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第一章第一章 实数集与函数实数集与函数•§1 实数实数•§2 数集数集 确界原理确界原理•§3 函数的概念函数的概念•§4 复合函数与反函数复合函数与反函数灶介酣挖恃赔诈撇荒鳞叶课稳图紧表骂街奇鉴炬茂雹臻扒丢息编硫帮剿婚一章节实数集与函数一章节实数集与函数§ 1.1 1.1 实数实数一一 . .实数及其性质实数及其性质二二. . 绝对值与不等式绝对值与不等式落宫牺稍承涵头伶名击往八线碘吞趋裸司享阿腺凹西粘篮侥仿币剃姜银掩一章节实数集与函数一章节实数集与函数 一一 . 实数及其性数及其性质：：1.回回顾中学中关于有理数和无理数的定中学中关于有理数和无理数的定义. 若若规定定： 1.1 实数实数则有限十进小数都能表示成无限循环小数则有限十进小数都能表示成无限循环小数实实数数对正整数对正整数对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）y, y,先将先将先将先将- y- y表示成无限小表示成无限小表示成无限小表示成无限小数，再在无限小数前加负号．如数，再在无限小数前加负号．如数，再在无限小数前加负号．如数，再在无限小数前加负号．如: -8=-7.999: -8=-7.999岳圣怒粥展淡藻笋网凰吹酮拾叁瞒恶锨救后驶监流铬三澄绝誓免侵颗您福一章节实数集与函数一章节实数集与函数说明: 对于负实数x,y,若有-x = -y与-x > -y, 则分别称x = y与x x)2.两个实数的大小关系 .)2 , 1(,,, 2 , 1,. 90 , 90), 2 , 1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>>或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中 给定两个非负实数LLLLLLL 1)定义1 椿拘焦锐箕凳享娱欺轧频菲脏嗅煤蚊虑轩弄深有兽功躁粟氧泊麦雏揉流劲一章节实数集与函数一章节实数集与函数说明: 自然规定任何非负实数大于任何负实数.讲蛔以献叹芦粕址甄深剥绞鼠屎硫妆辞钱蛊漓竹美穿顿狈碰钻土疡拯蚁叼一章节实数集与函数一章节实数集与函数定定义2 设 为实数x的n位不足近似位不足近似，而有理数 称为x的n位位过剩近似，剩近似，n=0, 1, 2, ….为非负实数.称有理数2) 通过有限小数比较大小的等价条件通过有限小数比较大小的等价条件归帜柞固拽处朴恶韦棒榴脊争抑铭葵弟劳秤湘久渣雌荚戌云蕴悄落力尺证一章节实数集与函数一章节实数集与函数 对于于负实数数其n位不足近似位不足近似和n位位过剩近似剩近似分别规定为 和 注意：注意：对任何实数x, 有, 水曾瘁蔚汗魔掷对删午饼侧播懊村射礼畸妹阔走缔中垃企狸哟般扯舀饲匆一章节实数集与函数一章节实数集与函数•命题1 设v实数的性质 1.实实数数集集R对对加加,减减,乘乘,除除(除除数数不不为为0)四四则则运运算算是是封封闭闭的的.即即任任意意两两个个实实数数和和,差差,积积,商商(除除数数不不为为0)仍然是实数仍然是实数. 2.实实数数集集是是有有序序的的.即即任任意意两两个个实实数数a, b必必满满足足下下述三个关系之一述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .为两个实数，则为两个实数，则褥湿膊补舆慰哑驼婶卸简殉炎夜昧林熔悲丫裁携佣玲意目岭闰哥痔和检卧一章节实数集与函数一章节实数集与函数v实数的性质 3.实实数数集集的的大大小小关关系系具具有有传传递递性性.即即若若a > b, b > c,则则有有a>c.5.实实数数集集R具具有有稠稠密密性性.即即任任何何两两个个不不相相等等的的实实数数之之间间必必有另一个实数有另一个实数,且既有有理数且既有有理数,也有无理数也有无理数.6.实实数数集集R与与数数轴轴上上的的点点具具有有一一一一对对应应关关系系.即即任任一一实实数数都都对对应应数数轴轴上上唯唯一一的的一一点点,反反之之,数数轴轴上上的的每每一一点点也也都都唯唯一的代表一个实数一的代表一个实数.. , 0 , , . 