模糊数学建模方法.ppt

模糊数学建模方法模糊数学建模方法重庆邮电大学重庆邮电大学数理学院数理学院沈世云沈世云shensy@139962046811第第 1 章章模糊集的基本概念模糊集的基本概念2第一节第一节. 模糊数学概述模糊数学概述模糊数学的概念l处理现实对象的数学模型–确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必然联系.–随机性数学模型:对象具有或然性或随机性–模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性.l随机性与模糊性的区别–随机性:指事件出现某种结果的机会.–模糊性:指存在于现实中的不分明现象.l模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.3 模糊数模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方学是研究和处理模糊性现象的数学方法法. . 众所周知，经典数学是以精确性为特征的众所周知，经典数学是以精确性为特征的. . 然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的没有价值的. . 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好要好. . 例如例如, ,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个““大胡子高个子长大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.”. 尽管这里只提供了一个精确信息尽管这里只提供了一个精确信息――――男人，而其他男人，而其他信息信息――――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人脑的综合分析判断，就可以接到这个人. . 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用应用. .4数学建模与模糊数学相关的问题数学建模与模糊数学相关的问题Ø模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）Ø与模糊数学相关的问题（一）Ø模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确Ø模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性5数学建模数学建模与模糊数学相关的问题Ø模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系 Ø模糊层次分析法—两两比较指标的确定Ø模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。

由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果 6第二第二节节 模糊子集及其运算模糊子集及其运算经典集合经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明即无重复性；范围边界分明, ,即一个元素即一个元素x要么属要么属于集合于集合A( (记作记作x A),),要么不属于集合要么不属于集合( (记作记作x A) )，二者必居其一，二者必居其一. . 集合的表示法：集合的表示法： (1) (1)枚举法，枚举法，A={ {x1 , x2 ,…, xn} }；； (2) (2)描述法，描述法，A={ {x | P(x)}.}. A B  若若x A，，则则x B；； A B  若若x B，，则则x A；； A=B  A B且且 A B. .7 集合集合A的所有子集所组成的集合称为的所有子集所组成的集合称为A的幂集，的幂集，记为记为 (A).并集并集A∪∪B = { x | x A或或x B }；；交集交集A∩B = { x | x A且且x B }；；余集余集Ac = { x | x A }. .集合的运算规律集合的运算规律 幂等律：幂等律： A∪∪A = A，， A∩A = A；； 交换律：交换律： A∪∪B = B∪∪A，， A∩B = B∩A；； 结合律：结合律：( A∪∪B )∪∪C = A∪∪( B∪∪C )，， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )；； 吸收律：吸收律： A∪∪( A∩B ) = A，，A∩( A∪∪B ) = A；；8分配律：分配律：( A∪∪B )∩C = ( A∩C )∪∪( B∩C )；； ( A∩B )∪∪C = ( A∪∪C )∩( B∪∪C )；；0-10-1律：律：A∪∪U = U ，， A∩U = A ；； A∪∪  = A ，， A∩  =   ；；还原律：还原律： (Ac)c = A ；；对偶律：对偶律： (A∪∪B)c = Ac∩Bc，，(A∩B)c = Ac∪∪Bc；； 排中律：排中律： A∪∪Ac = U，， A∩Ac =  ；；U 为全集，为全集，  为空集为空集.集合的直积：集合的直积： X   Y = { { (x , y )| x X , y  Y } }.9 模糊子集及其运算模糊子集及其运算模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：：U→[0,1]确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A的的隶属函数隶属函数，它表示，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度. 