【备战高考文科数学】题型全突破：专题85热点题型四线、面垂直的证明（解析版）.doc

热点题型四线.面垂直的证明（解析版）线、面垂直的证明在高考为高频考点z多在解答题中的第一问出现z难度中等 或较易•归纳起来常见的命题角度有如下几类.类型一线与面垂直的证明;类型二面与面垂类型三线与线垂直的证明；类型四立体几何中的折叠问题.【基础知识整合】知识点h直线与平面垂直1•直线与平面垂直定义；如果直线/与平面呐的任意一条直线都垂直,则直线/与平面耀直.2.判定定理与性质定理判定定理文字语言—条直线与一个平面内的两条担交直线都垂直,则该直线与图形语言 符号语言a,aC\b- O>/丄日/±b此平面垂直>/丄 a性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行日丄a\^aw 丄a知识点2.平面与平面垂j1 •平面和平面垂直的定义；两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直・2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言—个平面过另一判定定理个平面的垂线，则这两个平面垂直两个平面垂直/性质定理则一个平面内垂直于交线的直线与另—平面垂直匕卩I(=> /af}/3= a(1) 若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2) 若一条直线垂直于一个平面贝!］它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的重要方法)・(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行.(4) 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.类型一线与面垂直的证明【典例1】【2014高考重庆文第20题】如图,四棱锥错误!未找到引用源。

中,底面是以错误!未找到引用源为中心的菱形，错误!未找到引用源底面错 误!未找到引用源错误!未找到引用源错误!未找到引用源为错误!未找 到引用源上一点，且错误!未找到引用源I )证明：错误!未找到引用源平面错误!未找到引用源答案】(I )详见解析;【解析】(I )如虱 因ABCD为菱形，0为菱形中心，连结0B ,则川0丄伽,7L 7T因 ABAD =-,故仞=AB sinZ0AB=2sin- = l3 61 7T又因为BM =-,且二二，在SOBM中2 30M2 = 052 + BM2 -20B• BM cos A0BM =1:+； - ； -2xlxIxcos- = -12丿 2 3 4所以 0B1 = 0M1 + BM1,故 0M _ BM，又 P0 一底面 ABCD ,所以P0_BC,从而BC与平面P0M内两条相交直线0MzP0都垂直,所以BC丄平面P0M.考点：1、直线与平面垂直的判定与性质；2、余弦定理及勾股定理.【思路点拨】本题考查了直线与平面平行的判断与证明，四棱锥的体积的求法，属于中等题，考查学生分 析解决问题的能力，要证线面平行，由判定定理可知，只需在面内作一直线与已知直线平行 即可，如何作出这条面内线就是平时的经验积累与分析思维的能力・【变式练习】1.【2015高考重庆，文20】如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC错误味找到引用源。

平面ABC,错误味找到引用源ABC二错误味找到引用源点D、E段AC上，且AD二DE二EC二2 , PD=PC=4 ,点F段AB上,且 EF//BC.(I)证明：AB错误味找到引用源平面PFE.【答案】(I )见解析【解析】证明：如题⑺)凰由二PC知,E为等腰4FDC中DC边的中点，故PE LAC- ?又平面PAC —平面-18C ,平回 PAC c平[§] ABC = AC f PE u平[B] PAC、 PE X AC ?所以PE 1平面ABC ,从而朋丄脑.因zABC= ^:EF\\ EC故AB 1EF从而AB与平面吨内两条相交直线赵，巧都垂直，所以AB丄平面吨.考点；1.空间线面垂直关系,2.【2015高考福建，文20]如图，错误味找到引用源是圆错误味找到引用源的直径，点错误!未找到引用源是圆错误!未找到引用源上异于错误!未找到引用源的点，错误!未找到引用源垂直于圆错误!未找到引用源所在的平面,且错误!未找到引用源I )若错误!未找到引用源为线段错误!未找到引用源的中点，求证错误!未找到引用源平面错误!未找到引用源答案】(I )详见解析【解析】(1)在aAOC中，因为OA二OC , D为AC的中点,所以AC丄OD,又PO垂直于圆O所在的平1!1,所以PO丄AC因为PO c PO = 0所以AC丄平面PDO考点1、直线和平面垂直的判定；类型二面与面垂直的证明【典例1] [2014高考北京文17】如图,在三棱柱错误味找到引用源。