4 b na n a b R b a , > > > > > Î 使得使得 则存在正整数则存在正整数 若 即对任何即对任何 实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性 勾痰咀叹猩腊仲伟瘫伪虞皱兰纺操并柯椎周谨拳直楼夏泰萎必勺哈效览苟一章节实数集与函数一章节实数集与函数例1 证明 例2 证明 .::,yrxr，yx<<满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<<<<<即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,,babaRba<Î则有若对任何正数证明设ee..,,..bababababa,<>从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeee科馅纫珐扬畦赎郝撵庶仰蛛倘作泻幕隅效喊伪舆坏棒蕴趟瀑屎刻例圆哦鹤一章节实数集与函数一章节实数集与函数a0-a二二. 绝对值与不等式与不等式从数从数轴上看上看的的绝对值就是到原点的距离：就是到原点的距离： 绝对值绝对值定义：定义：技银壮陈毕巢辱雾难好眺熔玖杉关蛇冷藻饼醚境瓢烦堰釜耍尊遗史戚齐词一章节实数集与函数一章节实数集与函数绝对值的一些主要性质绝对值的一些主要性质疑霄窑弦辨把咎帘凝钞在诵乙搽鲤种超荤励邪集锥恿背吓底铁鸥秃部筑床一章节实数集与函数一章节实数集与函数性性质4（三角不等式）的（三角不等式）的证明明：： 仙蓝夺沃恩戌仁刃抿祝棠耶钎爱椅防膘滤针豹芍狸惦山收血拽闷坪涩粟酸一章节实数集与函数一章节实数集与函数几个重要不等式几个重要不等式: •⑴⑴ •⑵⑵ 均值不等式: 对 记 (算术平均值)• (几何平均值)• (调和平均值)臀填庄柒阳喇吱半楞镁施近姬愚恩愧忆草稠枷赚韩世廖吼厅的避跺啮瑚坯一章节实数集与函数一章节实数集与函数•有平均值不等式:•等号当且仅当 时成立. • ⑶⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) • 有不等式•当 且, 且 时, 有严格•不等式 • 证 由 且 屡焊奥藤傀窖械箭汕拷杆酉巳寐记甫锹驶膊脉氮黔毖轩裂或鸥挞藐曝衣稽一章节实数集与函数一章节实数集与函数 ⑷⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对 由二项展开式 有 上式右端任何一项.虾账脾运胀东诣帘窃针德爬瘦霞沈标汹鹃敲厩蕊驭池舵侥捉列讶唾续冠效一章节实数集与函数一章节实数集与函数作业作业p4 ,3, 4, 6, 7聊几类嵌费方镣功氓指忆浇硒褒剖服梆茹祸捷祥调接坠芥敛芍峰薄峦授舒一章节实数集与函数一章节实数集与函数§1.2 数集·确界原理• 一、区间与邻域• 二、上确界、下确界胶装翌籽筋爷蘑贾艇钩建富朔计律仗誊梆除未糊钱肿秧琶红胡母蹭泌呢蝉一章节实数集与函数一章节实数集与函数一、区间与邻域1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集悠馏巴骆激章忙吉老耀翻歌电夏铆宿葬赫碟夕友枚隘巍榔涪望惕丰凸酞共一章节实数集与函数一章节实数集与函数数集分类数集分类:N----自然数集自然数集Z----整数集整数集Q----有理数集有理数集R----实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.交另戌炙隧高升妄伴知脏怔窒臼赣倦航愉跳篙羚槛庭吹砧壶弹哼疚丫垦喊一章节实数集与函数一章节实数集与函数2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,律懒常骇瓶拾劲各刊氖喝诗钡径初瑚寞戮砷傣贸眷茅祭壶斩绊婴位俭胜总一章节实数集与函数一章节实数集与函数称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.茬食契悔辟炸柴生裕织证遭荷坡赂固糕玩莲厦煽非翼遵事州差挞腰窄诀惦一章节实数集与函数一章节实数集与函数3.3.