2023年考研数学(二)真题及答案详解.pdf

2023年全国硕士探讨生入学统一考试数学(二)试题解析一、选择题:1 8 小题,每小题4 分，共 32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在写理纸指定位置上.(1)下列反常积分收敛的是()【答案】(D)【解析】J dx=-(x+l)ex 则 ；公=一(+1)=3 e -lim Q+l)*=3 一2.x2 函 数/(8)=叫(1+-”在(-8,+0 0)内()(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳动间断点(D)有无穷间断点【答案】(B)xSin t x2 s in rflim-【解析】.f(x)=:呻(1 +-)-e x -ex,X HO,故/(X)有可去间断点X=O.x co s -3,x 0设函数尤，(=0,万0),若/0在尢=0处连续则：()0,x 0（B）0 a-2（D）0cr-/72【答案】(A)【解析】x 0+1xc ov龙0时，f（x=axa co s-+（-l）xQ，=axa co s工 +s in 3xf/(x)在x=0处连续则：()=1些xa T co s J=0得0 1 0尸(0)=1呼 r(x)=limaxa co s+/3xap s in 二xp xp=0得：-/7-l 0,答案选择A(4)设函数/(X)在(-0 0,4 8)内连续，其中二阶导数/(x)的图形如图所示，则曲线 =/(无)的 拐 点 的 个 数 为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】(C)【解析】依据图像视察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5)设函数“力)满意9，贝1/“二；与 “T依 次 是()加V=11 八 cl 1 ,、八 1(A)2，()(B)0,(C)-,0 (D)0,-【答案】)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.人y rt.l WV令=x+y,u =,WiJx=-,y=-X 1 +V 1 +V从而/(x+y,)=x2-/变为xuv)w2(l-v).,df 2 w(l-v)-=-.故 二T =-1 +v j 1 +v du 1 +vdf 2u25 v -(l+v)2因 而 九=噜:广 彳 故 选 )(6)设。

是第一象限由曲线2移=1,4孙=1与直线y=x,y=氐围成的平面区域，函数 x,y)在上连续，则JJ7(x,y)公 力=()DK1(A),，卜 喂 /(rco s e/s in O dr4 2sin20(B)可 号 /(rco s e,rs in e)rdr4 x/2 s in 2K 1(C)f(rco s 0,rs in 0 y1 r4 2 s in 2 6(D)j J d j J s i?y r C0SOrsmOyir4&s in 2 8【答案】（B）【解析】依据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为，呜“隹，痴1谖 /（7）设矩阵A =a,bd.若集合1,2,则线性方程组A x =6 有无穷多u4吃d2)解的充分必要条件为（)(A)aC l,d 纪B)(C)a e Q,d e Q(D)a wd e C【答案】（D）、【解析】（A,b）aa21dd2 10,01a-(a-l)(tz-2)1d-(J-W-2)111124171107由/(A)=r(A 份 f+达+M【答案】(A)解析由 x=fy,故/=xTA x-yT(P1 A P)y=2 y；+y；-.2 0 0、且 P AP=0 10.W o -I,1 0 0、由己知可得。

P 0 0 1 =PC、0 -1 0,2 0 0、故 Q 7AQ =C T(P AP)C=0-10、0 0 所 以/=，土 =:/(0 7 0*=2才一；+4.选(A)二、填空题：9 1 4小题,每小题4分，共2 4分.请将答案写在答)粤纲指定位置上.x =a rc ta n t 则屋术【答案】4 8(1 +产)2(1 0)函数/(x)=Y 2 在龙=0处的阶导数/(0)=【答案】(l)(ln 2)i【解析】依据莱布尼茨公式得：兴(0)=第2(2 广)=(nZl)2/ln 2 广2 =(_)(加 2 广2 7%=o 2(1 1)设/(x)连续，夕(x)=若0(1)=1,0 (1)=5,则/(1)=【答案】2【解析】已知9(X)=X/(M，求导得”(x)=力+2 x (d),故有J 0 J0奴 1)=f(t)dt=1,(1)=1 +2/(1)=5,则/=2.(1 2)设函数y =y(x)是微分方程y +y -2 y =0的解，且在x =0处 y (x)取得极值3,则y(x)=.【答案】e2x+2ex【解析】由题意知：y(o)=3,y (0)=0,由特征方程：?+几一2 =0 解得4 =,%=一2所以微分方程的通解为：y =G e +G 2 代入y(O)=3,y (0)=0解得：C,=2 C2=l解得：y=2ex+e-2x(1 3)若函数Z =z(x,y)由方程*22+盯z =l确定，则dz(o,o)=【答案】一:(d r+2 d)，)【解析】当x =0,y =()时 z =0,则对该式两边求偏导可得(3/+2+3Z+孙)在 =_/+2+3Zdx(3 6 抖2，+3?+孙)生=一 立 2 e，+2+3 z 将(0,0,0)点值代入即有Sydz _ 1 dz _ 2瓦(0,0)一 了 由(0,0)一一31 2 1则可得加 1(0 0)办=-(d x +2 d y).(1 4)若3 阶矩阵A 的特征值为2,-2,1,8 =A 2 A +E，其中E 为3阶单位阵，则行列式忸【答案】2 1【解析】A 的全部特征值为2,一 2,1.6的全部特征值为3,7,1.所以|B|=3 x 7x l=2 1.三、解答题：15 23小题，共 94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本 题 满 分10分)设函数 f(x)=x+an(l+x)+hxsinx,g(x)=Q.若/(龙)与 g(x)在x 0时是等价无穷小，求。

