第一讲 空间向量的坐标运算教师版.doc

重庆大东方学校高三实验班数学讲座 1 2011.2.261第一讲 空间向量的坐标运算（教师版）一、空间直角坐标系在空间内作三条相互垂直且相交的数轴 ,这三条数轴的长度单位相同．它Ozyx,们的交点 称为坐标原点． 称为 轴、 轴和 轴．一般地，取从后向前，OzyOx,从左向右，从下向上的方向作为 轴， 轴, 轴的正方向（图 6．1） ． 统称Ozyx,为坐标轴．由两个坐标轴所确定的平面，称为坐标平面，简称坐标面． 轴， 轴, 轴可以确定 三个坐标面．这三个坐标面可以把空间分成八个部分，每个部分zxyx,称为一个卦限．其中 坐标面之上， 坐标面之前， 坐标面之右的卦限称为第yzxOz一卦限．按逆时针方向依次标记 坐标面上的其他三个卦限为第二、第三、第四卦O限．在 坐标面下面的四个卦限中，位于第一卦限下面的卦限称为第五卦限，按逆时针xOy方向依次确定其他三个卦限为第六、第七、第八卦限． （图 2）图 1 表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定．用右手握住 轴,当右手的四个手指z从 轴正向以 的角度转向 轴的正向时，大拇指的指向就是 轴的正向．x90y图 1 　　　　　图 2二、空间一点的坐标已知 P 为空间一点．过点 P 作三个平面分别垂直于 轴，x轴和 轴，它们与 轴、 轴、 轴的交 点分别为yzxyzA、B 、 C（图 3） ，这三点在 轴、 轴、 轴上的坐标分别为 ．于是空间的一点 P 就唯一确定了一个有序数组x,．这组数 就叫做点 P 的坐标，并依次称zyzyx,为点 P 的 横坐标，纵坐标和竖坐标．坐标为 的, zyx,点 P 通常记为 ． ),(M图 3例 1 已知 ABCD－A 1B1C1D1是棱长为 2 的正方体，E、F 分别是 BB1和 DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。

重庆大东方学校高三实验班数学讲座 1 2011.2.262∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)∈∈a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)a∈b=(a1－b1,a2－b2,a3－b3)λa=(λa1,λa2,λa3)ab=a1b1+a2b2+a2b2a//b a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)ab a1b1+a2b2+a3b3=0∈A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)∈∈AB∈OB∈OA∈(x2∈x1,y2∈y1,z2∈z1)∈三、向量的坐标一方面，由向量 可以唯一地定出它在三条坐标轴上的投影 ； 另一方面，aaxyz,由 又可以唯一地定出向量 这样，向量 与有序数组 之间建axyz, 立了一一对应的关系故可以把向量 在三条坐标轴上的投影 叫做向量的坐标，将表达式axyz,称作向量 的坐标表示式axyz{,}注意：向量的坐标表示式是用花括号{ }表示的，不要与空间点的坐标表示式用圆括号( )表示相混淆。

以 为始点及 为终点的向量的坐标式可表示成 Mxyz1(,)xyz2(,)21{,}特别地， 空间点 对于原点的向径为z()rOMxyz{,}四、两点间的距离公式设 为空间内的两个点， ),(),,(2211yxMzyx所以 之间的距离为 21212121 )()()( z例 2 求 ．之 间 的 距 离3,,0解 2221 )03()()(.7＝四、向量的直角坐标运算重庆大东方学校高三实验班数学讲座 1 2011.2.263GFEA BCDA1 B1C1D1注： 321i321321 bab/a1,23)0(b),,(b),a,(  则若例 3　已知 a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，求 a＋b，a－b，8a，a•b解：a＋b＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1） ，a－b＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9） ，8a＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40） ，a•b＝（2，－3,5）•（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29例 4　在正方体要 ABCD－A 1B1C1D1中，E、F 分别为 BB1、CD 的中点，求证：D 1F⊥平面 ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，则ADF110)2,(,)02(又 ),(E,021021 ∴D 1F⊥AE，又 AD∩AE＝A，∴D 1F⊥平面 ADE小结：①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定。