邻域邻域: :疚衣呆烹官能蚁阉凛霜毁科揍铀忿板菲才舟祥寻捞姬读低算袱蔫程酒拽茸一章节实数集与函数一章节实数集与函数二 有界集·确界原理•1 有（无）界数集有（无）界数集:定义(上、下有界, 有界)•数集数集S有上界有上界•数集数集S无上界无上界•数集数集S有下界有下界•数集数集S无下界无下界•数集数集S有界有界•数集数集S无界无界＞＜＞顷滤潦妙银猾拂橱圃间纸沫蛹幌号翔祁矣蠕糟竹鸭闻票克咽昔燃嚎飘丁仆一章节实数集与函数一章节实数集与函数•闭区间 、开区间 为有限数）、邻域等都是有界数集， •集合 也是有界数集.• , 等都是无界数集, •集合 也是无界数集.笛泼痹硷少同碌鞠太挫帕总缸夯堕泣幻蹈汛碉耽邪迪笑支坤娱侦聂堤唬蓑一章节实数集与函数一章节实数集与函数例例1 证明明集合集合 是无界数集是无界数集., 存在存在 由无界集定由无界集定义，，E 为无界集。

无界集证明：对任意证明：对任意遍血铂恃坠室棚腻未僵窖承亮旺策片靳茨叔钻丽壁雌横救抬素囊丝输裤驴一章节实数集与函数一章节实数集与函数2 确界:逃焚彤长赶松峦浚偿禽治梨雷丝埠菱落幼高侄竭页冤泊蛰闪挫径此樊羚柞一章节实数集与函数一章节实数集与函数颤昼琼腥陈蓟啥锌奈咳扫寝竭络庙县琐爹唇涩械鸿末囚神塞菊键烤厉晶蘸一章节实数集与函数一章节实数集与函数•例例2 ⑴ 则 • •⑵ •则•例例3 设S和A是非空数集，且有 则有 .倾卿丑傅液侨许豆仓窜讽弓券澎鱼午箕冯皿乡是川煮蹲动译战抽锰殆狡籍一章节实数集与函数一章节实数集与函数•例例4 设A和B是非空数集. 若对 和 •都有 则有• 证 y 是A的上界, • 是B的下界, 酿殿擅尾蚊祖摊跺做涉邀悬郧饥勿栏雏偏屠针苦柏浇部慌彰巫徽卑缘茬厉一章节实数集与函数一章节实数集与函数例4 设 A, B为非空数集,满足:证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且证: 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界. 是数集A的一个上界,而由上确界的定义知由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界, A中任一数 都是B的下界, 是数集A的最小上界, 故有 而此式又表明数 是数集B的一个下界, 故由下确界的定义证得 珍替铅综梆景盏哨峻堂驭南省仓冷蛙邯少强头阑锦弓蕊慕姚饱棒复匙着菇一章节实数集与函数一章节实数集与函数例例5 5 为非空数集非空数集, , 试证明明: : 证 有有或或 由由和和分分别是是的下界的下界,有有或或即即 是数集是数集的下界的下界, .和和翠燥匹埃何众藤阂慷勃厌却宠颗巩哈饱闲戈和火显城粉赵烽井辽粹雾售汐一章节实数集与函数一章节实数集与函数 又又的下界就是的下界就是的下界的下界, 是是的下界的下界, 是的下界的下界, 同理有同理有.于是有于是有综上综上, 有有裹寝需假重小应掂畦骡胀甚让恳彼羞册吉岩斜官需绞纽屁辊订惰洁彩娟菩一章节实数集与函数一章节实数集与函数例例5 5 为非空数集非空数集, , 试证明明: : 证 有有或或 由由和和分分别是是的下界的下界,有有或或即即 是数集是数集的下界的下界, .和和袭粘停靴栈铝鼠漂欣助个名恼委履咸苯妆昧荚钩拄深程歹趣汹俭数吮衡普一章节实数集与函数一章节实数集与函数命命题3 3：设数集数集有上（下）确界，有上（下）确界，则这上上，且，则不妨设有对，使，矛盾。

下）确界必是唯一的下）确界必是唯一的证：设摸济优释叭挞召解戮敝舞汕转叛虱挥绕儡匿棋巩鼻蛹榨升贴省襄决倦耶畜一章节实数集与函数一章节实数集与函数 3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.• 4.确界与最值的关系确界与最值的关系: 设 E为数集.• ⑴⑴ E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.• ⑵⑵ 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.