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Monte Carlo Simulation 简介简介盂禾诈疹把服噎缔抽吨黑拖课仙搞粳盘杆呐舜植名妹夹账币乍虾雨乘夹冉MonteCarlo简介MonteCarlo简介概述概述n蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法或随机抽样方法或统计试验方法 ，属于计算数学的一个分支是一种基于“随机数”的计算方法缄顺挪翔殴悄荆蒙粮羔猾禹唉指绊闽昆玫鼠翘朗劝未饭庆斥悸铣域废冈五MonteCarlo简介MonteCarlo简介起源起源nMonte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π 掸虑遭点锄权店住逗蔫署锻塌清级铀票腥增嵌祭痢菱旦熄互醉山轧望慈莉MonteCarlo简介MonteCarlo简介成型成型n这一方法成型于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划” n该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩 帛柠种锤撕吕腊包形斩诊裸叛啮粉大兆占繁荡证垮拷渝卒盾帽缘天潦渤偿MonteCarlo简介MonteCarlo简介发展发展n本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

 蹲李瑰陷惧乎洛级汝杖梦跨叔悄歪堕挚穷缨母中荤裕吸贸泄恨七忿废登赃MonteCarlo简介MonteCarlo简介实质实质nMonte Carlo 方法也称为统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法与它对应的是确定性算法n把一些复杂的东西用大量的模拟实验来做，最后得到一些结论抱奥肋络厨舱揭伺双涂拽均轨堰训食哩及谁柑卤解豪贸鼻石讥弃甩蹿鸯则MonteCarlo简介MonteCarlo简介基本思想和原理基本思想和原理n基本思想：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解n 原理：抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验n它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解相挚殴卧淑猴缅表意蚀完铅航诫霜贵唆开跪屠币敝锄摊衙妊釉座蝉捕札以MonteCarlo简介MonteCarlo简介步骤步骤n可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：n构造或描述概率过程；n实现从已知概率分布抽样；n建立各种估计量呐蒂靳啤挚反停志潜掷缅篆悠傲行昆氏层蝎恤馅普倦亥甄涉耙查愧贴远柑MonteCarlo简介MonteCarlo简介构造或描述概率过程构造或描述概率过程n对于本身就具有随机性质的问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。

即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题袁欧止奈晶膨啡为迭昆舆悲良茧荔终扩筛孩尺巩窥撞屈官轩携歉撑羞咒惩MonteCarlo简介MonteCarlo简介实现从已知概率分布抽样实现从已知概率分布抽样n构造了概率模型以后， 按照这个概率分布抽取随机变量 （或随机向量），这一般可以直接由软件包调用，或抽取均匀分布的随机数构造这样，就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因  袋篓涎椰渔墟花抖丝澎常透钠凋飞桃馋选脱稿袜波金郑肛州痘卡勾悄君账MonteCarlo简介MonteCarlo简介建立各种估计量建立各种估计量 n一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解 录事蕊抿阶绵拧判傻涪荧廊权倒丝睡诺曾介胀力澡芽厉久寻投览曳驮硕丁MonteCarlo简介MonteCarlo简介例子例子n考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。

 莆窄断秸会蔓篙衍众佑音慕析煞印丛熔肥驰玄液自汾掠言难穆相州扛药屎MonteCarlo简介MonteCarlo简介比喻比喻n可用民意测验来作一个不严格的比喻民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的民意其基本思想是一样的 泅矩屡怕硝寿曾串俩懒秘备行率棺店蠕凹贵呈庄哇瞬韦欧需示淆荧晰垣吹MonteCarlo简介MonteCarlo简介应用应用n科技计算中的问题比这要复杂得多但Monte Carlo 方法广泛地应用于许多应用领域，如计算物理学 、粒子输运计算、量子热力学计算、量子化学、分子动力学与 特别在金融计算中，各方法有不可取代的优势昔妆枕诱包娇仪栖蜕轧蚊醇闸拉喘鹏毙译纷翠礁吴痔堤努肝翻疗香忽胯硫MonteCarlo简介MonteCarlo简介金融中的应用金融中的应用n金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机） 撂宦畦怜疾恃惹纪愈渠榨琐菜拔汲阶畜盒烽躁衰盯螟下筷笆匪张蚊华望熏MonteCarlo简介MonteCarlo简介Monte Carlo方法的优势方法的优势nMonte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。

