2019年上海卷数学高考真题(精校版).pdf

1 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数 学 一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1 （4 分）已知集合，2，3，4，5，则 2 （4 分）计算 3 （4 分）不等式的解集为 4 （4 分）函数的反函数为 5 （4 分）设为虚数单位，则的值为 6 （4 分）已知，当方程有无穷多解时，的值为 7 （5 分）在的展开式中，常数项等于 8 （5 分）在中，且，则 9 （5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4 人参加连续5 天的志愿者活动，其中甲连续 参加 2 天，其他人各参加1 天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示） 10 （5 分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交 于点，当最小时，则的值为 11 （5 分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹 角范围为 12 （5 分）已知集合，存在正数，使得对任意，都有， 则的值是 1A53B6AB 2 2 231 lim 41 n nn nn |1|5x 2 ( )(0)f xxx i 365zii|z 2 221 4 xy xa ya a 61 ()x x ABC3AC3sin2sinAB 1 cos 4 CAB OABC(1)OAa a 2 3yxBCP 1 2 yxAB Q|AQCPa 22 1 42 xy PQPx121F P F P,1F P2F Q At14tt9t0AaAA a t 2 二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20 分） 13 （ 5 分）下列函数中，值域为，的是 ABCD 14 （ 5 分）已知、，则“”是“”的 A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分又非必要条件 15 （5 分）已知平面、两两垂直， 直线、满足：，则直线、 不可能满足以下哪种关系 A两两垂直B两两平行C两两相交D两两异面 16 （ 5 分）以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于， 且满足，则点的轨迹是 A直线B圆C椭圆D双曲线 三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+1876 分） 17 （ 14 分）如图，在正三棱锥中， （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角； （2）求的体积 18 （ 14 分）已知数列，前项和为 （1）若为等差数列，且，求； （2）若为等比数列，且，求公比的取值范围 19 （ 14 分）改革开放40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍卫生总费用包括个 人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012 年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和 0)() 2 x y 1 2 yxtanyxcosyx abR 22 ab| |ab() abcabcab c() 1 (a0) 2 (a0)(1,0)y 1 (y0) 2 ( y0) 12 0lnylny 12 11 (,) aa () PABC2,3PAPBPCABBCAC PBMBCNACMN PABC n a 1 3an n S n a 4 15a n S n alim12 n n Sq 2015 3 政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比 年份 卫生总费用（亿 元） 个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出 绝对数 （亿元） 占卫生总费用比 重 绝对数 （亿元） 占卫生总费用比 重 绝对数 （亿元） 占卫生总费用比 重 2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45 （数据来源于国家统计年鉴） （1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势： （2）设表示1978 年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的 单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12 万亿的年份 20 （16 分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点， 定义： （1）当时，求； （2）证明：存在常数，使得； （3），为抛物线准线上三点，且，判断与的关系 21 （18 分）已知等差数列的公差，数列满足，集合 （1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素； （3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7 的正整数，求的所有可能的值 (%)(%)(%) 1tnt 6.4420 0.1136 357876.6053 ( ) 1 t f t e ( )f t 2 4yxFPQPF | () | PF d P FQ 8 ( 1,) 3 P()d P a2 ()|d PPFa 1 P 2 P 3 P 1223 | |PPP P 13 ()()d Pd P 2 2 ()d P n a(0d n bsin() nn ba * |, n Sx xb nN 1 2 0, 3 adS 1 2 adS S nTn bbTT 4 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数 学 答 案 