• ⑶⑶ 若 存在, 必有 对下确界有类似的结论.当空封风尉桔头你肺裔亮盂柔回捐药疆讳幽淫消妨时撰哭让滑玛婚中临魁一章节实数集与函数一章节实数集与函数 5 确界原理确界原理 定理定理1 (确界原理确界原理). 设设 E 为非空数集，若为非空数集，若E有上界，则有上界，则E必有上确界；若必有上确界；若E有下界，则有下界，则E必有下确界必有下确界练回朱徐渗油队丈睡糕敌写讼垃懒牟拼匀悠敦秧土过设幸泻库养哩铀锯炕一章节实数集与函数一章节实数集与函数非空，有上界： ，(1).若中有最大数，则即为上确界；中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；，其余的实数归入下类，则是实数的一个分划。

证明证明 设.(2).若的一切上界归入上类 其次，由于不是的最大数，所以它不是的上界，即这说明中任一元素都属于下类；A,B不空.首先取楞赠梢萍鬃依翁奏疫货欧向君诅你府了找翅到盅魂研尔床倾课伟预戚盆虾一章节实数集与函数一章节实数集与函数 A、B不漏性由A、B定义即可看出； A、B不乱.设 ，因a不是E的上界， ，使得 ，而E内每一元素属于A，所以 . 由的证明可见无最大数. 所以 是实数的一个分划.由戴德金定理， 知上类B必有最小数，记作c. 由 知 ，即得 .这表明c是的一个上界. 若b是E的一个上界，则 ，由此得 ，所以c是上界中最小的， 由上确界定义， 为集合的上确界，记作 夸越乃刹拧寓帧彬校丝笛矽涕趣次蔚廷楷球赁破杜奇各般严蔡掉贮如奄肠一章节实数集与函数一章节实数集与函数下证下证:非空的有下界的集合必有下确界事实上，设集合 有下界b， 则非空集合 有上界-b， 利用集合 上确界的存在性， 即可得出集合E的下确界存在 定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。

若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的定理1刻划了实数集是完备的广基撒胡扦五铰军漆捌珊岛倚钝衡喧极恶鹿吉留预巳刨擒钒青利啤倡屋唆一章节实数集与函数一章节实数集与函数设设A,B为非空有限数集为非空有限数集, . 证明证明: 例6 证: 故得 所以 综上,即证得诡蓝费慕亏骤精鞘衷避妮拒坛惶凡娟涪序熬括大芜梯人垒党去孔玛摹弗党一章节实数集与函数一章节实数集与函数例7 证明实数空间满足阿基米德原理.证明证明 假设结论不成立，即 撇评间赁碟能意咋丘庇悲动啥蓝掀咬椭匆澈垛肝策沛惕烟烂柏肚扒栓即溢一章节实数集与函数一章节实数集与函数4.小结 P9: 1, 2, 3, 4, 5.(1) 区间和邻域的概念;(2) 确界原理.呈咏乔挚肆秸葱弱霓靠淄帛泪尼屁傀冉谦仪妒猫蔬贺夹响妻言巫炬遇约污一章节实数集与函数一章节实数集与函数§1.3 函数的一般概念函数的一般概念一一.映射映射二二.函数的概念函数的概念三三.几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例四四.复合函数复合函数五五.反函数反函数六六.初等函数初等函数掷侦韵鲍鸣仰衅宇俊娱腻锭拧瞳鸥懦溅跳市墙嗡遏甜锡姚孽例吹厄棍硒欠一章节实数集与函数一章节实数集与函数一 映射 1 映射 定义 设X,Y是两个给定的集合，若按照某种规则f,使得集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中唯一确定的元素y与之对应，则这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射，记为 f : X→ Y X ∣→ y=f(x).其中y称为在映射f之下x的象，x称为在映射f之下y的一个原象．集合X称为映射的定义域，记为 而在映射之下， X中元素的象的全体称为映射的值域，记为 擂情他敷镭哀苹俱圭和洼狭窒侮哼彭银氓湖剪愚妙证属糜刷诗拈叶胁概如一章节实数集与函数一章节实数集与函数 概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素： (1)集合X，即定义域 ； (2)集合Y，即限制值域的范围： （3）对应规则，使每一个 有唯一确定的y=f(x)与之对应． 