . ……6 分 (2) 设变换   ayxvyxu2可把方程0622222  yz yxz xx简化为02  vuz，求常数a. 解：解：,2zzzzzzaxuvyuv . ……1 分 22222222zzzz xuu vv ,2222222( -2)zzzzaax yuu vv   , 2222 2 22244zzzzaayuu vv . ……4 分 将上述结果代入原方程，经整理后得22 2 2(105 )(6)0zzaaau vv . 依题意知a应满足260,10 50aaa 且，解之得3a . ……6 分 五、五、(本题满分本题满分 7 分分) 求级数222) 1(1nnn的和. 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 • 第 4 页 解：解：设2 2( )(|| 1)1nnxS xxn， ……1 分 则2111( )()211nnS xxnn， 其中1221111 11nnnnnnxxxxxnnn . 23111(0)1nnnnxxxnxn. ……3 分 设11( )nng xxn，则11111( )(|| 1)1nnnng xxxxnx . 于是 00( )( )(0)( )ln(1) (|| 1)1xxdtg xg xgg t dtxxt. 从而21( )[ ln(1)][ ln(1)]222xxS xxxxx 221ln(1) (|| 10)42xxxxxx且. ……5 分 因此2 21153ln2(1)2284n nsn. ……7 分 六、六、(本题满分本题满分 7 分分) 设对任意0x,曲线)(xfy 上点))(,(xfx处的切线在y轴上的截距等于xdttfx0)(1,求)(xf的一般表达式. 解：解：曲线( )yf x上点( ,( ))x f x处的切线方程为( )( )()Yf xfx Xx. ……1 分 令0X ，得截距( )( )Yf xxfx. ……3 分 由题意，知 01( )( )( )xf t dtf xxfxx. 即 0( )[ ( )( )]xf t dtx f xxfx. 上式对x求导，化简得( )( )0xfxf x， ……5 分 即('( ))0dxfxdx，积分得1'( )x fxC. 因此12( )lnf xCxC（其中12,C C为任意常数）. ……7 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 设)(xf在1 , 0上具有二阶导数，且满足条件axf)(，bxf)( ' '，其中ba,都是非负常数，c是0,1内的任意一点.证明22)( 'bacf. 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 • 第 5 页 证：证：2( )()( )( )( )(),(*)2!fxcf xf cf c xc 其中(),01cxc. ……2 分 在(＊)式中令0x ，则有2 1 1( )(0)(0)( )( )(0),01;2!fcff cf ccc 在(＊)式中令1x ，则有2 2 2()(1)(1)( )( )(1),01;2!fcff cf ccc 上述两式相减得22 211(1)(0)( )()(1)( )2!fff cfcfc. ……5 分 于是22 211|( )|(1)(0)()(1)( )2!f cfffcfc22 2111(1)|(0)||()|(1)|( )|2!2!fffcfc 22[(1)]2baacc. ……7 分 又因22(0,1),(1)1ccc，故|( )| 22bf ca. ……8 分 八、八、(本题满分本题满分 6 分分) 设TAI ,其中I是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置.证明： (1) AA 2的充要条件是1T；(2) 当1T时,A是不可逆矩阵. 证证：：(1) 2()()2TTTTTAIII   (2)(2)TTTTII      . AA 2即(2)TTTII   ，亦即()TTI O，因为是非零列向量， 0T，故AA 2的充要条件是10T ，即1T. ……3 分 (2) 用反证法：当1T时AA 2.若 A 可逆，则有121A AA A，从而AI.这与TAII 矛盾，故 A 是不可逆矩阵. ……6 分 九、九、(本题满分本题满分 8 分分) 已知二次型32312。