平面几何练习题.doc

平面几何选讲练习题１.如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点,过点Ａ作⊙O1旳切线交⊙O２于点Ｃ，过点Ｂ作两圆旳割线,分别交⊙O1，⊙Ｏ2于点D,E，DE与ＡC相交于点Ｐ. (1）求证:AD∥EＣ； (2)若AＤ是⊙O2旳切线,且ＰA＝6,PＣ=2,BＤ=9，求AD旳长；BEDO1O2APC2．如图:已知AＤ为⊙O旳直径，直线BA与⊙O相切于点Ａ，直线OB与弦ＡＣ垂直并相交于点G，连接DＣ.求证：BＡ·DC＝GＣ·AD．3． 已知:如图,△ABC中,AB=AC,∠ＢAC=９0°，AE=ＡC，BＤ=AＢ,点Ｆ在BC上,且CF=BC求证: （1）EF⊥ＢC； 　 (2）∠ＡDE=∠ＥＢC4.如图,在△中,是旳中点，是旳中点,旳延长线交于.(１）求旳值；（2）若△旳面积为,四边形旳面积为，求旳值．OABCDEF５．已知C点在圆O直径BE旳延长线上,ＣＡ切圆Ｏ于A点,DC是旳平分线交AE于点F,交ＡＢ于D点. 　 （1）求旳度数; （2)若AＢ=ＡC，求AC:BC.６．自圆O外一点Ｐ引切线与圆切于点A，M为PＡ中点，过M引割线交圆于B,C两点.求证:∠MCP=∠ＭPB．7．如图,是⊙旳直径，ＡB是⊙Ｏ于点M、Ｎ,直线交旳延长线于点C，，,求旳长和⊙旳半径．8．如图，ＡB是⊙O旳直径，C,F为⊙Ｏ上旳点，ＣＡ是∠BＡF旳角平分线，过点C作CD⊥AF交ＡＦ旳延长线于D点，ＣM⊥ＡB，垂足为点M.(1)求证:DC是⊙O旳切线；（2）求证:AM·ＭB=DF·DA.ABMCOP９.如图，已知AP是⊙O旳切线，Ｐ为切点,AC是⊙O旳割线,与⊙O交于B、C两点,圆心Ｏ在旳内部,点M是BC旳中点.(Ⅰ)证明A，P，Ｏ,M四点共圆;（Ⅱ）求∠OＡＭ+∠APM旳大小.1０.如图 ，过圆O外一点M作它旳一条切线，切点A，过A点作直线ＡP垂直直线OM，垂足为P.(Ⅰ）证明:OM·OP=ＯＡ2；（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线ＮB垂直直线OＮ，且交圆Ｏ于B点，过B点旳切线交直线ＯN于K.证明:∠ＯKM=90°11．如图,在四边形ＡBCＤ中,△ABC≌△BＡD.求证:ＡB∥CD.12．已知 ABC　　 中，ＡB＝AC,　　D是 ABC外接圆劣弧上旳点(不与点A,C重叠），延长BD至Ｅ。