次 的值.【答案】a=-,k=-,b =-3 2【解析】方法一：1 2%3 冗3因 为 ln(l+x)=x H +,sin x=x +o(x),那么,1f(x)x+aln(l+x)+0 xsinx=hm-g-KTg(x)Ikx(1+(i)x+S)厂 x，+)lim-_ _ 3-2k)c方法二：由题意得1 +Q =0a=-可得：b _ q=o,所以，2h=-=11 3kk=-1 Q 7 .,t(x)、x+,l1 n(l+x)+,/入?x-si nx 1 +-i-+Osinx+/ucosx_L Rhm=hm-=lim-1g(x)1kx 13kx由分母lim 3Ad=0,得分子lim(l+，一+sinx+xcosx)=lim(l+a)=0,求得 c；x-0 X TO 1 +X x-0rz x 1-+Z?sinx+/?xcosx于是 勤缁第1.x+/?(l+x)sin x+/?x(l+x)cosx=lim-D 3Z；r(l+x)1.x+/?(l+x)sinx+/?x(l+x)cosx=lim-；-r-o 3kx lim l+sinx+h(l+x)cosx+b(l+%)cosx+bxcosx-bx(l+x)sinx.v-06kx由分母lim6&x=0,得分子xfOlimU+/?sinx+2(l+x)cosx+/zxcosx-x(l+x)sinx=lim(14-2Z?cosx)=0，x-0 x-0求得。

一4；2进一步，b值代入原式口、1-sinx-(l+x)cosx-xcosx+-x(l+x)sinx1 =lim-=lim -gW6kx-cosx-cosx+(1+x)sinx-cosx+xsinx+(l+x)sinx+xsinx+x(l+x)cosx=lim-s 06k_ 1=，求得上=.6k 3(16)(本题满分10分)TT n设AO,D是由曲线段y=Asinx(0Wx 0,/(0,1)=-1 为微小值.(1 8)(本题满分1 0分)计算二重积分 JJx(x+yM猊 f y,其中 =(%,y)，+,2%2|D 答案-4 5【解析】j j x(x+y)dxdy=j j x2dxdyD D=2X2(2-X2-x2)dxJo-1 /-2 9=2 x2 2-x2dx =2(42 si n2z2 c o s2tdt Jo 5 J5=2(r工4 si n-.2tdt2u=2 t rf-2 si n*-udu 2=7-T-2-.J5 Jo 5 4 5(1 9)(本 题 满 分1 1分)己知函数求x)零点的个数?【答案】2个【解析】fx)=-V 1 +X2+2 x7 1+7-=Jl +d(2 x-1)令/(X)=O,得驻点为=：,在(-8，)，/(X)单调递减，在(1,+0 0),/(%)单调递增故/(g)为唯一的微小值,也是最小值.而/(-)=J：yll+t2dt+j4 Jl+tdt=J jl+t2dt-J：J +tdt2 5 1 2 42 2 4在八2Jl+t，故 I Jl+t2 dt-J Jl +tdt 02 2从而有/(g)-+0),介质温度为m，则dx-=-k(x-ni),从而x(f)=C e*+m,dtx(0)=1 2 0,机=2 0,所以C =1 0 0,即直/)=1 0 0 -+2 0又x(；)=3 0,所以A:=2 1 n l 0,所以x(f)=历，+2 0当x=2 1时，1=1,所以还须要冷却3 0 m i n.(2 1)(本题满分1 0分)已知函数“X)在区间 a,+8 上具有2阶导数，a)=0,/(x)0,/(x)0,设b a,曲线y =/(x)在点伍,/(与)处的切线与x轴的交点是(玉)，0)，证明a x0 0所以/(x)单调递增，又因为/(a)=0所以/(b)(),又因为/(/?)()所 以 =方 一 半 ()所以/(x)单调递增所 以(。

)/e)所以即所/(1)求4的值;(H)由题意知（2）若矩阵 X 满意 x MVAX+AXA-E七为3阶单位阵，求X【答案】(2 o-Pa=0,X=-1 1 -1J 1 -L【解析】a 1 0 01 0A3=0 =|A|=O=1 a-1 =-cra-1 =a3=0=a=00 1 a-a1aX-X A?-AX +AX 4?=En X（E-A2）-A X（E-4）=E（E-A）X（E-A2）=E=X=（E-A）（E-A2y=（E-A2）（E-A=X=（E-A2-A）o-i rE-A1-A=-1 1 1、一1 T 2,-1 I M 0 （11 M 1 0 f 0 0-1、T-1 -I M -1-1 1 M 0-1 2M 00、0-1 2 M 0 1 J 1-1b 1-1-I M）-1 0、q-i-I M）-1 0、-01-1 M 10 0-0 i-I M-1 0 0、0-21 M）-1b、o0-1 M 2-1L 1 -1 0 M 0 -P1 0 O M 1-2、-0 1 O M 1 -10 1 O M 1 -1k0 0 I M 1 -1?k0 0 I M 1 -I,，3X=131 -2、1 -11 -b(2 3)(本题满分11分)，0 2-3、1 -2 0、设矩阵A=-1 3 -3相像于矩阵B=0 Z?0、1 -2 a）、0 3 1,(1)求的值;(2)求可逆矩阵P，使p-B P为对角阵.【答案】(1)a=4,8 =5；(2)P2 -3 -r1 0 -1、0 1【解析】A 8=(A)=，r(8)=3 +a=l +l(I D A0 2-1 31 -20M=1 8|n TIa-b=-12ab=3-3-33、70,00100、0b+22-2-3-33E+C7C-1 2 -3-1 2 -31 -2 37一、-1 (1 -2 3)J。

的特征值4 =4=0,4=4%=0 时(0 E-C)x =0 的基础解系为 =(2,1,0 尸;或=(-3,0,1)4 =5 时(4 E C)x =0的基础解系为4=(一 1,T,1)A 的特征值%=1 +4：1,1,5令 尸=（1,0-3 -P0 -1。