人教九级上一元二次方程24一元二次方程的根与系数的关系导学案(有答案).doc

21.2.4一元二次方程的(De)根与系数的关系【目(Mu)的导航】1、履历从详细方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系2、把握一元二次方程根与系数的关系式3、能运用根与系数的关系由一元二次方程的一个根求出另一个根4、会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差【常识链接】法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有一种很是亲密的关系，是以，人们把这个关系称为韦达定理汗青是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证实这个定理要依靠代数根本定理，而代数根本定理倒是在1799年才由高斯作出第一个本质性的论证用于求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的体例等都很便利至宝探寻】至宝 一．一元二次方程根与系数的关系1． 设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根，试推导x1+x2=-，x1·x2=；解析：〔1〕∵x1、x2是ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根， ∴x1=，x2= ∴x1+x2==-， x1·x2=·= 即 ；这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理。

2.利用一元(Yuan)二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系时需注(Zhu)重：(1)先把方程化为一般形式，并要注重隐含前提a≠0；(2)应用时必然要记住根的判别式Δ=b2-4ac≥0这个前提前提；(3)写 时不要弄错符号.【营养快餐】快餐 一 经典根底题例1：假设，是一元二次方程的两个根，那么的值是〔 〕A．－2 B．－3 C．2 D．3阐发：由有根与系数的关系＝－3解：因为，中a＝1，c＝－3，所以＝－3应选B点拨：此题操纵两根之积与系数的关系.例2．、是方程的两个根，不解方程，求以下代数式的值：〔1〕 〔2〕 〔3〕阐发：由根与系数的关系可成立关于和的方程组，再把所求式子用它们暗示出来，代入化简即得解：由一元二次方程根与系数的关系，得，进而〔1〕＝＝〔2〕＝＝〔3〕原式＝＝＝点拨：此题考察的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、恒等式的变形等常识例(Li)3：〔假(Jia)设x1＝－1是关于x的方程的一个根，那么方程的另一个根x2＝ ．阐发：设方程的另一根为x2，由一个根为x1＝－1，操纵根与系数的关系求出两根之积，列出关于x2的方程，求出方程的解获得x2的值，即为方程的另一根．解：∵关于x的方程x2+mx－5＝0的一个根为x1＝－1，设另一个为x2，∴－x2＝－5，解得：x2＝5，那么方程的另一根是x2＝5．点拨：此题此题考察了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0〔a≠0〕，当b2－4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，那么有＝ ＝。

例4：方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积年夜21，求的值 阐发：此题假设操纵转化的思惟，将等量关系“两个根的平方和比两根的积年夜21”转化为关于的方程，即可求得的值解：∵方程有两个实数根， 　　∴△　　解这个不等式，得≤0 　　设方程两根为 　那么， 清算得： 解得： 又∵，∴ 点拨：当求出后，还需注重隐含前提，应舍去不合题意的 例(Li)5：关(Guan)于的方程〔1〕有两个不相等的实数根，且关于的方程〔2〕没有实数根，问取什么整数时，方程〔1〕有整数解？ 阐发：在同时知足方程〔1〕，〔2〕前提的的取值规模中挑选合适前提的的整数值 解：∵方程〔1〕有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程〔2〕没有实数根， ∴， 解得； 于是，同时知足方程〔1〕，〔2〕前提的的取值规模是 此中，的整数值有或 那时，方程〔1〕为，无整数根； 那时，方程〔1〕为，有整数根解得： 所以，使方程〔1〕有整数根的的整数值是 点拨：熟悉一元二次方程实数根存在前提是解答此题的根底，准确确定的取值规模，并依靠纯熟的解不等式的根本技术和必然的逻辑推理，从而挑选出，这也恰是解答此题的根本技巧。