使使A(x) = 0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最的过渡点，此点最具模糊性具模糊性. 当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是经就是经典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数. 可见经典子可见经典子集就是模糊子集的特殊情形集就是模糊子集的特殊情形.10 例例 设论域设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：单位：cm)表示人的身高，表示人的身高，那么那么U上的一个模糊集上的一个模糊集““高个子高个子””(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：11还可用向量表示法：还可用向量表示法：A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1). 另外，还可以在另外，还可以在U上建立一个上建立一个““矮个子矮个子””、、““中等个子中等个子””、、““年轻人年轻人””、、““中年人中年人””等模糊等模糊子集子集. . 从上例可看出：从上例可看出： (1) (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集一个有限论域可以有无限个模糊子集, ,而经典子集是有限的；而经典子集是有限的； (2) (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的主观的. . 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法的方法. .12 例例 设论域设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：单位：cm)表示人的身高，表示人的身高，那么那么U上的一个模糊集上的一个模糊集““高个子高个子””(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：13 如：考虑年龄集如：考虑年龄集U=[0,100]U=[0,100]，，A=“A=“年老年老””，，A A也是一个年龄集，也是一个年龄集，u = 20 u = 20 ∉ ∉ A A，，40 40 呢？呢？……查查德给出了德给出了 “ “年老年老” ” 集函数刻画集函数刻画: :1415模糊集的运算模糊集的运算相等相等：：A = B  A(x) = B(x)；；包含包含：：A B  A(x)≤B(x)；；并并：：A∪∪B的隶属函数为的隶属函数为 (A∪∪B)(x)=A(x)∨∨B(x)；；交交：：A∩B的隶属函数为的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧∧B(x)；；余余：：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac (x) = 1- - A(x).16 例例 设论域设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集商品集)，在，在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集： A =“商品质量好商品质量好”，， B =“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可见可见Ac  B, Bc  A. 又又 A∪∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1)  U, A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0)    .17模糊集的并、交、余运算性质模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：幂等律：A∪∪A = A，， A∩A = A；；交换律：交换律：A∪∪B = B∪∪A，，A∩B = B∩A；；结合律：结合律：(A∪∪B)∪∪C = A∪∪(B∪∪C)，， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ；；吸收律：吸收律：A∪∪(A∩B) = A，，A∩( A∪∪B)= A；； 分配律：分配律：(A∪∪B)∩C = (A∩C)∪∪(B∩C)；； (A∩B)∪∪C = (A∪∪C)∩(B∪∪C)；；0-10-1律：律： A∪∪U = U，，A∩U = A；； A∪∪  = A，，A∩  =   ；；还原律：还原律： (Ac)c = A ；；18对偶律：对偶律：(A∪∪B)c = Ac∩Bc，， (A∩B)c = Ac∪∪Bc；； 对偶律的证明：对于任意的对偶律的证明：对于任意的 x U (论域论域)，， (A∪∪B)c(x) = 1 - - (A∪∪B)(x) = 1 - - (A(x)∨∨B(x)) = (1 - - A(x))∧∧(1 - - B(x)) = Ac(x)∧∧Bc(x) = Ac∩Bc (x) 模糊集的运算性质基本上与经典集合一模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即致，除了排中律以外，即A∪∪Ac   U，， A∩Ac     . 