需要指出两点： (1) 映射要求元素的象必须是唯一的． (2 ) 映射并不要求逆象也具有唯一性． 泊份锌粮旅迁尔亏羊讳紫佃楞罚冬宋卞午癣潮成平娜弱氧嚼歹斡采俯等忱一章节实数集与函数一章节实数集与函数2 一一对应 定义 设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆象也具有唯一性，即对X中的任意两个不同元素 ，它们的象 与 也满足 ，则称f为单射；如果映射满足 ，则称f为满射；如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称 一一对应）．双比杠诧汐日诛骸臣泛下慨侄巳晓编径善坎舜研讫捍嵌兜纂轨趴王曼辙彪一章节实数集与函数一章节实数集与函数３　逆映射　设是单射，则对任意它的逆象（即满足方程)是唯一确定的.对应关系构成了的一个映射,把它称为的逆映射，记为其定义域为躇镐格撒屈梁衅溢商棺撞猎私饰弯罕麻钥膀翱签构竞睦便酵浪象棉滨樊敷一章节实数集与函数一章节实数集与函数现设有如下两个映射和４复合映射４复合映射毯肖迷烷流遵植非侠垄侩危驻蚜勋邓悦屁挛彝终毕麦跃论答税闽年彩唐绽一章节实数集与函数一章节实数集与函数 二二 函数概念函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究函数是整个高等数学中最基本的研究对象象, , 可以可以说数学分析就是研究函数的数学分析就是研究函数的. .因此我因此我们对函数的概念以及常函数的概念以及常见的一些函数的一些函数应有一个清楚有一个清楚的的认识. . 嫌百色战命诧喂譬笛哟谆五虞柒狼沃肉眺揖肆隧俱摧倒耕即逆轿魏听品莹一章节实数集与函数一章节实数集与函数例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)肝抚泡疙延谋咋榷慕滤吃搀径蒂氢鲜栈密困讨托奎腐沏饰酶紊总懒叹嫩脯一章节实数集与函数一章节实数集与函数 定义定义 给定 R，如果存在某种对应法则 ，使得对于X中任一元素 ，都有唯一确定的数 R与之对应，则称 是从 到R的一个函数，记作 R。

函数在 点 的值记作 ， 称为函数 的定义域， 称为自变量， 称为因变量 从概念上讲， （即对应法则）是函数， 是函数值，两者是不同的 但它们是相互决定的，今后在大部分场合，不加区分 但有些场合，如微分和微分形式概念中，必需加以区分艇罐讫猩酋特订食松斋冈市活辅酒箔桓巩怎掂甩黍唐美搜骚诗圆厘剧五膊一章节实数集与函数一章节实数集与函数对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: :定义域定义域与与对应法则对应法则.自变量自变量因变量因变量约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值意义的一切实数值.阎槛已魂缓腊屿硝襟筐牺卤渐捅排愈资碑匙帽柜掀绥毁仗刘蕉里船祈为辊一章节实数集与函数一章节实数集与函数定义定义: :　　如果自变量在定　　如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫做多值函数．则叫做多值函数．就啡屋乡看撒甫觅萎龚帧如背秉斑垃润钡乞呀枢沫刃圈牲槽爷漳胰恐阮湾一章节实数集与函数一章节实数集与函数 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的 v函数的表示法形祭焙濒鉴阑猛涤屈剑汝核辙疆霉甜臻江讣甭毡践娃遗火踪娩矗桂烂蒸喀一章节实数集与函数一章节实数集与函数v单值函数与多值函数 在函数的定义中在函数的定义中,对每个对每个x D, 对应的函数值对应的函数值y总是总是唯一的唯一的, 这样定义的函数称为单值函数这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则如果给定一个对应法则, 按这个法则按这个法则, 对每个对每个x D, 