08张量讲义2.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑08张量讲义2 其次章 笛卡儿张量代数 笛卡儿张量（简称卡氏张量）是建立在笛卡儿直角坐标系（包括右手系与左手系）上的张量不同的坐标系对应于初始坐标系的某种变换笛卡儿直角坐标系涉及的变换有平移、旋转和反射前两者属正常变换，后者为反常变换三种变换均为正交变换（见1.6.2节），如前所述，若张量式中含有矢径，正交变换只包括旋转和反射变换 卡氏张量是最根本、最简朴，同时也是最常用的张量它是迈向一般张量的一个台阶，但又可自成一体系实际上，不少应用问题可能只需用到卡氏张量因此，本书把卡氏张量作为相对独立的单元来议论卡氏张量涉及的内容包括根本概念、张量代数和张量分析，本章议论前两片面 本书假定读者仅有高等数学、线性代数学识，未学流体力学、弹性力学或材料力学（统称为连续介质力学）所以，从本章起，将通过实例系统地介绍一些连续介质力学的根本概念、公式或定律，扶助读者理解抽象的张量概念 2.1不变量的充要条件 我们知道，向量是坐标变换的不变量，可以表示为 a?aiei?a?je?j?a? （2.1） 由此可导出向量的坐标变换式（见1.6.3节） a?j?βjiai （2.2a） ai??jia?j（2.2b） 反之，若数组ai得志（2.2）式，那么 a??a?je?j??βjiai??βjkek??βjiβjkaiek?δikaiek?aiei?a 即向量是不变量。

这说明向量是不变量与数组得志坐标变换式（2.2）是等价的因此，（2.2）式亦可作为向量的定义 另一方面，在1.5节中，我们通过并积得到诱导向量诱导向量的集合构成诱导向量空间由向量代数理论知，任何线性空间的元素可表示为基向量的线性组合，线性组合的系数为向量的分量基不是唯一的，同一向量在不同基下有不同的分量基的变化将引起分量的变化，但不同基对应的向量并没有变，仍为同一个向量基的变化实质上是坐标系的变化，因此，诱导向量依旧是坐标变换的不变量 ??ek?e?? （2.3） A?Aijeiej?Ak与（2.1）式不同的是，分量有两个指标，基为并矢基，这种不变量称为二阶不变量，即二阶张量上述不变 性定义应用上并不便当，好多二阶数组并非由向量的并积得到，分量的值仍随坐标系的变化而变化，但无法用 1 上式判断是否为不变量例如，（1.15）式中， gij由任意基向量的点积得到，一般处境下，gij分量的值随基（坐标系）的变化而变化，是否为二阶不变量？切当地说, 是否为诱导空间的元素并得志（2.3）式？回复此问题需要找出二阶不变量的充要条件： ??，令 设物理量A有3个随坐标系变化而变化的分量，在老系与新系下的分量分别为Aij、Ak 2??ek?e??A??Ak若A为不变量，必有 A?Aijeiej A?A?（2.4） 即 ??ek?e?? Aijeiej?Ak将变换式（1.81）代入有 ?e???Ak??ek?e?? Aijeiej?Aijβkiβ?jek所以 ??=βkiβ?jAij （2.5a） Ak同理可导出（问题） ??（2.5b） Aij=βkiβ?jAk反之 若A的分量得志（2.5）式，那么 ??ek?e???βkiβ?jAijek?e???Aij(βkiek?)(β?je??)?Aijeiej?A A?=Ak即A是不变量。

因此（2.5）式是A为不变量的充要条件，即A为不变量与分量Aij得志（2.5）式是等价的2.5）式可作为二阶张量的定义事实上，任何一个物理量得志的充要条件都可作为该物理量的定义实用 上用（2.5）式来判断不变量更为普遍和便当例如，我们可用（2.5）式来判断克罗内克符号是否为不变量 由（1.84）式 ???βkiβ?i?βkiβ?iδij δk所以δij为二阶不变量（二阶张量），必有 ??ek?e??（2.6a） I?δijeiej?δk或 2 ?ek?（2.6b） I?eiei?ekI?δij称为单位张量，它的分量就是熟知的克罗内克符号 在数学、物理学中，还有大量二阶数组得志不变量的充要条件，这一类不变量就构成了我们定义二阶张量 的根基 1 应力张量 图2－1 应力是单位面积的内力 fNn?fN外力作用下物体变形 各片面产生相互作用力抗争变形 变形体在外力作用下将产生变形，其内部各片面会产生相互作用力来抗争变形（图2－1）。