以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧nMonte Carlo模拟适用于研究复杂体系研究具有多得数不清的结构、状态的体系，对此我们可以采用蒙特卡洛模拟，以统计的方法寻找出现几率最高的结构、状态，或相应的有关数据 咬体俄滑察俭余镰兽吃遏缆镇挽秒卞福肚弗钢闽磕掸茅瞻哩壹贮柿霞参筛MonteCarlo简介MonteCarlo简介Monte Carlo 方法处理的问题方法处理的问题nMonte Carlo 方法处理的问题可以分两类n确定性的数学问题确定性的数学问题 多重积分、求逆矩阵、解线性代数方程组、解积分方程、解某些偏微分方程边值问题和计算代数方程组、计算微分算子的特征值等等n 随机性问题随机性问题巫黍蘑攒乱埠茫蛤巨揖菌吟脖万忽摸涵日累气轨衫贯密调匀煽屿替狭亥吭MonteCarlo简介MonteCarlo简介方法方法n在解决实际问题的时候应用Monte Carlo方法主要有两部分工作：1、用此方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量 2、用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解后蹈赣陶雍翼瓦琐捷热菩幽穆论百赊禾聊范中泰氦风福境徊肺艰卒万波沤MonteCarlo简介MonteCarlo简介用用Monte Carlo 计算定积分计算定积分n考虑积分n假定随机变量具有密度函数n则 肤赂集尿蔚横讼赋敝峭翱复旅辰恼巾好忆笛勇霖铡乌尤冒北期蛤撕消泊敬MonteCarlo简介MonteCarlo简介用用Monte Carlo 计算定积分计算定积分-n抽取密度为e^{-x}的随机数X_1,…X_nn构造统计数n则沂谰晌惨矢比砍埋眠辛虐罐叠瘪往环规到分稀葱目庆梦续门竣算烽遁脸襄MonteCarlo简介MonteCarlo简介用用Monte Carlo 计算定积分计算定积分--n且n即针忿伯术禹梗树怖恼膘脉训采慈喇砌剃娟阮类鹤闹限焙田刁洱护拯芹备逆MonteCarlo简介MonteCarlo简介用用Monte Carlo 计算定积分计算定积分---n例如 α=1.9n取nΓ(1.9)=0.96176 – 模拟结果不好！n如果要达到0.001的精确度，要4X530^2=1123600计算！豪俭苹提德朋阑疗匡陶搬湾睦艳闺桑抽际桨倘词挽缕舌懦勾霹椭亲康璃铝MonteCarlo简介MonteCarlo简介用用Monte Carlo 计算定积分计算定积分----n例子说明分析和设计是重要的。

n重写积分n取两个随机数绦宪筑捕醇林怔邯税搐剖卯辨诣闲枝啄躇取桃怠撤茂奢蓟幕涨匣稗堑导邻MonteCarlo简介MonteCarlo简介用用Monte Carlo 计算定积分计算定积分-----n取8个随机数n大大改善了结果！寄圃铱免沦釉焦婶吹料邹醋入怔牢筐莆袁签牺巷蚜姆甄般带寅绍湖炸坑稽MonteCarlo简介MonteCarlo简介随机数的产生随机数的产生n随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具n随机数的产生就是抽样问题可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便另一种方法是用数学递推公式产生这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用被四汞帽错睬诌赞连少搂鹃蔫弦疹捐挖抱蹲惜措穆哈粗槛辗娇作增油窥辜MonteCarlo简介MonteCarlo简介随机数的取得随机数的取得n如果你对随机数有更高的要求，需要自己编辑“随机数生成器”n最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）n 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生一个(0,1)中均匀分布的随机数n你可以根据需要给随机数一个“种子”，以求不同的数傻藕咕酞诗烫桂歌瞪诡继玛多渴毛淋汽历根惜貌魔勿漠泣洼彦装烷凑院日MonteCarlo简介MonteCarlo简介Matlab 的随机数函数的随机数函数n均匀分布nR=unidrnd(N)，-产生1到N间的均匀分布随机数nR=unidrnd(N,n,m),产生1到N间的均匀分布随机数矩阵n连续均匀分布nR=unifrnd(A,B) -产生(A,B)间的均匀分布随机数nR=unifrnd(A,B,m,n)产生(A,B)间的均匀分布随机数矩阵逮悠贤炳痈茹产禹乒你额滋促邮吻经擂滨诫箔龙莆抬赫刺购佃嘶捌怀勤雇MonteCarlo简介MonteCarlo简介Matlab 的随机数函数的随机数函数-n正态分布随机数nR=normrnd(mu,sigma)nR=normrnd(mu,sigma,m)nR=normrnd(mu,sigma,m,n)n特定分布随机数发生器nR=random(‘name’,A1,A2,A3,m,n)犹计正描纺坏合悉娇浇订拜昼峪尿彭酮雀务色姿宠猛把雀押瑚浑逻帘吃嚎MonteCarlo简介MonteCarlo简介例例na=random(‘Normal’,0,1,3,2)a=   .-0.4326     0.2877    -1.6656     -1.1465     0.1253     1.1909烟茂右合说坚案断团几焙澎许溪浪笔歌闸醉醛卓钎融蔚涅裸耿徽葬晶桶扯MonteCarlo简介MonteCarlo简介精确性精确性n由于Monte Carlo 方法的随机性，精确性建立在大量的重复模拟上，最后去平均值。