②原点的坐标为(0,0,0)，x 轴上的坐标为(x,0,0)，y 轴上的坐标为(0,y,0)，z 轴上的坐标为(0,0,z).③要使一向量 a＝(x,y,z)与 z 轴垂直，只要 z＝0 即可事实上，要使向量 a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量 a 的相应坐标为 0例 5　在正方体 ABCD－A 1B1C1D1中，E、F 分别为 BB1、D 1B1的中点，求证 EF⊥平面B1AC分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线证明：设 A1B1的中点 G，连 EG、FG、A 1B，则 FG∥A 1D1，EG∥A 1B，∵A 1D1⊥平面 A1B，∴FG⊥平面 A1B，∵A 1B⊥AB 1，∴EG⊥AB 1，由三垂线的逆定理，得 EF⊥AB 1，同理 EF⊥B 1C，又 AB1∩B 1C＝B 1，∴EF⊥平面 B1AC分析二：选基底，利用向量的计算来证明证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，则1A重庆大东方学校高三实验班数学讲座 1 2011.2.264)(21)(2)(2111 ABDBADBFEB ＝(－a＋b＋c)/2＝a＋b11A＝(－a＋b＋c)/2•(a＋b)＝(b 2－a 2＋c•a＋c•b)/2BEF＝(|b| 2－|a| 2＋0＋0)/2＝0， ，即 EF⊥AB 1，同理 EF⊥B 1C，1ABEF又 AB1∩B 1C＝B 1，∴EF⊥平面 B1AC。

分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的证明：设正方体的棱长为 2，建立如图所示的直角坐标系，则 A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)EF＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)1AB＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)C＝(―1,―1,1)• (0,2,2)＝01EF＝(―1,―1,1)• (－2,2,0)＝0A∴EF⊥AB 1， EF⊥AC，又 AB1∩B 1C＝B 1，∴EF⊥平面 B1AC归纳总结　1、空间直角坐标系的概念2、向量的坐标运算3、实际问题中如何建系五、夹角公式设 ， ，我们怎样求这两个向量的模呢？),(321a),(321b， ．|23|重庆大东方学校高三实验班数学讲座 1 2011.2.265这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．请大家动手试一试，如果把上述结果代入两个向量的数量积，会得出什么结果呢？ ∵　　a·b＝|a||b|cos＜a,b＞∴　　 ＝ · ·cos＜a,b＞321ba2321a231b由此可以得出：cos＜a,b＞＝ 2321321b这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当 cos＜a、b＞＝1 时，a 与 b 同向；当 cos＜a、b＞＝－1 时，a 与 b 反向；当 cos＜a、b＞＝0 时，a⊥b． 、例 6　如图，在正方体 中， ，求 与1DCBA411BAFE1E所成的角的余弦值．1DF解：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设＝i， ＝j ， ＝k ．AC1以 i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 D－xyz，则点 B、E1、D、F 1 的坐标分别为B(1,1,0)，E 1(1, ,1)，D (0,0,0)，F 1(0, ,1)434∴ ＝(1, ,1)－(1,1,0)＝(0,－ ,1)，1＝(0, ,1)－(0,0,0)＝(0, ,1)．F∴ ， ， · ＝ ．47||1BE417||DF1BEDF65∴cos＜ , ＞＝1 |||·1六、定比分点公式设 和 为两已知点，有向线段 上的点 将它分为两条有向Axyz(,)1Bxyz(,)2ABM线段 和 ，使它们的值的比等于数 ( )，即M1重庆大东方学校高三实验班数学讲座 1 2011.2.266，求分点 的坐标。

AMBxyz(,)解：因为 与 在同一直线上，且同方向，故 MBAxyz{,}12Bxyz{,}22Bz(),()， ，1212z12()解得 xyz12例 7 已知 A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段 AB 的中点坐标和长度；⑵到 A、B 两点距离相等的点 的坐标 x、y、z 满足的条件．),(zyxP解：⑴∴线段 AB 的中点坐标是(2, ,3)．23．9)15()0()31(2BAd、⑵点 到 A、B 两点距离相等，则,zyxP＝ ．222)()()(zy 222)5()0()(zyx化简，得　　　　　　　　 ．7864x即到 A、B 两点距离相等的点 的坐标 x、y 、z 满足的条件是),(zyP．0重庆大东方学校高三实验班数学讲座 1 2011.2.267说明：⑴注意掌握中点坐标公式：＝ ；)(2OBAM )2,,2(111zyx⑵例 3⑵中点 p 的轨迹是线段 AB 的垂直平分平面．在空间中，关于 x、y、z 的三元一次方程的图形是平面．。