模糊集不再具有模糊集不再具有““非此即彼非此即彼””的特点，的特点，这正是模糊性带来的本质特征这正是模糊性带来的本质特征. .19模糊集合的运算和隶属函数的参数化模糊集合的运算和隶属函数的参数化包含或子集包含或子集：并（析取并（析取）交（合取）交（合取）补补2021第三第三节节 模糊集的基本定理模糊集的基本定理(A)  = A = {x | A(x) ≥   } - -截集：截集： 模糊集的模糊集的 - -截集截集A 是一个经典集合，由隶属是一个经典集合，由隶属度不小于度不小于 的成员构成的成员构成. . 例：论域例：论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}( (学生集学生集) )，，他们的成绩依次为他们的成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，，A=““学习学习成绩好的学生成绩好的学生””的隶属度分别为的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则，则A0.9 (90分以上者分以上者) = {u5 , u6},A0.6 (60分以上者分以上者) = {u2, u3, u4 , u5 , u6}.22 定理定理1 1 设设A, B ℉ (U ) (A, B是论域是论域U 的的两个模糊子集两个模糊子集)，， , ,[0,1]，于是有，于是有 - -截集截集的性质：的性质：(1) A B  A  B ；；(2)  ≤   A   A ；；(3) (A∪∪B) = A ∪∪B ，，(A∩B) = A ∩B .定理定理2 (分解定理分解定理)设设A ℉ (U )，， x A，则，则A(x) = ∨{∨{ ，，[0,1]，，x A  } }定义定义 ( (扩张原理扩张原理) )设设映射映射 f ：：X Y，定义，定义f (A) ( y ) = ∨{∨{A(x)，， f (x) = y } }23 模糊集的数积模糊集的数积 设设A ℉ (U ) (A是论域是论域U 的的模糊子集模糊子集)，，[0,1]，称，称 A为为 与与A数积，数积，  x A, ( A)(x)=  ∧∧A(x)性质：性质：(1) A B    A    B；；(2)  ≤     A    A ；；定理定理3 (分解定理分解定理2)设设A ℉ (U )，，则则24§1.5 隶属函数的确定隶属函数的确定1. 模糊统计方法模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为统计比喻为“变动的点变动的点”是否落在是否落在“不动的圈不动的圈”内，则把模糊统计比喻为内，则把模糊统计比喻为“变动的圈变动的圈”是否盖是否盖住住“不动的点不动的点”.2. 指派方法指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。

析表达式3. 借用已有的借用已有的“客观客观”尺度尺度25隶属函数参数化隶属函数参数化1. 1. 三角形隶属函数三角形隶属函数l参数参数a,b,c确定了三角形确定了三角形MF三个顶点的三个顶点的x坐标坐标26l参参数数a,b,c,d确确定定了了梯梯形形四四个个角角的的x坐坐标标当当b=c时，梯形就退化为三角形时，梯形就退化为三角形2. 梯形隶属函数梯形隶属函数273. 高斯形隶属函数高斯形隶属函数l高高斯斯MF完完全全由由c和和σ决决定定，，c代代表表MF的的中心；中心；σ决定了决定了MF的宽度的宽度284. 一般钟形隶属函数l参数完全由b通常为正；如果b<0,钟形将倒置钟形MF实际上是概率中柯西分布的推广，因此又称为柯西MF29trig(x;20,60,80)trap(x;10,20,60,90)g(x;50,20)bell(x:20,4,50)30cc-ac+a斜率=-b/2a隶属函数的参数化举例隶属函数的参数化举例：以钟形函数为例，a,b,c,的几何意义如图所示改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状3132第第 二二 章章模糊模式识别模糊模式识别33第一节第一节 模糊模型识别模糊模型识别模型识别模型识别 已知某类事物的若干标准模型，现有这类事已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别就是模型识别. . 模型识别在实际问题中是普遍存在的模型识别在实际问题中是普遍存在的. .例如，例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员哪一纲哪一目；投递员( (或分拣机或分拣机) )在分拣信件时在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别要识别邮政编码等等，这些都是模型识别. .模糊模型识别模糊模型识别 所谓模糊模型识别所谓模糊模型识别, ,是指在模型识别中是指在模型识别中, ,模型模型是模糊的是模糊的. .也就是说也就是说, ,标准模型库中提供的模型是标准模型库中提供的模型是模糊的模糊的. .34模型识别模型识别的原理的原理 为了能识别待判断的对象为了能识别待判断的对象x = (x1, x2,……, xn)T是是属于已知类属于已知类A1, A2,……, Am中的哪一类？中的哪一类？ 事先必须要有一个一般规则事先必须要有一个一般规则, 一旦知道了一旦知道了x的的值值, 便能根据这个规则立即作出判断便能根据这个规则立即作出判断, 称这样的一称这样的一个规则为个规则为判别规则判别规则. 