直角三角形的判定上课.ppt

直直角角三三角角形形的的判判定定14.1.2 14.1.2 1.直角三角形有直角三角形有哪哪些性质？些性质？ (1)有一个角是直角；有一个角是直角； (2)两个锐角两个锐角互余互余 ；； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方 . 复习回顾复习回顾角：角：边：边：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)你想知道这是什么道理吗?据说据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：古埃及人曾用下面的方法画直角： 他们用他们用13个等距离的结把一根绳个等距离的结把一根绳子分成等长的子分成等长的12段，一个工匠同时握段，一个工匠同时握住绳子的第住绳子的第1个结和第个结和第13个结，两个个结，两个助手分别握住第助手分别握住第4个结和第个结和第8个结，拉个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第其直角在第4个结处个结处.你知道吗你知道吗(1)有有一个角是直角一个角是直角的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形； (2)有有两个角互余两个角互余的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形. 3.如果一个三角形的三边如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足满足a2 +b 2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形吗那么这个三角形是直角三角形吗?2.一个三角形满足什么条件才能是直角三角形一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?想一想想一想???动动手手画画一一画画 探究探究1 分别以下列各组数据为三分别以下列各组数据为三角形的边长，画出三角形角形的边长，画出三角形.（单位：（单位：cm））（（1）） a＝＝6，， b＝＝8，， c＝＝10；；（（2）） a＝＝5，， b＝＝12，， c＝＝13（（3）） a＝＝4，， b＝＝6，， c＝＝8；；（（4）） a＝＝6，， b＝＝7，， c＝＝8．．观察并说说三角形的形状观察并说说三角形的形状.C CN NB BA A6 68 81010C CN NB BA A5 512121313（（1）） a＝＝6，， b＝＝8，， c＝＝10（（2）） a＝＝5，， b＝＝12，， c＝＝13C CN NB BA A4 46 68 8C CN NB BA A6 68 87 7（（3）） a＝＝4，， b＝＝6，， c＝＝8；；（（4）） a＝＝6，， b＝＝7，， c＝＝8（（1）） a＝＝6，， b＝＝8，， c＝＝10；；（（2）） a＝＝5，， b＝＝12，， c＝＝13（（3）） a＝＝4，， b＝＝6，， c＝＝8；；（（4）） a＝＝6，， b＝＝7，， c＝＝8．．直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形不是直角三角形不是直角三角形不是直角三角形不是直角三角形（（1））∵∵62+82=100，，（（2））∵∵52+122=169，，（（3））∵∵42+62=52，，（（4））∵∵62+72=85，，102=100，，∴∴62+82=102132=169，，∴∴52+122=132∴∴42+62≠13282=64，，∴∴62+72≠8282=64，，由以上例子由以上例子,我们猜想我们猜想: 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,ca,b,c满足满足 ，那么这个三，那么这个三角形是直角三角形角形是直角三角形. . 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,ca,b,c满足满足那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. .几何表述语言：几何表述语言：∵∵△△ABCABC的三边的三边长长a,b,ca,b,c满足满足∴△∴△ABCABC是直角三角形，且是直角三角形，且∠∠C=90C=90°°. .cabBCA 探究探究2 证明命题证明命题2 已知：在已知：在△△ABCABC中，中，BC=aBC=a，，AC=bAC=b，，AB=cAB=c，且，且a a2 2+b+b2 2=c=c2 2, ,求证：求证：∠C=90°cabBCAC′abB′A′②②在该角的两直角边上在该角的两直角边上分别截取分别截取a,b；；分析：分析：①①作一个直角作一个直角;④④证明证明△△ABCABC≌ ≌ △A′B′C′.△A′B′C′.( (可推出可推出∠∠C=∠C′=90C=∠C′=90°) )③③作作△△A′B′C′A′B′C′且且∠∠C′=90C′=90°°; ;证明：作△△A′B′C′，使，使∠∠C′=90°，，A′C′=b, B′C′=a逆命题逆命题 如果直角三角形的如果直角三角形的两直角边长分别为两直角边长分别为a a、、b,b,斜边长为斜边长为c,c,那么那么 如果三角形的三边如果三角形的三边长长a,b,ca,b,c满足满足 那么这个三角形是直角那么这个三角形是直角三角形三角形. .互逆互逆命题命题1命题命题2题设：题设：结论结论:题设：题设：结论结论:直角三角形的直角三角形的两直角边长为两直角边长为a、、b,斜边长为斜边长为c.三角形的三边长三角形的三边长a,b,c满足满足这个三角形是这个三角形是直角三角形直角三角形.勾股定理勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理（以形得数）（以形得数）（以数得形）（以数得形）数数 形形 结结 合合应用举例应用举例 分分析析：：根根据据勾勾股股定定理理的的逆逆定定理理, 判判断断一一个个三三角角形形是是不不是是直直角角三三角角形形, 先先确确定定最最长长边边，，再再验验证证两两条条较较短短边边的的平平方方和和是是否否等等于于最最长长边边的的平方即可平方即可.【例1】判断由下列三条线段组成的三角形是不是直角三角形?若是，指出哪一条边所对的角是直角。

