浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用【精品资料】.doc
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浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性 方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础而行列式的计算具有一定的规律性和技 巧性Vandennonde行列式是一，类很重耍的行列式本文系统的阐述了 Vaiidennoiide 行列式的相关性质及其应用，通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何 利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了 Vemdermoiide 行列式在科研和实践生活中如何更好的应用关键字：彳亍列式；Vandermonde行列式；Vsndennonde第一章 引言 1第二章 预备知识 22. 1 定义 22. 2 行列式的性质 22. 3 行列式计算中的几种基本方法 32.3. 1 三角形法 32.3.2 加边法或升级法 42.3.3 递推法或数学归纳法 5第三章 彳亍列式的一种特殊类型Vandennonde彳亍列式 63. 1 Vandermonde彳亍歹1J式的证法 63. 2 Vandermonde行列式的性质 73.2.1 推广的性质定理⑺：行列式 73. 2. 2 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件・・・93. 2. 3 Vandermonde彳亍列式的偏导数凶 93. 3 Vandermonde 列式的翻转与变形 113. 4 Vandermonde tj*列式的应用 12第四章 小结 17第五章 参考文献 18第六章 谢 辞 19引言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方 程组及其解法。
但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个 未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等 为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和 口本数学家关孝和分别发明了行列式经过一段吋间的发展，法国数学家范徳 蒙(A-T・ Vandennonde, 1735-1796)对行列式理论做岀连贯的逻辑的阐述，即 把行列式理论与线性方程组求解相分离后来又经过许多大数学家的不断发展 完善，如柯西、詹姆士 •西尔维斯特(J. Sylvester, 1814T 894)、雅可比 (J. Jacobi, 1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用⑴美国 当代数学家Bernard Koi man对行列式又做了进一步的解析与应用⑵数学家 Chongying Dong, Fu-an Li等人在Vandermonde彳亍列式方面的最新研究也被收 录至 lj Recent Developments in Al gebra and Rel a ted Areas~~书中⑶本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式Vandermonde行列式的相关性质及其应用。
2预备知识为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必 要回顾一下行列式的相关知识2.1定义1行列式是由“2个元素（数）叫（门二1,2, ・・・，〃）排成n^n列并写成知如？ … aina2i a22 …a2n• • •• • •• • •anl an2 …ann仃）的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：%1 每项是斤个元素的乘积，这比个元素是从（1）中每行取一个元素、每列 取一个元素组成的，可记6斛2化…％.为，式中卩，〃2,…，几是1, 2, •••, n的一个 排列1 每项%%•••%应带正号或负号，以1,2,…，77的顺序为标准来比较排 列（刃丿2,…，几）的逆序数是偶或奇而决定例如三阶行列式中的项6Z12a23a3I排 列（231）有2个逆序，即2在1之前，3在1Z前，所以6z12236z31应带正号；而 02^2033中（213）的逆序为1,因为这时只有2在1Z前，所以应带负号2.2行列式的性质⑷性质1行列式与它的转置行列式相等性质2交换行列式的两行（列），行列式改变符号性质3如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0性质4把一个行列式的某一行（列）的所有元索同乘以某一个数等于以数 乘这个行列式。
性质5 —个行列式中一行（列）所有元索的公因子可以提到行列式符号的外 边性质6如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0,那么这个行列式等 于0性质7如果一个行列式有两行（列）的对应元索成比例，那么这个行列式等 于0性质8设行列式D的第i行元素都可以表示成a\\ a\2 a\nD — % +5 切 2 +仑2 •• % + cin• •• ••• ••• •••Cln\ an2 … %那么D等于两个行列式—与—的和，其中S的第甘亍元素是乞，勺2,…饥，的 第i行元素是S，c,2,…5，而与D?的其他各行都和D的一样同样的性质 对于列来说也成立性质9把行列式的某一行（列）的元索乘以同一个数后加到另一行（列）的对 应元素上，行列式不变2.3行列式计算小的几种基本方法2.3. 1三角形法就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行 列式，rfO （下）三角形行列式的值即为其主对角线丄所有元素的乘积例1计算〃级行列式 x a aa x aDn = a a x• •• ••• •••a a aaa a• • •分析 该行列式具有各行（列）元索之和相等的特点•可将第2,3,…/列（行）列（行）的元索相等,再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式.都加到第一列（行）（或第1,2,..., n-\列（行）加到第刃列（行）），则第1（或/7）x + (n - 1)6Z ...a ax + (n - V)a a ... aD产x + (n -l)a x• • • • • •… a• • • • • •—x-a• • •x + (n -l)a ci… Xx-a=+ (介 一 l)a](兀-2. 3. 2加边法或升级法例2计算〃级行列式axbh… bba2b...bbba3… b• • •b• • •b• • •b• • • • • •…an2(b H a「i = 1,2,…，n)分析 该行列式的各行（列）含有共同的元索b,b,…,b可在保持原行列式值不 变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（或 列）的元索，使得下一步化简后出现大量的零元索. 1bb...b1bh• • •b0a\h… b-1 a、_ b0• • •00■■b■■a2•■… b••=-1 0• •• •a2-b■■• • •0••■0■b■b■…an• •-1 0■0■…alf -b+ -hJbb• • •bD”升级aA-bJ-bci、_ ba2-b[1+送/=!J—b ］（q 一b）（a -"）•••（% 一b） -b2.3.3递推法或数学归纳法例3计算刃级行列式分析2 -1-1 20 -1Dn = • •0-12对于三对角或次三对角行列式,0 00 00 0• •• •• •2 -1-I 2按其第1行（列）或第并行（列）展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解.解-1-10 …0002] • • •00D”按第1行展开20- +（-严0■■•一 1■■•2 …■■■0••■0■■■= 2D“_D”2000 …2-1000 …_12 直接递推不易得到结果（按低级是可以的），变形得Dn = Dn_} +1 = Dn_2 4-2 = -- - = D1+（n-l） = 2 + （/?-l） = n + l.3行列式的一种特殊类型 Vandermonde行列式定义2我们把型如二n⑺厂勺）j
根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有1 …11— % …an-\ ~a\d" 一 a\• • • • • •a； — a〕)…H 2a；〜(a — a〕)…• • •C) a；：［(a“_| -⑷)• • •0 匕二• • •00…%!•• • • • • •“ 3a；，(a — 6/|)…• • • 曲％ W J• • •a”(d“一di)a； —①）…一⑷）丿_2 / j_%)（按行列式首项展开得到） 11...11a3…盼J=(2 一吗)…-4)(% -4) •• • •• • •• • • • • •• • •(2)a?…an-\an小"一2 a?小"-2a3n-2…小"一2an注意到行列式（2）是宛-1阶Vandermonde fT列式匕『 即已经将匕用匕一|表示出来重复用丄述方法对匕"进行求解，经过有限步可以得到：K-l=（ （2一4）…（d“_| -d］）（G“ 一⑷））* （（2）・・・（2））・・・（色 一 ％—］）=11 a—cij 即证1< j 方法一与方法二的实质与算法是一致的，可以说是同一种方法3. 2 Vandermonde行列式的性质3.2. 1推广的性质定理行列式11… 1XAv…暫0X；*…兀• • •• • •• • • • • •… 6%2+l… A/r• • •xl• • •X40V• • • • • •...X；岭+i]二 zP\ Pl—Pn-k“ >V (k=0, 1, 2-n-l),rn-k其J1 P^P2-Pn-k是1,2,…几中（n-k 。
