挑战中考数学压轴试题1.2因动点产生的等腰三角形问题.doc

§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回忆两个画图问题：1．线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A〔的余弦值〕是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长〔的平方〕就可以罗列出来．图1 图2 图3 例 9 2021年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c〔a、b、c是常数，a≠0〕的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．〔1〕求a、b、c的值；〔2〕求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；〔3〕设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请翻开几何画板文件名“14长沙26〞，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MA＝MN和NA＝NM时，点P的纵坐标是相等的．图文解析〔1〕抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．将代入y＝ax2，得．解得〔舍去了负值〕．〔2〕抛物线的解析式为，设点P的坐标为．A(0, 2)，所以＞．而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．〔3〕如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．等腰△AMN存在三种情况：①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．图2 图3②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．如图5，当NA＝NM时，根据对称性，点P的纵坐标为也为．图4 图5③如图6，当NA＝NM＝4时，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以ON＝2．此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．如图7，当MN＝MA＝4时，根据对称性，点P的纵坐标也为．图6 图7考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：设点P的坐标为．B(0, 1)，所以．而圆心P到直线y＝－1的距离也为，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．例 10 2021年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕过O、B、C三点，B、C坐标分别为(10, 0)和，以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．〔1〕求直线BC的解析式；〔2〕求抛物线解析式及顶点坐标；〔3〕点M是⊙A上一动点〔不同于O、B〕，过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜测mn的值，并证明你的结论；〔4〕假设点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t〔0＜t≤8〕秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值． 图 图1 动感体验请翻开几何画板文件名“14张家界25〞，拖动点M在圆上运动，可以体验到，△EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高．拖动点Q在BC上运动，可以体验到，△BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形． 思路点拨1．从直线BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比拟简便．3．第〔3〕题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高． 4．第〔4〕题的△PBQ中，∠B是确定的，夹∠B的两条边可以用含t的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析〔1〕直线BC的解析式为．〔2〕因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点，设y＝ax(x－10)．代入点C，得．解得．所以．抛物线的顶点为．〔3〕如图2，因为EF切⊙A于M，所以AM⊥EF．由AE＝AE，AO＝AM，可得Rt△AOE≌Rt△AME．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF＝90°．所以∠5＝∠1．由tan∠5＝tan∠1，得．所以ME·MF＝MA2，即mn＝25． 图2〔4〕在△BPQ中，cos∠B＝，BP＝10－t，BQ＝t．分三种情况讨论等腰三角形BPQ：①如图3，当BP＝BQ时，10－t＝t．解得t＝5．②如图4，当PB＝PQ时，．解方程，得．③如图5，当QB＝QP时，．解方程，得．图3 图4 图5考点伸展在第〔3〕题条件下，以EF为直径的⊙G与x轴相切于点A．如图6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G到x轴的距离等于圆的半径，所以⊙G与x轴相切于点A．图6例 11 2021年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn〔m＞n〕与x轴相交于A、B两点〔点A位于点B的右侧〕，与y轴相交于点C．〔1〕假设m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；〔2〕假设A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；〔3〕假设m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请翻开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮〔2〕，拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮〔3〕，拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第〔2〕题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第〔3〕题讨论等腰三角形ABC，先把三边长〔的平方〕罗列出来，再分类解方程．图文解析〔1〕由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．假设m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．〔2〕如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．假设A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．图1 图2 图3〔3〕在△ABC中，A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)．讨论等腰三角形ABC，用代数法解比拟方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得〔如图2〕．②当CA＝CB时，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2〔如图3〕，或n＝2〔A、B重合，舍去〕．③当BA＝BC时，解方程(n－2)2＝5n2，得〔如图4〕，或〔如图5〕．图4 图5考点伸展第〔2〕题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1．由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第〔3〕题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n＝－2．例 12 2021年湖南省娄底市中考第27题如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t〔s〕〔0＜t＜4〕，解答以下问题：〔1〕设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？〔2〕如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；〔3〕当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2动感体验请翻开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况．还可以体验到，当QC＝2HC时，四边形PQP′C是菱形．思路点拨1．在△APQ中，∠A是确定的，夹∠A的两条边可以用含t的式子表示．2．四边形PQP′C的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析〔1〕在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，sinA＝，cosA＝．作QD⊥AB于D，那么QD＝AQ sinA＝t．。