一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1，； 2 2 ； 3，； 4； 5； 6； 7 15 ； 8； 9 24 ； 10； 11，； 12 1 或； 二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20 分） 13B； 14C； 15B ； 16A ； 三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+1876 分） 17 （ 14 分） 【解答】 解： （1），分别为，的中点， 则为与所成角， 在中，由， 可得， 35 64) 1 f( )(0)xx x 2 2 2 10 3 1 arccos 3 3 MNPBBC/ /MNPC PCAACMN PAC2PAPC3AC 222 33 cos 24223 PCACPA PCA PC AC 5 与的夹角为； （2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心， 连接并延长，交于，则， 18 （ 14 分） 【解答】 解： （1）， ； （2），存在， 存在，且， ，或， 公比的取值范围为， 19 （ 14 分） 【解答】 解： （1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多 （2）是减函数，且， 在上单调递增， 令，解得， 当时，我国卫生总费用超过12 万亿， 预测我国到2028 年我国卫生总费用首次超过12 万亿 20 （ 16 分） ACMN 3 arccos 4 POO AOBCN 3 2 AN 2 1 3 AOAN 22 213PO 1133 33 3224 PABC V 41 33315aadd4d 2(1) 342 2 n n n Snnn 3(1) 1 n n q S q lim n n S11q lim n n S11q0q 3(1)3 limlim 11 n n nn q S 3 12 1q 3 4 q10q 3 0 4 q q( 10)(0 3 ) 4 6.4420 0.1136t ye 6.4420 0.1136 0 t ye 6.4420 0.1136 357876.6053 ( ) 1 t f t e N 6.4420 0.1136 357876.6053 120000 1 t e 50.68t 51t 6 【解答】 解： （1）抛物线方程的焦点， ，的方程为，代入抛物线的方程，解得， 抛物线的准线方程为，可得， ，； （2）证明：当时， 设，则， 联立和，可得， ， 则存在常数，使得； （3）设，则 ， 由， ， 则 21 （ 18 分） 【解答】解：（1）等差数列的公差， 数列满足， 集合 当， 集合，0， （2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图： 2 4yx(1,0)F 8 ( 1,) 3 P 8 4 3 23 PF kPF 4 (1) 3 yx 1 4 Q x 1x 2 6410 |2 93 PF 15 |1 44 QF |8 () |3 PF d P QF ( 1,0)P2 ()|2222ad PPF ( 1,) P Py0 P y:1PFxmy2 P my 1xmy 2 4yx 2 440ymy 2 241616 22 1 2 Q mm ymm 2 2 2 22 1 2 ()|212 (22 1) P P Q ym d PPFm y ym mmm 22 12 1 22 mmm mm a2 ()|d PPFa 11 ( 1,)Py 22 ( 1,)Py 33 ( 1,)Py 222 132132132 2 ()()4 () | 2|442 4d Pd pd PPFP FP Fyyy 222222 13 131313 442 ()444()16 2 yy yyyyyy 222222 13131313 ( 44)()162 4428yyyyyyy y 222222 1313131313(4)(4(4)4()84()0yyy yyyy yyy 132 ()()2 ()d Pd Pd P n a(0d n bsin() nn ba * |, n Sx xb nN 1 2 0, 3 ad 3 2 S 3 2 1 2 a n bsin() nn ba * |, n Sx xb nN 7 根据三角函数线，等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时， 终边落在上， 要使得集合恰好有两个元素， 可以使，的终边关于轴对称，如图， 此时， 综上，或者 （3）当时，集合，符合题意 当时 ， 或 者， 等差数列的公差，故，又，2 当时满足条件，此时，1， 当时， 或者， 因为， 故，2 当时，1，满足题意 当时， 所以或者，故， 2，3 当时，满足题意 当时， 所以， 或者， ，故，2，3 当时，因为对应着3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着3 个点，必然有， ，不符合条件 当时，因为对应着3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着3 个点，必然有， ，不是整数，不符合条件 n aySd 1 aOAS 2 a 3 ayOBOC 2 3 d 2 3 dd 3T3nnbb1Sb2b3b 4T 4nn bbsin(4 )sin nn ada42 nn adak42 nn adka n a(0d42 nn adak 2 k d1k 1kS1 5T 5nn bbsin(5 )sin nn ada52 nn adak52 nn adka(0d 1k 1ksin 10 Ssin 10 6T 6nn bbsin(6 )sin nn ada 62 nn adak62 nn adka(0d1k 1k 33 ,0, 22 S 7T7nnbbsin(7 )sinsinnnnadaa72nnadak72nnadka(0d 1k 1k17 bb2 mn aa 22 7 d mn 7mn7m 2k 17 bb2 mn aa 24 7 d mn mn 8 当时，因为对应着 3 个正弦值， 故必有一个正弦值对应着3 个点，必然有或者， ，或者，此时，均不是整数，不符合题意 综上，4，5，6 3k 17 bb2 mn aa4 26 7 d mn 46 7 d mn mn 3T 9 。