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泛函分析知识点小结及应用第七章 度量空间§1 度量空间的进一步例子一 度量空间的定义设X是任一非空集合，假设对于Vx,y e X,都有唯一确定的实数d (x, y )与之对应，且满足1•非负性：d(x, y)> 0， d(x, y)=0 o x 二 y ;2. 对称性：d(x,y)二d(y,x);3. 三角不等式：对Vx, y,z e X，都有d(x, y)< d(x,z) + d(y,z),则称(X，d )为度量空间，X中的元素称为点欧氏空间Rn对Rn中任意两点x = (x ,x ,…,x )和y = (y , y，…,y)，规定距离为1 2 n 1 2 nd(x, y)= (x — y2.iii=1，定义d (x, y )= maxa 0， 3 5 > 0， S・t・ 0都有Tx ） 0, 3N = N C )wN m, n > N 时，有 d (x , x )< £ ,则称｛x J°° 是 X 中 n m n n=1的柯西点列或基本点列.假设度量空间(X， d )中每个柯西点列都收 敛，则称( X ， d )是完备的度量空间.在一般空间中，柯西点列不一定收敛，如点列1,1.4,1,41, 1.412,在R1中收敛于、迈，在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.定理1完备度量空间X的子空间M是完备度量空间o M是X 中的闭子空间.常见例子：(1) C 〔收敛的实或复数列的全体〕是完备度量空间(2) Cla,b]是完备的度量空间(3) pL,b](实系数多项式全体)是不完备的度量空间§6度量空间的完备化定义1 设(X , d )，(X , d )是两个度量空间，假设存在X到X上的保距映射T (V x , x e X ,有d (T x , T x ) = d (x , x ))，则称1 2 1 2 1 2(X , d )和(X , d )等距同构，此时称T为X到X上的等距同构映照。

等距同构映照是1-1映射.因设V x , x e X，且x丰x，则因1 2 1 2d (x , x ) >0 及d (T x , T x )= d (x , x ) >0，知T x 丰 T x .1 2 1 2 1 2 1 2定理1 (度量空间的完备化定理)设X = (X , d )是度量空间，那么一 定存在一完备度量空间X = ( X, d)，使X与X的其个稠密子空间W等i~X_r距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即假设(X , d )也是一完 备度量空间，且X与X的其个稠密子空间W等距同构，贝y (X , d )与 (X , d )等距同构.§7压缩映照原理及其应用定义 设X是度量空间，T是X到X中的压映照，假设存在一个数« :0

定义（范数，赋范线性空间）设X为是实〔或复〕数域F的线性空间，假设对Vx e X，存在一个实数||x||于之对应，且满足以下条件:(1)||x||>0; 且|X = 0 o X 二0 ;非负性〕⑵仪兀|| =训兀|| , a eF ；正齐〔次〕性〕(3)卜+y|| 斗||+|| j||x, yeX ；三角不等式〕X 〕为赋范线性空间则称X为x的范数（norm）,称（X, ||.|）〔或:定义 完备的赋范线性空间称为巴拿赫［Banach］空间例子：C［a, b］，空间 lp， n 维 Euclidean 空间 rn， L［a, b］，都是 Banach 空间度量空间与赋范线性空间 区别:度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足非负性、对称性、三角不等式 赋范线性空间就是定义了范数的线性空间，其满足范数公理〔非负性 齐次性，三角不等式〕 联系:都是性空间的前提下讨论的赋范线性空间是一种特殊的 度量空间。