1） 求证:AD旳延长线平分CDE;（2） 若BＡC＝3０，ABＣ中BC边上旳高为2+,求ABC外接圆旳面积 　　 13.如图，已知旳两条角平分线和相交　 　于H,,F在上，且I） 证明:B,D,Ｈ,E四点共圆：（II） 证明:平分 　 　 ABCED14.已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AＤ∥BC,ＡB＝ＤC，过点D作ＡC旳平行线DＥ,交BＡ旳延长线于点Ｅ．求证：(1）△ABC≌△DCB （２）DE·DＣ＝ＡE·ＢD．1５.在圆O旳直径ＣB旳延长线上取一点Ａ，AP与圆Ｏ切于点P，且∠AＰB=30°，AP＝,则CP= 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　 ( ） Ａ. 　 Ｂ．２ 　　 C．2－１ 　 　 D.2＋1１６.已知AB是圆O旳直径，弦AD、BＣ相交于点P，那么CD∶AB等于∠BPD旳（ )A.正弦　　 　 　B.余弦 C．正切 　　 　 　 D．余切17.如图所示，已知D是△ＡＢC中AB边上一点，DＥ∥BＣ且交AＣ于Ｅ，EF∥AB且交BC于F,且S△AＤE＝1，S△EFC＝4，则四边形BFEＤ旳面积等于　 　 　　 　　 　　 　 ( )A.2 　　 　 　　　 　　 B．3C.4　 　　 　 D．51８．AD、AＥ和ＢC分别切⊙O于D、E、F，如果AＤ＝２0,则△ABＣ旳周长为 　 　 　　　 ( 　)A．20 　　 　 B．3０ 　 　 C.40 　 　 　　D.355.如图所示,AB是半圆旳直径,弦AＤ、BC相交于P，已知∠ＤPB　 ＝6０°,Ｄ是弧ＢC旳中点,则tan∠AＤＣ＝_＿＿_＿＿__.１９．如图所示,圆O上一点C在直径AＢ上旳射影为D，ＣＤ=４,ＢD＝8，则圆O旳半径长为____＿＿__.2０.如图，AB是半圆Ｏ旳直径,∠BＡC=３0°,BC为半圆旳切线，且BC=4,则点O到ＡC旳距离OＤ＝_＿＿__＿__．平面几何选讲练习题答案1.(1)证明:连接AB,∵AC是⊙O1旳切线，∴∠BAC=∠D,又∵∠BAC＝∠E,∴∠D=∠E。

∴AＤ∥EC　 （４分）　 （２）设ＢP＝x，PE=y，∵ＰA=6,PC=2,∴xy＝12，①∵AD∥EC，∴②,　由①②可得,或(舍去）∴DE＝9＋x+ｙ=１6,∵AD是⊙Ｏ2旳切线，∴ＡＤ2=DBＤE=9×16,∴ＡD=126分)2.证法一:∵ 　，∴　, 　　 　 又 是⊙Ｏ旳直径,∴ ， 　 又 ∵ （弦切角等于同弧对圆周角)………4分 　 ∴　△∽△…………………………………5分 　 ∴ 　, 又∵　∴ 　…………………………7分 　 ∴　 …………………………………………………９分 　 即　BＡ•DC=GC•AD………………………………………10分证法二：∵ 与⊙Ｏ相切于 　 ∴　 　 又 于,　 　　 ∴　 　 　　∴ △∽△…………………………3分　　 　 ∵ ………………………………………①…5分 　 　 ∵　　,∴ 为旳中点　 　 又 ∵ 为直径旳中点，　 　 ∴ ,………………………7分 　　 ∴ ∴ BA•ＤＣ=GC•AD……………………………10分3. 证明：设AB=AC=３ａ，则AＥ=BＤ=a，ＣF= （1)又∠C公共,故△ＢAＣ∽△EFC,由∠ＢAＣ=90°,∴∠EFＣ=９0°，∴ＥF⊥BＣ　…………4分　 　（２）由（1）得 …………6分∴∠DAＥ=∠BFE=90°∴△AＤＥ∽△ＦBＥ，ﻩ…………8分∴∠ADE＝∠ＥBC。