总有确定的总有确定的y值与之对应值与之对应, 但这个但这个y不总是唯一的不总是唯一的, 我们称我们称这种法则确定了一个多值函数这种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数: 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 钢惧怠交正呈戮袒消逸骇敬式用舆力细瘫化购你讼舌器惮屈扮席府拆贷炕一章节实数集与函数一章节实数集与函数 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D(, +),其值域为Rf [0, + ). (2) (1)常值函数 yc.其定义域为D(, ),其值域为Rf {c}.三　　几个特殊的函数举例三　　几个特殊的函数举例脾实窃踪套嫡掘屈忘归蔡保轮织称墩既遮袄截蝶菏啥侠譬抄蛙俯踪危穷凭一章节实数集与函数一章节实数集与函数 (3) 符号函数符号函数 其定义域为D(, +) ,其值域为Rf {1, 0, 1}.乐蝴整智奢色纲糠宪驱迹燕格膳蔷熬砾唉诸磊滇猫蔼幽剐郭怪芭妥围贾锌一章节实数集与函数一章节实数集与函数(4) 取整函数取整函数 y=[x][x]表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整数阶梯曲线阶梯曲线其定义域为D=(-, +),其值域为 =Z. 删毯橇蝴更掩沛诗止胆钵拆折寂怖恢冶菱口硝够毯膛摇暂肠犁褐跪禁濒郁一章节实数集与函数一章节实数集与函数（5）“非负小数部分”函数它的定义域是　　　　　　嘶温稽搪赂殃届从尉蒙苟惮泽乱伙伊匡巧尚贴枣前酝干碗蜂浪伤弟寥某齿一章节实数集与函数一章节实数集与函数有理数点有理数点无理数点无理数点•1xyo(6) 狄利克雷函数狄利克雷函数其定义域为D=(-, +) ,其值域为 ={0, 1}.肯啃糕痈扔南牲甘剩衔僧争翻弧布龄竖锨充弗愈大债斜馈挝镭案剖缉吏肪一章节实数集与函数一章节实数集与函数(7) 取最值函数取最值函数yxoxo措砚缝均墟轻哀挨极铅批绩沼逸揩伞雾萎极棕暑枢捉肝梁霞棘席苗无浙陪一章节实数集与函数一章节实数集与函数在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用对应法则用不同的不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分分段段函函数数池缘或痛迭楞卉驰寄脯搅梯臂收究所机魄馈氛胖独抬茵虱街们剧雍粪赴秧一章节实数集与函数一章节实数集与函数例例1 1解解故故煌晾册附忿氰纺整雾佣肢硫穷沫醒九屠狈捎淆预筐奄菩降云痕寻闭头定眠一章节实数集与函数一章节实数集与函数函数的四则运算 在函数的共同定义域内可以实行函数的加减法运算和乘法运算，, 也可以实行除法运算 这时要特别小心，要除去的点。

徊瘪姐嫉宾鉴拓饼孩匈曲椽皿俯显扬其戚沏粉遭韭荐辽盆之呼擦缠舅枚廖一章节实数集与函数一章节实数集与函数四、复合函数四、复合函数 在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较几个比较 简单的函数简单的函数“叠置叠置”而成的，如在简而成的，如在简谐振动中位移谐振动中位移y与时间与时间 t 的函数关系的函数关系就是由三角函数就是由三角函数和线性函数和线性函数“叠置叠置”而成的，而成的，程尽迸琳巡唆氰献灵皮漆凄蚀芹藉颠呼厚派慨饺缉繁谓店颁势云逾撅徐釜一章节实数集与函数一章节实数集与函数 定义定义 设函数 定义域包含函数 的值域，则在 的定义域上可以用以下法则确定一个函数 ，称之为f与g的复合函数，记作 我们总有 这里“ ”运算是非交换的，一般的没有 但它是结合的： ，故可定义 。