(1) 15，17，8; (2) 13，15，14 解:(1)最长边为17 ∵152+82=225+64 =289，172 =289， ∴152+82= 172 ∴以15, 17, 8为边长的三角形是直角三角形.∴17这条边所对的角是直角 ∵132+142=169+196= 365， ∴132+142≠152 ∴以13, 15, 14为边长的三角形 不是直角三角形. 解:(2)最长边为15152 =225，原来如此原来如此(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)ABC“古埃及人画直角古埃及人画直角”的理的理论根据根据.解：解：如如图，，设每两个每两个结的距离的距离为a（（a>0），），.则AC=3a，，BC=4a，，AB=5a ∴△ABC是是 直角三角形直角三角形∵AC2+BC2AB2∴AC2+BC2=AB2=(3a)2+(4a)2=25a2=(5a)2=25a2例例4、、如果如果△ △ABC中，中，AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n是正整数是正整数,n>1,)试问试问△ △ABC是直角三角形是直角三角形吗？若吗？若是，哪一条边所对的角是直角？说明理由是，哪一条边所对的角是直角？说明理由【【分析分析】】先找到最长边，再验证三边先找到最长边，再验证三边是否符合勾股定理的逆定理是否符合勾股定理的逆定理. 【【练习练习】】如果一个三角形的三边长分别为如果一个三角形的三边长分别为m m2 2-n-n2 2，，2mn2mn，，m m2 2+n+n2 2（（m>n)m>n)，证明这个三角形是直角三角形，证明这个三角形是直角三角形. .【【分析分析】】先找到最长边，再验证三边先找到最长边，再验证三边是否符合勾股定理的逆定理是否符合勾股定理的逆定理.  例例2、、已已知知：：如如图图，，四四边边形形ABCD中中，，∠∠B＝＝900，，AB＝＝3，，BC＝＝4，，CD＝＝12，，AD＝＝13,求求四边形四边形ABCD的面积的面积.ABCD3412135∟典例剖析典例剖析勾股勾股勾股勾股定理定理定理定理：：：： 勾股定理的逆勾股定理的逆勾股定理的逆勾股定理的逆定理定理定理定理：：：：（以形得数）（以形得数）（以数得形）（以数得形） 如果三角形的三边如果三角形的三边长长a,b,ca,b,c满足满足 那么这个三角形是直角那么这个三角形是直角三角形三角形. .互逆互逆勾股定理勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果直角三角形的如果直角三角形的两直角边长分别为两直角边长分别为a a、、b,b,斜边长为斜边长为c,c,那么那么 在已知三角形是在已知三角形是在已知三角形是在已知三角形是直直直直角三角角三角角三角角三角形形形形的前提下，的前提下，的前提下，的前提下，已已已已知知知知两边求两边求两边求两边求第三边第三边第三边第三边. . 已已已已知一个三角形的三边知一个三角形的三边知一个三角形的三边知一个三角形的三边长，长，长，长，判断判断判断判断这这这这个三角形个三角形个三角形个三角形是否为是否为是否为是否为直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形. .(2) a＝＝5, b ＝＝12 , c＝＝13;(3) a＝＝8 , b ＝＝15, c＝＝17；； 能够成为直角三角形三条边长的正能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为整数，称为勾股数勾股数.(1) a＝＝3, b ＝＝4 , c＝＝5;常见的勾股数：常见的勾股数：（（3，，4，，5）、（）、（5，，12，，13）、）、（（6，，8，，10）、（）、（7，，24，，25））（（8，，15，，17）、（）、（9，，12，，15））（（9，，40，，41））勾股数：勾股数：P P114114 3 3、想一想，你现在有多少种方法可以判定一个、想一想，你现在有多少种方法可以判定一个三角形是直角三角形？三角形是直角三角形？①①有有一个角是直角一个角是直角的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形； ②②有有两个角互余两个角互余的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形； ③③勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理.  1、满足下列条件、满足下列条件△△ABC, 不是直角三不是直角三角形的是角形的是 ( ) A、、a=1、、b=2、、c= B、、a:b:c=3:4:5 C、、∠∠C=∠∠B - ∠∠A D、、∠∠A:∠∠B :∠∠C =3:4:5DA、、锐角三角形锐角三角形 B、、直角三角形直角三角形C、、钝角三角形钝角三角形 D、、等边三角形等边三角形B。