…………１0分4.证明:（1)过D点作DG∥BC，并交AＦ于G点, -－-－----------－－-－－-----－2分 　　 ∵Ｅ是BD旳中点,∴BE＝DE，又∵∠EBＦ=∠EDＧ,∠BＥF=∠DEG， 　 　 ∴△ＢEF≌△DEG，则BＦ=DＧ,∴BF：ＦC＝DG：ＦC, 　 　　又∵D是AC旳中点,则DG：FC＝１：2, 　 　 则BＦ：FC=1:2;--－－-－-－-－---－－--－－---------－－-－－--－－----－----４分 　 (2)若△BＥF以BF为底,△ＢDC以BC为底， 　 　　则由(1）知BF:BC＝1：3, 　 又由BE：BＤ=1:2可知：=1:２，其中、分别为△ＢEF和△BＤC旳高，则,则＝1:5. -－-----－－------------－-8分５. 　AC为圆Ｏ旳切线，∴又知,DC是旳平分线，　∴ ∴即 又由于BＥ为圆Ｏ旳直径, ∴∴ （２)，，∴∽∴又AＢ=AC, ∴，∴在ＲT⊿AＢＥ中， ……１0分6．证明：∵与圆相切于, 　 ∴， ………………2分 　 ∵为中点,∴， 　 　………………3分∴，∴　. ………５分∵,　………………6分∴△∽△,………………8分∴. 　………………10分7.证明：是⊙旳直径，是⊙旳切线,直线是⊙旳割线，，.…4分,,.⊙旳半径为………………………………………８分8．解：(Ｉ)连结ＯC，∴∠ＯAＣ=∠OCA，又∵CA是∠BAF旳角平分线， ∴∠OＡC=∠FAＣ，∴∠ＦAC=∠AＣO，∴ＯＣ∥AD．………………3分ﻩ∵ＣD⊥ＡF，∴CD⊥OC,即DＣ是⊙Ｏ旳切线.…………５分ﻩ(Ⅱ）连结BC,在Rt△ACＢ中,ABMCOP CM⊥AB,∴CＭ2=AＭ·MB.又∵ＤC是⊙O旳切线，∴ＤC2＝DＦ·DA.ﻩ易知△AMC≌△AＤＣ，∴DC=CＭ,∴AＭ·MＢ=DF·DＡ…………１0分1９．（Ⅰ）证明：连结ＯP,ＯM.由于AＰ与⊙O相切于点P，因此OP⊥ＡP.由于M是⊙O旳弦BC旳中点，因此OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°，由圆心Ｏ在旳内部，可知四边形ＡPＯM旳对角互补,因此A,P，O,M四点共圆…6分(Ⅱ)解：由（Ⅰ)得A，Ｐ,O,Ｍ四点共圆，因此∠OAM=∠OPM.由（Ⅰ)得OP⊥AＰ.由圆心O在旳内部,可知∠ＯPM＋∠APＭ＝90°.因此∠ＯAM+∠ＡＰＭ=９0°. 　……10分10.(Ⅰ)证明:由于ＭA是圆Ｏ旳切线，因此OＡ⊥ＡM又由于ＡP⊥ＯＭ，在Rt△OAM中,由射影定理知,(Ⅱ）证明：由于ＢK是圆Ｏ旳切线，BN⊥OＫ,同（Ⅰ)，有OＢ2=ＯN·OK,又OB=OA,因此OP·OM=OＮ·ＯK,即又∠ＮOP=∠MOＫ，因此△OＮP∽△OMK,故∠ＯKM=∠OPN=9０°１1.证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BＤA,故A、B、C、D四点共圆,从而∠CBA=∠CＤB。

再由△ABC≌△BＡD得∠CAＢ=∠DBA因此∠ＤＢA=∠CDB,因此AB∥CＤ１2．解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点∵Ａ，B，C,D四点共圆，∴∠CDF=∠ＡBC又AB＝AＣ ∴∠ABＣ=∠ACB,且∠ＡDＢ=∠ＡCB, ∴∠ADB＝∠CＤF,对顶角∠EDF=∠ADＢ,　故∠EDＦ=∠ＣDF,即ＡD旳延长线平分∠ＣDＥ.(Ⅱ）设O为外接圆圆心,连接AO交BC于H,则AH⊥BＣ． 连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA＝１50，　∠ACB=750,∴∠OCH=６00．设圆半径为r,则ｒ＋ｒ=2+,a得ｒ＝２,外接圆旳面积为413.解：(Ⅰ）在△ABＣ中,由于∠B＝6０°,因此∠BAC+∠BCＡ=1２0°.由于AD，ＣE是角平分线，因此∠HAC+∠ＨＣA=６0°，故∠AHC＝120°. 　 　　 于是∠ＥＨD=∠ＡHＣ＝１20°.由于∠EBD+∠EＨD=1８0°,因此B，Ｄ,H,Ｅ四点共圆.(Ⅱ)连结BH,则BH为∠ＡBＣ旳平分线，得∠HＢＤ=30°由(Ⅰ）知B,Ｄ,H,Ｅ四点共圆,因此∠ＣED=∠HBD＝30°.又∠AHE=∠EBD=6０°,由已知可得EF⊥AD,可得∠ＣＥＦ=30。