第3讲等比数列及其前n项和（教师版）(教育精品).doc

第3讲　等比数列及其前n项和考点梳理1．等比数列的定义及通项公式(1)等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±(ab>0)．在等比数列中，从第二项起每一项(有穷数列最后一项除外)都是它前一项与后一项的等比中项，即a＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)．(3)等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，若已知第m项am和公比q，则an＝amqn－m.(4)等比数列的公比公式：qn－1＝或qn－m＝.2．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.3．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． 注　前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．考点自测1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________.解析　设数列{an}的公比为q，则4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2.∴S4＝＝15.答案　152．已知三数x＋log272，x＋log92，x＋log32成等比数列，则公比为________．解析　因为(x＋log92)2＝(x＋log272)(x＋log32)，所以2＝(x＋log32)，解得x＝－log3 2，所以公比q＝＝＝3.答案　33．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝________.解析　由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a、b、c成等差数列得2b＝a＋c，即2cq2＝cq＋c，又等比数列中c≠0，所以2q2－q－1＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－，又a＋3b＋c＝a＋3aq＋＝－a＝10，所以a＝－4.答案　－44．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.解析　由题意，得－4＝·q3，所以q＝－2，从而|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝＋1＋2＋4＋8＋16＝.答案　5．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝，a3＋a4＝1，则a7＋a8＋a9＋a10＝________.解析　a1＋a2＝a1＋a1q＝，a3＋a4＝a1q2＋a1q3＝1，∴q2＝2，a7＋a8＋a9＋a10＝(a1＋a2＋a3＋a4)q6＝·23＝12.答案　12考向一　等比数列基本量的计算【例1】已知数列{an}是等比数列，且an>0.(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①当m＝48时，求数列{an}的通项公式； ②若数列{an}是唯一的，求m的值；(2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．解　(1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得解得或所以数列{an}的通项公式为an＝(16－8)(3＋)n－1或an＝(16＋8)(3－)n－1.②要使满足条件的数列{an}是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解．所以方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．则Δ＝m2－32m＝0，解得m＝32或m＝0.因为a3＝m>0，所以m＝32，此时q＝2.经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式为an＝2n＋2.(2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q>1.则a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝＝8≥32，当且仅当qk－1＝，即q＝，a1＝8(－1)时，等号成立．所以a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32.[方法总结] 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【训练1】 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式； (2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．解　(1)∵a3·a4＝a1·a6＝，又a1＋a6＝11，故a1，a6看作方程x2－11x＋＝0的两根，又q∈(0,1)∴a1＝，a6＝，∴q5＝＝，∴q＝， ∴an＝·n－1＝·n－6.(2)由(1)知Sn＝＝21，解得n＝6.考向二　等比数列的判定或证明【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1 (n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．审题视点　(1)由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1转化成an与an＋1的递推关系，再构造数列{an－1}． (2)由cn求an再求bn.(1)证明　∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列．又a1＋a1＝1，∴a1＝，∵首项c1＝a1－1，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1，∴{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)解　由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.[方法总结] 注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n＝1时是否符合n≥2时的通项公式，能合并的必须合并．【训练2】已知数列{an}，an＝pn＋λqn(p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*)．(1)求证：数列{an＋1－pan}为等比数列；(2)数列{an}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由．(1)证明　因为an＝pn＋λpn，所以an＋1－pan＝pn＋1＋λqn＋1－p(pn＋λqn)＝λqn(q－p)．因为λ≠0，q＞0，p＞0，p≠q，所以＝q为常数，且a2－pa1＝λq(q－p)≠0，所以数列{an＋1－pan}为等比数列．(2)解　取数列{an}的连续三项an，an＋1，an＋2(n≥1，n∈N*)，则a－anan＋2＝(pn＋1＋λqn＋1)2－(pn＋λqn)(pn＋2＋λqn＋2)＝－λpnqn(p－q)2.因为p＞0，q＞0，p≠q，λ≠0， 所以－λpnqn(p－q)2≠0，即a≠anan＋2.故数列{an}中不存在连续三项构成等比数列．考向三　等比数列的性质及应用【例3】 (1)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10；(2)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(3)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.解　(1)a4·a7＝a3·a8＝－512，∴解之得或当时，q5＝＝－32，∴q＝－2.∴a1＝＝－1，∴a10＝a1q9＝－1×(－2)9＝512.当时，q5＝＝－，q＝－. 又∵q为整数，∴q＝－舍去．综上所述：a10＝512.(2)∵a3a11＝a＝4a7， ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.(3)法一　a1a2a3a4＝a1a1qa1q2a1q3＝aq6＝1.①a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8.②②÷①：＝q48＝8⇒q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43 ＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)·(q16)10 ＝1·210＝1 024.法二　由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1＝a1·a2·a3·a4＝1， T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8，∴p＝2. ∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1 024.[方法总结] 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质 ，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．【训练3】 (1)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，若am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，求m的值．(2)在等比数列{an}中，①若已知a2＝4，a5＝－，求an；②若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解　(1)因为{an}是等比数列，由其性质，得am－1·am＋1＝a，于是由am－1·am＋1＝2am，得a＝2am. 又am≠0，所以am＝2.因为T2m－1＝a1a2…a2m－2·a2m－1＝a＝128＝27，所以2m－1＝7，解得m＝4.(2)①设公比为q，则＝q3，即q3＝－，∴q＝－，∴an＝a5·qn－5＝n－4.②∵a3a4a5＝8，又a3a5＝a，∴a＝8，a4＝2.∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.考向四　等比数列的综合应用【例4】记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋3.(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；(2)记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2<…