n 对确定值的计算，要估计出样本的个数与精确度之间的关系n对随机过程的模拟，有置信区域的估算等恿悼弛夫虹秋高羌识钥靡谰兄博逼洗吁椅藩戌伏誉手荡仕犹拣拿灶挠屁羊MonteCarlo简介MonteCarlo简介方差削减技术方差削减技术n对偶变量技术(适用正态分布函数）n  取一组随机数Z_i，可得模拟值C_i ,i=1,2,..nn估计值为期平均C^n再取Z_i 的对偶Z’_i=-Z_i,再生成估计值C’^n然后去新的平均值C*=（C^+C’^)/2n则nvarC*=1/2varC^+1/2cov(C^,C’^)< 1/2varC^+n该技术使计算更稳定亿尉呸无峙题衡油报赌钦酬辨船帆诲畜云隶个误漠拥否韧账途谓凝浑泡埋MonteCarlo简介MonteCarlo简介Monte Carlo 模拟二叉树期权定价模拟二叉树期权定价n 二叉树定价模型是从构造好的二叉树中随机选择一条路径样本，从二叉树的末端开始倒推计算出衍生证券的价格，但是采用了Monte Carlo后，是顺着二叉树往后计算的  基本方法：基本方法：          在第一个节点（根节点），随机产生一个0到1间的随机数，如果这个数小于p，就选择当前的上升分支，反之选择下降分支。

这样就产生了一个新节点，继续上面的过程，直到二叉树的末端一条路径产生了，衍生证券的最终价值就可以计算出来了（可以看作是全部可能终值集合中的一个随机样本），这样完成了第一次模拟n更多的样本路径得到更多的样本终值进行多次模拟，用平均值来估计衍生证券的价格拴约练瞥刹浆涨熬陡友快项侄甘讯荡曲苦盏司烙拜框沽戊肋咯敷花即鲍厩MonteCarlo简介MonteCarlo简介Monte Carlo 模拟连续过程的欧式期模拟连续过程的欧式期权定价权定价n欧式期权定价的期望公式为n如果标的资产服从几何布朗运动n则风险中性测度下，标的资产的过程为置战歇吃蜡笛缮矢榴磷目鹰啃泼羌帆担奔蕊勒搅舶獭拖陡翅筛拒迈越佩肢MonteCarlo简介MonteCarlo简介Monte Carlo 模拟连续过程的欧式期模拟连续过程的欧式期权定价权定价-n所以Call Option 到期日的现金流为n抽一个正态分布的随机数ε，算得上式再贴现，就可以得到一个结果n重复上面的过程（如计算10000次）n 将所有的结果取平均郑口柯少麦拱哄侥围噶沸卖是绣元佰窥丰痊错上硅俺炬朴盘炮蕴葡政捧寺MonteCarlo简介MonteCarlo简介附表附表:Matlab随机数生成器随机数生成器betarnd    贝塔分布贝塔分布             binornd     二项分布二项分布chi2rnd   卡方分布卡方分布              exprnd      指数分布指数分布     frnd        f分布分布                     gamrnd      伽玛分布伽玛分布 geornd    几何分布几何分布              hygernd     超几何分布超几何分布 lognrnd   对数正态分布对数正态分布       nbinrnd     负二项分布负二项分布 ncfrnd     非中心非中心f分布分布         nctrnd      非中心非中心t分布分布 ncx2rnd  非中心卡方分布非中心卡方分布   normrnd   正态正态(高斯高斯)分分布布 poissrnd    泊松分布泊松分布           raylrnd     瑞利分布瑞利分布 trnd        学生氏学生氏t分布分布           unidrnd     离散均匀分布离散均匀分布 unifrnd     连续均匀分布连续均匀分布      weibrnd     威布尔分布威布尔分布爆毗袄均谱仇席联膀刷盐盐窝筐晕痪敦裙挤忌了挫袄钞傻赴缆钦户剐找抱MonteCarlo简介MonteCarlo简介。