单位面积上的内力定义为应力由定义知，应力总是与作用面相关联对于变形体内任一点P可作无穷多个面（我们用单位法矢n代表不同的作用面），因而有无穷多个应力向量fN（图2－2），这无穷多个应力向量的集合称点P的应力状态可以证明，同一点各面上的应力向量并非独立，它们可由三个相互垂直的坐标面（与坐标轴垂直的面）上的应力来确定为此我们先议论坐标面应力的特性和表示法 如图2－2，过P点作一坐标面构成的微小正六面体数学上，微小六面体可视为无体积的“一点”，因而六面体各个面上的应力可认为是同一点不同面上的应力而物理上，六面体又可视为体积微小的受力实体，应当得志力的平衡条件六面体有三对与坐标轴垂直的面，其中外法向与坐标轴方向一致的面称正面，另一面为负面正面上的应力用бi（i表示不同的作用面）表示，负面上的应力用бi?表示同一点正负面上的内力是作用力与反作用力的关系，例如(图2－2c) б?dS????б?dS? 那么有 3 图2－2 空间点P 的应力状态 e3ζ??б?x?e3x?dY?Cζ??ζ??б?ζ????x?б?OCdS??б?n?б???б?Ae1?б?ζ??ζ??ζ??Bζ??e2dS?fNdSP?б?Ae1Be2??б?dY?dY??б?dS?(a)坐标面的应力向量及分(b)应力张量抉择应力状e2dS?б?P?б?PdS?(c)正负面上的应力关系 бi???бi（2.7） 即 ★ 正负面上的应力向量大小相等方向相反。

在坐标系ej中正面上的应力向量可表示为 бi?ζijej（2.8） ζij表示正面应力向量的分量，第一指标表示作用面，其次指标表示应力分量的方向，当两个指标值一致 时表示垂直于作用面的正应力（如ζ??），不同时表示平行于作用面的切应力（剪应力）(如ζ??)（图2－2）ζij有9个分量，可用二阶数组或矩阵来表示 ζij??ζ??,ζ??,ζ??,ζ??,ζ??,ζ??,ζ??,ζ??,ζ???（2.9） ?ζ??ζ???ζ??ζ?ij?????ζ????ζ??ζ??据（2.7）（2.8）式，负面上的应力向量可表示为 4 ζ???ζ????（2.10） ζ????бi???ζijej（2.11） 为求P点任一斜面n上应力，可作一由斜面和三个坐标面构成的周围体（图2－2）设斜面的面积为dS，坐标面的面积为dSi由叉积的几何意义，斜面（n?niei）的面积向量dS可表示为 dS=dSn?dSniei??11AB?AC?PB?PA?PC?PA22???? 1PB?PC?PC?PA?PA?PB2?dS1e1?dS2e2?dS3e3?dSiei???边形平面都可分解为若干三角形平面。

根据周围体的平衡条件有 dSni?dSi（2.12） （2.12）式对任何外形的多边形平面都是成立的，由于任何外形的多dSi称为dS在坐标平面的投影面积 fNdS?б1?dS1?б2?dS2?б3?dS3?0?fdS?бidSi?0?NfNdS?бi?dSi?0? 将?fN fN=бidSidS （2.8）、（2.12）式代入得 ?fjNej 、 fN=бini（2.13） ??fjNej?ζijejni 那么有 fjN?ζijni （2.14） 上式为出名的柯西应力公式式中ζij凭借于P点的位置和选定的坐标系ei，与ni无关，fj随ni而变化 N 另一方面，对于同一空间点P以及给定的斜面n和相应的f，可选择不同的坐标系ei?来建立平衡条件 N （图2－3）在新坐标系下 fN=fi?Nei?同样的分析可得 ?ei?n?nk?e?j（2.15） бi?=ζij?nk?（2.16） fN=бk对比得（2.13）和（2.16）式得 5 — 7 —。