例6：实数a，b别离知足a2－6a+4＝0，b2－6b+4＝0，且a≠b，那么的值是〔　　〕　A．7B．－7C．11D．－11阐(Chan)发：按照两(Liang)等式获得a与b为方程的两根，操纵根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并操纵同分母分式的加法法那么计较，再操纵完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计较即可求出值．解：按照题意得：a与b为方程x2－6x+4＝0的两根，∴a+b＝6，ab＝4，因为＝＝7点拨：此题考察了一元二次方程根与系数的关系，要可以不雅察出a与b为方程x2－6x+4＝0的两根，纯熟把握根与系数的关系是解此题的关头．快餐 二 中考才能题例7. 、是一元二次方程的两个根，那么等于〔 〕 A. 　　 B. 　　 C. 1 D. 4【解析】按照一元二次方程两根之积与系数关系阐发解答. 由题可知：，【谜底】A【点拨】此题考察一元二次方程根与系数的关系．例8．x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么准确的选项是结论是〔　　〕　A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在【解析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0合适题意．【谜(Mi)底】A【点(Dian)拨】此题首要考察了一元二次方程根与系数的关系：假如x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q例9．函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A〔a，c〕，点B〔b，c+1〕在该函数图象的别的一支上，那么关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2判定准确的选项是〔　　〕　A．x1+x2＞1，x1•x2＞0B．x1+x2＜0，x1•x2＞0　C．0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0D．x1+x2与x1•x2的符号都不确定【解析】按照点A〔a，c〕在第一象限的一支曲线上，得出a＞0，c＞0，再点B〔b，c+1〕在该函数图象的别的一支上，得出b＜0，c＜﹣1，再按照x1•x2=，x1+x2=﹣，即可得出谜底．【谜底】C【点拨】此题考察了根与系数的关系，把握根与系数的关系和各个象限点的特点是此题的关头；假设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的两个实数根，那么x1+x2=﹣，x1x2=．例10.关于x的方程x2+ax+a﹣2=0〔1〕假设该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；〔2〕求证：不管a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．阐发：〔1〕将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0获得a的值，再按照根与系数的关系求出另一根；〔2〕写出根的判别式，配方后获得完全平体例，进展解答．解：〔1〕将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，那么1x1=﹣，x1=﹣．〔2〕∵△=a2﹣4〔a﹣2〕=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=〔a﹣2〕2+4≥0，∴不管a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．点拨：．此题考察了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵敏运用．快餐 三 易错易混题例11．α，β是关于x的一元二次方程x2+〔2m+3〕x+m2＝0的两个不相等的实数根，且知足+＝－1，那么m的值是〔　　〕A．3或－1 B．3 C．1 D．－3或1阐(Chan)发：因(Yin)为方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出m的取值规模，再操纵根与系数的关系和+＝－1，可以求出m的值，最后求出合适题意的m值错解：按照根与系数的关系，得α+β＝－〔2m+3〕 αβ＝ m2又因为+＝＝－1，即＝1，清算，得＝0，解得应选A正解：按照根与系数的关系，得α+β＝－〔2m+3〕 αβ＝ m2又因为+＝＝－1，即＝1，清算，得＝0，解得又按照△＝＞0得＞0解得m＞所以m只可以取3应选B点拨： 1、考察一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用才能．一元二次方程根的环境与判别式△的关系：〔1〕△＞0，方程有两个不相等的实数根；〔2〕△＝0，方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0，方程没有实数根．2、一元二次方程ax2+bx+c＝0〔a≠0〕的根与系数的关系为：x1+x2＝－， x1x2＝快餐 四 讲堂操练题一、选择题1. x1，x2是一元二次方程的两根，那么的值是〔　　〕　 A． 0 B． 2 C．－2 D． 42. m， n是(Shi)关于x的一元二次方程x2－3x+a＝0的两个解，假设(She)〔m－1〕〔n－1〕＝－6，那么a的值为〔　　〕　 A． －10 B． 4 C．－4 D． 10二、填空题3．设x1，x2是方程2x2－3x－3＝0的两个实数根，那么的值为　 　．4.关于的方程的两根为，且，那么 。

5假设两个不等实数m、n知足前提：m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，那么m2+n2的值是　　 ．6.假设x1，x2是方程x2-2x-5=0的两根，那么x12+x1x2+x22=_______.7.一元二次方程y2-3y +1=0的两个实数根别离为y1，y2，那么(y1-1)(y2-1)的值为_______.三、解答题8.(鸡西模拟)假设关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1，x2，且知足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.9. 设，是方程＝0的两实数根，求的值．10.关于x的方程kx2+(k+2)x+=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值规模.(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?假设存在，求出k的值；假设不存在，申明来由.11. 关于x的一元二次方程〔a+c〕x2+2bx+〔a﹣c〕=0，此中a、b、c别离为△ABC三边的长．〔1〕假如x=﹣1是方程的根，试判定△ABC的外形，并申明来由；〔2〕假如方程有两个相等的实数根，试判定△ABC的外形，并申明来由；〔3〕假如△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．讲堂操练参考谜底1.【解析】由题意，得：x1+x2=-p，x1x2=q；【谜(Mi)底】B.∴p=-(x1+x2)=-3，q=x1x2=2.应(Ying)选A.2.【解析】C〔提醒：按照题意得：m+n＝3，mn＝a，∵〔m－1〕〔n－1〕＝mn－〔m+n〕+1＝－。