中，侧棱垂直于底面，错误!未找到引用源错误!未找到引用源错误!未找到引 用源错误!未找到引用源分别为错误!未找到引用源错误!未找到引用 源的中点.(1)求证：平面错误!未找到引用源平面错误!未找到引用源答案】⑴ 见解析错误味找到引用源解析】(1)在三棱柱曲中，昭_底面A3C,所以又因为AB丄EC,所以AB丄平面B、BCC\ ?因为AB u平面ABE ?所以平面ABE —平O B^BCq.考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直证明;【思路点拨】在面与面垂直证明中，其证明的基本思路为转化为线与面的垂直证明考查学生的空间想象能力、推理论证能力、逻辑推理能力，化归与转化思想.【变式练习】L [2016高考北京文数⑻ 如图,在四棱锥错误!未找到引用源中，错误味找到引用源平面错误!未找到引用源'错误!未找到引用源I)求证：错误!未找到引用源II)求证：错误!未找到引用源III)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F ”使得错误!未找到引用源平面错误!未找到引用源说明理由・【答案】（i ）见解析；（n）见解析；（iii）见解析【解析】：（I）因为错误!未找到引用源平1=1错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源・又因为DC丄AC,所以DC丄平面PAC.（II）因为 AB DC, DC 丄 AC,所以 AB _ AC ・因为PC 一平面ABCD ,所以PC _ AB・所臥AB丄平面PAC・所以平面PAB 一平面PAC・（III）棱PB上存在点F,使得PA"平面CEF.证明如下：取PB中点F,连结EF , CE, CF .又因为E为AB的中点，所以EFZTA・又因为PA Z平面CEF,所以PA/7平面CEF・考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力,推理论证能力2. [2015高考湖南，文18]如图4 ,直三棱柱错误味找到引用源的底面是边长为2的正三角形,错误!未找到引用源分别是错误!未找到引用源1 ）证明：平面错误味找到引用源平面错误味找到引用源答案】(I)见解析【解析】试题分析：(I)首先证明AE 一 BB- AE 一 BC,得到■•匹一平面B\BCC、,利用面面垂直的判定与性质定理可得平面肚F 一平面B.BCQ ； QI；设AB的中点为D证明直线ZCA.D直线蚣C与平面^ABB,所成的角，由题设知ZCU]D = 45S求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.试题解析：(I)如團，因为三棱柱^C-A^C,是直三棱柱,所以AE 一 BB-又E是正三角形■好C的边PC的中点，所以AE _ BC ?因此HE _平面B'BCJ 而卫Eu平面.以,所以平面“匹F —平面B^BCC^。

考点；面面垂直的判定与性质类型三线与线垂直的证明【典例11 [2014课标全国I ,文19】如图,三棱柱ABC-AiBiCi中j则面BB\C\C为菱形，民U的中点为O,且力0丄平面BBiCiC.⑴证明:BiC^AB}【答案】(I)见解析【解析】⑴连接BG，则O为B\C与BCi的交点.因为侧面BBiCiC为菱形，所以BiC±BCi・又ZO丄平面BBiCiC,所以B1C.LAO,故BiClL平面Z3O.由于MBu平面ABO,故BiCA-AB.考点：1.线线，线面垂直的转化；【思路点拨】本题考查线面垂直的判定与性质，以及它们之间的转化，这是高考 题中经常考查的方向，考查学生分析解决问题的综合能力.【变式练习】1. [2016衡水金卷】如图所示，已知为圆O的直径，点Q为线段ABA11—点,且 AD=^DB,点U为圆O上一点，且BC^y^AC, PQ丄平面ABC, PD= DB.求证:PAX. CD.【答案]见解析【解析】 因为脑为圆的直径，所^AClCB,在 RtA-45C 中，由得，ZJBC=30J 设 AD= 1,由 3AD=DB 得，D3=3? BC=W, 由余弦定理得 CD2=D52 + 5C：-2D5-5Ccos30o=3,所以 仔 +场】=召C2,即CD1A0.因为PD丄平面卫方C, CDu平面23C,所以PD丄CD,由PDCl40=D得，CD丄平面己站，又已u平面RiB?所以砂丄CD考点；余弦定理，线与面垂直的判定【解题技巧与方法总结］1・线、面垂直的证明方法(1) 定义法：利用线与面，面与面垂直的定义；(2) 定理法:利用线与面,面与面垂直的判定定理,2. 三种垂直关系的转化线线垂直线面垂直面面垂直3•面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质走理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意〃平面内的直线〃・(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面■类型四立体几何中的折叠问题【典例1】【2014高考广东卷.文.18】如图2,四W ABCD为矩形,PD丄平面ABCD ,AB = \.BC=PC = 2作如图3折叠折痕EF//DC具中点E. F分别段PD. PC上,沿EF折叠后点P段AD上的点记为M ,并且MF丄CF.⑴证明：CF丄平1!1MDF⑵求三棱锥M-CDE的体积.【答案】⑴详见解析；Q啓.16【解析】⑴证明:・・・PD 一平面ABCD, PD u平面PCD,二平面PCD 一平面■述CD, 而平面 PCD D平面 ABCD = CD} MD u 平面 ABCD} MD _CD,/.MD丄平面PCD,•・・CF丄平面PCD, /. CF丄,又CF丄A/F打0. MFu平面电DF,且=-平面 MDF、(2) CF 丄平面MDF,:. CF 丄 DF,又易知上FCD = 60 ,ZCDF = 30 ,^CF = -CD = -,2 2口刖* DE CE on DE 2 a/3 DJ7 3>/3EF//DC =——，即—^ = — r:. DE =——t PE = ,DP CP 羽 2 4 4MD = J ME，- DE? = J PE? — DE?⑨2~7~\ 7,4丿V|2…Yw-cdeS'CDEMD1 a/3 V6 V2—■ ■ I • ■ I I I3 8 2 16【考点】本题以折叠图。