2023年第二章第课时3.docx

2.3.2　双曲线的简单几何性质第1课时　双曲线的几何性质学习目标　1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．知识点一　双曲线的性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点二　等轴双曲线思考　求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1.答案　(1)的实半轴长1，虚半轴长1(2)的实半轴长，虚半轴长.它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理　实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为.(1)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(√)(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×)(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(×)(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．(√)类型一　双曲线的性质例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线解　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.引申探究求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝ ，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.类型二　由双曲线的性质求标准方程例2　(1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线答案　B解析　由已知，得双曲线的焦点在y轴上，从而可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．∵一个顶点为(0,2)，∴a＝2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍，∴2a＋2b＝2c.又a2＋b2＝c2，∴b2＝4，∴所求双曲线的方程为－＝1.(2)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点A(2，－3)的双曲线的方程．考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线解　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.当所求双曲线的焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．因为＝，所以b＝a.①因为点A(2，－3)在所求双曲线上，所以－＝1.②联立①②得方程组无解．当所求双曲线的焦点在y轴上时，设所求双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为＝，所以a＝b.③因为点A(2，－3)在所求双曲线上，所以－＝1.④由③④，得a2＝，b2＝4，所以所求双曲线的方程为－＝1.反思与感悟　(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．考点　由双曲线的简单几何性质求方程题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．∵点M(3，－2)在双曲线上，∴－＝λ，即λ＝－2.∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.①又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.类型三　求双曲线的离心率例3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．考点　双曲线的离心率与渐近线题点　求双曲线的离心率解　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以＝2c，所以b2＝2ac，所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0，即e2－2e－1＝0，所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，所以双曲线的离心率为1＋.反思与感悟　求双曲线离心率的三种方法：(1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解．(2)若已知a，b，可直接利用e＝求解．(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．跟踪训练3　设双曲线－＝1(b＞a＞0)的焦距为2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．考点　双曲线的离心率与渐近线题点　求双曲线的离心率答案　2解析　如图所示，在△OAB中，|OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝c，|AB|＝＝c.因为|AB|·|OE|＝|OA|·|OB|，所以c·c＝ab，即(a2＋b2)＝ab，两边同除以a2，得2－＋＝0，解得＝或＝(舍去)，所以e＝＝ ＝ ＝2.1．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)A．实轴长为4，虚轴长为2B．实轴长为8，虚轴长为4C．实轴长为2，虚轴长为4D．实轴长为4，虚轴长为8考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c答案　B解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.2．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是(　　)A．x2－＝1 B．－y2＝1C．－x2＝1 D．y2－＝1考点　由双曲线的简单几何性质求方程题点　已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案　D解析　从选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，故选D.3．(2019·浙江余姚中学期中)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C的右支上的点，射线PT平分∠F1PF2，过原点O作PT的平行线交PF1于点M，若|MP|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为(　　)A. B．3 C. D.答案　A4．与双曲线－＝1共渐近线且经过点M(2，6)的双曲线的标准方程为__________．答案　－＝1解析　设双曲线的标准方程为－＝t(t≠0)，又经过点M(2，6)，∴－＝t，即t＝2，故所求双曲线的标准方程为－＝1.5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程研究其他问题答案　12解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线上时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2,2)，此时S＝－＝12.1．随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解．3．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ(λ≠0，a＞0，b＞0).一、选择题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)A．2 B．2 C．4 D．4考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程求a，b，c及渐近线答案　C解析　将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4.2．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±2x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x考点　双曲线的离心率与渐近线题点　渐近线与离心率的关系答案　B解析　由e＝＝ ＝，得2＝2.故渐近线方程为y＝±x，故选B.3．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为(　　)A. B.C. D.考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　C解析　不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，为30°，∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos 30°，∴(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×，化为e2－2e＋。