常系数线性微分方程的解法.ppt

§ 4.2 常系数线性微分方程的解法Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE1§ 4.1内容回顾 解的性质与结构方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组♣ n 阶齐次线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间 § 4.1General Theory of Higher-Order Linear ODE2本节要求/Requirements/ 熟练掌握常系数齐次线性方程的求解方法 熟练掌握常系数非齐次线性方程的求解方法 熟练掌握欧拉方程的求解方法3非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构通解与自身的一个特解之和齐线性方程的通解可由其基本解组线性表示非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基解组表示关键 常数变 易法§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE44.2.1 复值函数与复值解/Complex Function and Complex Solution/一 定义极限连续导数§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE5易验证如§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE6二 关于定义表示§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE7的性质1）2）3）结论l实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式一致。

l实变量的复指数函数的求导公式与实变量的实指数函数的性质一致§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE8三 线性方程的复值解/Complex Solution of Linear Higher-Order ODE如果定义在上的实变量的复值函数满足方程为方程的一个复值解则称如果方程4.2中所有系数都是实值实值 函数，而是方程的复数解，的实实部，虚部和共轭轭复数函数也是方程4.2的解 定理8则§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE9定理9 若方程有复数解,这这里及都是实实函数那么这这个解的实实部和虚部 分别别是方 程和的解§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE104.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 /Coefficient Linear Homogenous Higher-Order ODE And Euler Equation/…….(4.19)为为常数其中为了求方程(4.19)的通解，只需求出它的基本解组。

n 阶常系数齐次线性方程…….(4.21)满足结论：是方程(4.19)的解的充要条件满足特征方程特征根§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE11下面根据特征根的不同情况分别进行讨论 1)特征根为单为单 根的情况是特征方程（4.21）的n个互不相等的根，设则相应的方程（4.19）有如下n个解这这n个解在区间间的基本解组组事实实上，上线性无关，从而组成方程§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE12是方程的基本解组组方程4.19的通解可表示为范德蒙(Vandermonde) 行列式§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE13如果特征方程有复根，则则因方程的系数是实实常数复根将成对共轭的出现，设方程的一个特征根也是一个特征根则方程（4.19）有两个复值解对应两个实值解§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE14例1求方程的通解。

解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE15例2求方程的通解解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE162) 特征根有重根的情况是特征方程（4.21）的m个互不相等的根设…….(4.19)…….(4.21)为其重数I.设是 k1 重特征根§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE17显然是方程的 k1 个线性无关的解，特征方程(4.21)有 k1 重零特征根则微分方程(4.19)恰有 k1 个线性无关的解II.设是 k1 重特征根令…….(4.19)§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE18…….(4.23)特征方程§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE19(4.19)的 k1重特征根(4.23)的 k1 重特征根零§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE20方程(4.23)恰有 k1 个线性无关的解由方程(4.19)恰有 k1 个线性无关的解类似地基本解组(4.26)§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE21证明 假若这些函数线性相关，则存在不全为零的数 使得(4.27)假定多项式至少有一个系数不为零，则不恒为零，将恒等式（4.27）除以 ，得再微分 k1 次§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE22不恒为零，不恒为零，矛盾！中函数线性无关，其构成的解本解组。

4.26)§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE将恒等式（4.28）除以，再微分 k2 次，…23方程的一个 重特征根也是一个 重特征根它们对应2 个线性无关的实解是§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE24归纳：n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根 微分方程通解中对应的项 实单根 给出一项： 一对共轭复根 给出两项 ： 重实根 给出 项 ： 一对 重复根 给出 项：25例3求方程的通解解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE26例4求方程的通解解第一步：求特征根第二步：求出基本解组第三步：写出通解二重根§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE27作业： P.164，第2(1)， (2)，(3)，(4)题§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE28可化为常系数线性方程的方程-------欧拉(Euler) 方程 为为常数。

其中引入自变量代换§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE29假设自然数 m 有以下关系式成立，§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE30对一切自然数 m 均有以下关系是成立，原方程可化为常系数线性方程 § 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE31欧拉方程常系数线性方程确定求解欧拉方程的过程设是欧拉方程的解§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE32解齐次欧拉方程的步骤第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出的基本解组先求出变换以后方程的基本解组再求出原方程的基本解组第三步：写出原方程的通解§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE33例5求方程的通解解第三步：写出通解第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解组§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE34例6求方程的通解。

解第三步：写出通解第一步：写出特征方程，并求特征根第二步：求出基本解组作业： P.164，第3(1)---(4)§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE35。