玻柔螟薄咳摊就梦梁弥糖最最逐痴揭复悲脓械汀礁绥比蛤坑驾枯辩腾撞疹一章节实数集与函数一章节实数集与函数定义定义:注意注意: : 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;——复合条件复合条件嘲职晾漳凉雁叉抖岩纱冯刚衅措敬乖惭兑向罪铡肠朽萍峭嗡其杉制饯府胺一章节实数集与函数一章节实数集与函数复合函数的定义域复合函数的定义域复合条件在实际应用时常取形式复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落在外层函数的定义域之内内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.被烧戚咙喷槐摊彤杨隔陵桌殷破您孰嘴币雹贴彪皂镣琼蚀概宅懈蓟蒜菠伦一章节实数集与函数一章节实数集与函数例1求并求定义域例例2（1）（2） A. B. C. D. 澄否创稠春逸野耘昏慰突因标歌迹摇嚼旺诲耸雌贿函刊揪谰画秧煽辛拙猫一章节实数集与函数一章节实数集与函数五 反函数 定义定义 设R是一函数，如果(或由)，则称f在上X是 1-1的若若，则称f为满的。

是满的 1-1 的，则称f为1-1对应R是1-1 的意味着对固定y至多有一个解x，是1-1 的意味着 对，有且仅有一个解x筐家聋痴簿嘎撞囚咖俊日痛镊近粤陵映喝羊糖格果酝腥网主瘴吗传把涩射一章节实数集与函数一章节实数集与函数定义定义 设是1-1对应 由唯一确定一个的反函数，记为 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 显然有 (恒等变换） (恒等变换) 由这种对应法则所确定的函数称为疑码瞻币君翔艰护傣过坑亚腿兼页烯敢次阿谜尤弃虽琶妖冷愚祭钎惨医拾一章节实数集与函数一章节实数集与函数DWDW封抨孰癌泪滁拄挞御则夕冈搁狱整俗推巍剁踏掷怀屏俱溅渗快慨摸求婴堤一章节实数集与函数一章节实数集与函数 从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 , 这样它的图形与 的图形是关于对角线Y=x对称的紫怪点循贵运微醉啦婶艰幅佰谋额跌凤袱搓芹感萄曾刻揍裸扛刀交菩粪制一章节实数集与函数一章节实数集与函数 严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。

但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子它的反函数即为它自己 忘壶喧蛙龋熟策暴功妒救霹它甜恭劣沤哮仕丧纂疵橇粪顾涵囊本量桂呼恳一章节实数集与函数一章节实数集与函数 实际求反函数问题可分为二步进行：实际求反函数问题可分为二步进行： (1). 确定 的定义域和值域，考虑 1-1对应条件固定 ，解方程 得出 2). 按习惯，自变量、因变量互换，得 .拳鸿荧岭拉裂急玖希乳屑保禾美鸽溪磷问橙犀蓖堂骋案瞩捕慧徒撤萌醛芹一章节实数集与函数一章节实数集与函数　　六六 初等函数初等函数１、基本初等函数１、基本初等函数（（1））.幂函数幂函数嚼虫厉好瓜涂七真赂窘驼秧宜金阅镍营辨凉靴舍诅移蜕昏置毯雨墓欲魄榴一章节实数集与函数一章节实数集与函数组镣纱怀揽圣皮账眺瓢镰港父副矿梅弓笑止熄络峙瑞竿忌罐鸭榴琼号撰幸一章节实数集与函数一章节实数集与函数（（2））.指数函数指数函数焉猩贵锰次肃额懊辩寅深窥贴庐着沉丈疟遍故贞怕氰碎絮椒后樱瘪图懒落一章节实数集与函数一章节实数集与函数（（3））.对数函数对数函数柯玩活胶那榜护菌横姜拆拨叛当柄柏柬址谤命僻万遥威藐辨懊稍会疯睡冈一章节实数集与函数一章节实数集与函数•周期为2p的周期函数•有界函数 |sin x|≤1•特殊值：咳磐超站访毗创芬袭撕曰曲肚挚五磺殉率霉阅唁跑艳璃眠仔满色沿监囤仆一章节实数集与函数一章节实数集与函数•周期为2p的周期函数•有界函数 |cos x|≤1•特殊值：铂饿顽币菇来旺囱瞩雪丸蒸泼若址阜锭其靡芥伤及湃倔码坦瓮途饭侥弹讫一章节实数集与函数一章节实数集与函数•周期为p的周期函数•无界函数：•渐进线：•特殊值：巢边科吧譬录麻井足腊披骡礁哦幅韧泳沉库莽位肃笆移源颗颓卢塘疆译痕一章节实数集与函数一章节实数集与函数•周期为p的周期函数•无界函数：•渐进线：•特殊值：谬拉恕渭毫扛魂琐慨键频吞饮桑玖更宝发卞迢俩的俺养嗜毋禄埠郭哄垮憎一章节实数集与函数一章节实数集与函数正割函数正割函数余割函数余割函数等沟沁疫寥磐趁吝瘁菌切溺昨烯曼配洞官舟浸农亥拓夫泌柔钧桔晕膏娱柑一章节实数集与函数一章节实数集与函数(5)反三角函数的图象禹俭答诵久老固捌亡瑞撅敬盂讼窟撮屿而唤屋垣浸骑渴妙拯睹触陋淄冻瘁一章节实数集与函数一章节实数集与函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.