江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第2课时导数与函数的极值、最值教师用书文苏教版第2课时 导数与函数的极值、最值 题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 根据函数图象判断极值 例1 (1)(2016?淮安模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y,f′(x)的图象如图所示，则y,f(x)的图象最有可能是________. (2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y,(1,x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________. ?函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1); ?函数f(x)有极大值f(,2)和极小值f(1); ?函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(,2); ?函数f(x)有极大值f(,2)和极小值f(2). 答案 (1)? (2)? 解析 (1)由f′(x)图象可知，x,0是函数f(x)的极大值点，x,2是f(x)的极小值点. (2)由题图可知，当x<,2时，f′(x)>0; 当,22时，f′(x)>0. 1 由此可以得到函数f(x)在x,,2处取得极大值，在x,2处取得极小值. 命题点2 求函数的极值 3例2 设a为实数，函数f(x),,x，3x，a. (1)求f(x)的极值; ，使得方程(),0恰好有两个实数根,若存在，求出实数的值;若不(2)是否存在实数afxa存在，请说明理由. 2解 (1)令f′(x),,3x，3,0， 得x,,1，x,1. 12又因为当x?(,?，,1)时，f′(x)<0; 当x?(,1,1)时，f′(x)>0; 当x?(1，，?)时，f′(x)<0. 所以f(x)的极小值为f(,1),a,2， f(x)的极大值为f(1),a，2. (2)因为()在(,?，,1)上单调递减， fx且当x?,?时，f(x)?，?; 又f(x)在(1，，?)上单调递减， 且当x?，?时，f(x)?,?; 而a，2>a,2，即函数的极大值大于极小值， 所以当极大值等于0时，有极小值小于0， 此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点， 即方程f(x),0恰好有两个实数根， 所以a，2,0，a,,2，如图1.当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x),0恰好有两个实数根，所以a,2,0，a,2.如图2. 综上，当a,2或a,,2时方程恰好有两个实数根. 命题点3 已知极值求参数 2 2x，a例3 (1)若函数f(x),x,1处取极值，则a,________. 在，1x132(2)(2016?南京学情调研)已知函数f(x),x，x,2ax，1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，3则实数a的取值范围为________. 3答案 (1)3 (2)(，4) 22x，a解析 (1)?f′(x),()′ ，1x222,x，a,′,x，1,,,x，a,,x，1,′x，2x,a,,， 22,x，1,,x，1,又?函数f(x)在x,1处取极值， ?f′(1),0. ?1，2×1,a,0， ?a,3.验证知a,3符合题意. 2(2)方法一 令f′(x),x，2x,2a,0， 得,,1,,1x,1，2a，x，1，2a， 12因为x?(1,2)，因此则需10，,3故实数a的取值范围为(，4). 2思维升华 (1)求函数f(x)极值的步骤: ?确定函数的定义域; ?求导数f′(x); ?解方程f′(x),0，求出函数定义域内的所有根; ?列表检验f′(x)在f′(x),0的根x左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x00处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x处取极小值. 0(2)若函数y,f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y,f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在3 某区间上单调函数没有极值. 22 (1)函数f(x),(x,1)，2的极值点是______________. 1(2)函数y,2x,的极大值是________. 2x答案 (1)x,1或,1或0 (2),3 42解析 (1)?f(x),x,2x，3， 3?由f′(x),4x,4x,4x(x，1)(x,1),0，得 x,0或x,1或x,,1. 又当x<,1时，f′(x)<0， 当,10. 当01时，f′(x)>0， ?x,0,1，,1都是f(x)的极值点. 2(2)′,2，，令′,0，得,,1. yyx3x当x>0或x<,1时，y′>0;当,10，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值. ?若00，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增， 所以当x,a时，函数f(x)取得最小值ln a. ?若a?e，则当x?(0，e]时，f′(x)?0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减， a所以当x,e时，函数f(x)取得最小值. e综上可知，当a?0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值; 当0a，则实数a,22的取值范围是________________. 7答案 (,?，) 22解析 由题意知，f′(x),3x,x,2， 2令f′(x),0，得3x,x,2,0， 2解得x,1或x,,， 372157又f(1),，f(,),， 232711f(,1),，f(2),7， 277故f(x),，?a<. min22题型三 函数极值和最值的综合问题 2ax，bx，c例5 已知函数f(x),(a>0)的导函数y,f′(x)的两个零点为,3和0. xe5 (1)求f(x)的单调区间; 3(2)若f(x)的极小值为,e，求f(x)在区间[,5，，?)上的最大值. x2xax，b,e,,ax，bx，c,e,2解 (1)f′(x), x2,e,2,,,，,ax，,2abxbc,. xe2令g(x),,ax，(2a,b)x，b,c， x2因为e>0，所以y,f′(x)的零点就是g(x),,ax，(2a,b)x，b,c的零点且f′(x)与g(x)符号相同. 又因为a>0，所以当,30，即f′(x)>0， 当x<,3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0， 所以f(x)的单调增区间是(,3,0)，单调减区间是(,?，,3)，(0，，?). (2)由(1)知，x,,3是f(x)的极小值点， 9a,3b，c3,,e，,,3e,所以有 ,g,0,,b,c,0， ,,g,,3,,,9a,3,2a,b,，b,c,0，解得a,1，b,5，c,5， 2x，5x，5所以f(x),. xe因为f(x)的单调递增区间是(,3,0)，单调递减区间是(,?，,3)，(0，，?)， 所以f(0),5为函数f(x)的极大值， 55故f(x)在区间[,5，，?)上的最大值取f(,5)和f(0)中的最大者，而f(,5),,5e>5,5e,f(0)， 5所以函数f(x)在区间[,5，，?)上的最大值是5e. 思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 1232 若函数f(x),x，x,在区间(a，a，5)上存在最小值，则实数a的取值范围33是________. 答案 [,3,0) 2解析 由题意，得f′(x),x，2x,x(x，2)， 6 故f(x)在(,?，,2)，(0，，?)上是增函数， 在(,2,0)上是减函数，作出其图象如图所示， 12232令x，x,,,，得x,0或x,,3， 333,,3?a,0，,,则结合图象可知，解得a?[,3,0). ,a，5>0，,3.利用导数求函数的最值 典例 (16分)已知函数f(x),ln x,ax(a?R). ()的单调区间; (1)求函数fx(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域.(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论. 规范解答 1解 (1)f′(x),,a(x>0)， x1?当a?0时，f′(x),,a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，，?). [2分] x11?当a>0时，令f′(x),,a,0，可得x,， xa11,ax当00; ax11,ax当x>时，f′(x),<0， ax1,,故函数f(x)的单调递增区间为0，， ,a,1,,单调递减区间为，，?. [6分] ,a,综上可知，当a?0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，，?); 7 1,,当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为0，， ,,a1,,单调递减区间为，，?. [7,a,分] 1(2)?当?1，即?1时，函数()在区间[1,2]上是减函数，所以()的最小值是(2),afxfxfaln 2,2a. [9分] 11?当。
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