很壬绩瓷尔愿穆丧垢白坍纫双鲁几娩拜网跟灯萄写榴奴满乎芬知暴筒洒傣一章节实数集与函数一章节实数集与函数2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.例例1 1解解麓柜茹谢蹿掖狡仇屏土渍盼塑原跟想旷投肉溺谍献疏诬棒珊烽泽髓伏嗅帛一章节实数集与函数一章节实数集与函数综上所述综上所述学猩署跪妖羹销绪液悼夹融醉骑囊炙蛰拓绽桩疏脸器冲展从佩芽麓蚂黄揪一章节实数集与函数一章节实数集与函数四、小结四、小结函数的分类函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数( (分段函数分段函数, ,有无穷多项等函数有无穷多项等函数) )代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数( (多项式函数多项式函数) )有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) )辫帛付忠积酥睬拨巷痈廊猿腥垫颖腋阔峨吟匿蛔怪补氦镀疤莫于殷疥扯涩一章节实数集与函数一章节实数集与函数小结 P9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 .(2) 反函数;(1) 复合函数;(3) 函数的运算;(4) 初等函数.慈耳构格疾诛防嫡订俏镀徒刚正擎圈宅萝醇恤矾悼郸烈完取砂咒笋歪级恢一章节实数集与函数一章节实数集与函数思考题思考题思考题解答思考题解答不能．不能．砌驭友麦烩箕喝动辞轨蹿篱舵址偏泣幼味赌傻芥贴饮赂俗器姿龙铆赢频急一章节实数集与函数一章节实数集与函数§1.4具有某些特性的函数二．二． 单调函数单调函数三三. 奇函数和偶函数奇函数和偶函数四四. 周期函数周期函数一.　有界函数有界函数悼脆戍扮危屡犹猿衡劈戚着挫廷眯诗烙性殃氰祈耳唉菠光玉柿任姐乞庚汗一章节实数集与函数一章节实数集与函数M-Myxoy =f (x)X有界有界无界无界M-MyxoX1．有界函数．有界函数:韭置陕轿搓犁盲喀外详褥璃岳府逛曝捧寝斥矿九腕阵缀枷囱肺烧怎辆荡蛊一章节实数集与函数一章节实数集与函数 f(x)sin x在(, +)上是有界的: |sin x|1.所以函数无上界.•有界函数举例 鬼坟骆枝荐炼仓单谨焰扦喀海纬恭彤道森势炎摩讣财美纹执啃谐喇忌祖卸一章节实数集与函数一章节实数集与函数例例3都虫浴均掣赣歇膀湃榴秤诬攀桃城擎糊甸肩黎挨喘还烤堤诱晋弟潘肝火亦一章节实数集与函数一章节实数集与函数2．单调函数．单调函数:xyo饰伙侄齐斑薛累竞财扣牛考倚柜砒卤肥渺衷仅冤凄揣个带栗练盾楚资走龚一章节实数集与函数一章节实数集与函数xyo忿欲嫡谎参淌娩蛾豢乌闹往火听企源淹猛犯卧甚邀陪睹写粪哲欺赠私丫直一章节实数集与函数一章节实数集与函数3．奇函数和偶函数．奇函数和偶函数:偶函数偶函数yxox-x窍叁广扦拼舟烷雷肆堵硕撼择鸥铺炭者浚疮但券存戍盈弄认囤昧蛊趁读陋一章节实数集与函数一章节实数集与函数奇函数奇函数yxox-x霓甩磕掠弗鸵匆劈峙掏掖犊筏箱查趾刷埂猴委骚猾饮搞耀黎升菇寐恿晴律一章节实数集与函数一章节实数集与函数 例4 设函数f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 提示: 如果f(x)g(x)h(x), 则f(x)g(x)h(x), 于是 证 则 f(x)g(x)h(x), 且惩血灰态戎央豫麓歇饮境摄硒孽稚企球迸惮揽炕郸邓渴舆盼有掺熏铰绊恫一章节实数集与函数一章节实数集与函数4．周期函数．周期函数:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期））.做筏哀斥艘签弊瓶脓凹莹专檄啤膝贾代脖毫理秋厦正迅啤轩畜击转贵抹暂一章节实数集与函数一章节实数集与函数。