判别规则往往通过的某个函数来表达判别规则往往通过的某个函数来表达, , 我们我们把它称为把它称为判别函数判别函数, 记作记作W(i; x). 一旦知道了一旦知道了判别函数并确定了判别函数并确定了判别规则，最判别规则，最好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回回代检验代检验，以便检验你的，以便检验你的判别函数和判别函数和判别规则是否判别规则是否正确正确.35第二节第二节 最大隶属原则最大隶属原则模糊向量的内积与外积模糊向量的内积与外积 定义定义 称向量称向量a = (a1, a2, …, an)是模糊向量是模糊向量, 其其中中0≤ai≤1. 若若ai 只取只取0或或1, 则称则称a = (a1, a2, …, an)是是Boole向量向量. 设设 a = (a1, a2, …, an), b = (b1, b2, …, bn)都是模都是模糊向量，则定义糊向量，则定义 内积内积：： a ○ b = ∨∨{(ak∧∧bk) | 1≤k≤n}；； 外积外积：：a⊙ ⊙b = ∧∧{(ak∨∨bk) | 1≤k≤n}.内积与外积的性质内积与外积的性质(a ○ b )c = a c⊙ ⊙b c ; (a⊙ ⊙b ) c = a c ○ b c.36模糊向量集合族模糊向量集合族 设设A1, A2, …, An是论域是论域X上的上的n个模糊子集个模糊子集, ,称称以模糊集以模糊集A1, A2, …, An为分量的模糊向量为为分量的模糊向量为模糊模糊向量集合族向量集合族，记为，记为A = (A1, A2, …, An). . 若若X 上的上的n个模糊子集个模糊子集A1, A2, …, An的隶属函的隶属函数分别为数分别为A1(x), A2(x) , …, An(x),则定义模糊向量则定义模糊向量集合族集合族 A = (A1, A2, …, An)的隶属函数为的隶属函数为A(x) = ∧∧{A1 (x1), A2 (x2) , … , An(xn)} 或者或者A(x) = [A1 (x1) + A2 (x2) + … + An(xn)]/n.其中其中x = (x1, x2, …, xn)为普通向量为普通向量.37最大隶属原则最大隶属原则 最大隶属原则最大隶属原则Ⅰ Ⅰ 设论域设论域X ={x1, x2, … , xn }上有上有m个模糊子集个模糊子集A1, A2, … , Am( (即即m个模型个模型),),构构成了一个标准模型库成了一个标准模型库, ,若对任一若对任一x0∈∈X, ,有有k∈∈{1, 2, … , m }, ,使得使得Ak(x0)=∨∨{A1(x0), A2(x0), … , Am(x0)}，，则认为则认为x0相对隶属于相对隶属于Ak . . 最大隶属原则最大隶属原则Ⅱ Ⅱ 设论域设论域X上有一个标准模上有一个标准模型型A, ,待识别的对象有待识别的对象有n个：个：x1, x2, … , xn∈∈X, 如果如果有某个有某个xk满足满足A(xk)=∨∨{A(x1), A(x2), … , A(xn)}, 则应优先录取则应优先录取xk . .38 例例1 1 在论域在论域X=[0,100][0,100]分数上建立三个表示分数上建立三个表示学习成绩的模糊集学习成绩的模糊集A=““优优”,”,B =““良良”,”,C =““差差”.”.当一位同学的成绩为当一位同学的成绩为8888分时分时, ,这个成绩是属于哪这个成绩是属于哪一类？一类？A(88) =0.839B(88) =0.740A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0. 根据最大隶属原则根据最大隶属原则Ⅰ,88Ⅰ,88分这个成绩应隶属分这个成绩应隶属于于A, ,即为即为““优优”.”. 例例2 论论域域 X = {x1(71), x2(74), x3(78)}表示三表示三个学生的成绩个学生的成绩, ,那一位学生的成绩最差？那一位学生的成绩最差？C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2,根据最大隶属原则根据最大隶属原则ⅡⅡ，， x1(71)最差最差.41例例3 3 细胞染色体形状的模糊识别细胞染色体形状的模糊识别 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别模糊识别, ,而几何图形常常化为若干个三角图形而几何图形常常化为若干个三角图形, ,故设论域为三角形全体故设论域为三角形全体. .即即X={ (A,B,C )| A+B+C =180, A≥B≥C} 标准模型库标准模型库={={E( (正三角形正三角形),),R( (直角三角形直角三角形), ), I( (等腰三角形等腰三角形),),I∩R( (等腰直角三角形等腰直角三角形),),T( (任意三任意三角形角形)}.)}. 某人在实验中观察到一染色体的几何形状，某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为测得其三个内角分别为94,50,36,94,50,36,即待识别对象即待识别对象为为x0=(94,50,36).=(94,50,36).问问x0应隶属于哪一种三角形？应隶属于哪一种三角形？42先建立标准模型库中先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数各种三角形的隶属函数. 直角三角形的隶属函数直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列应满足下列约束条件：约束条件： (1) (1) 当当A=90时时, R(A,B,C)=1; (2) (2) 当当A=180时时, R(A,B,C)=0; (3) (3) 0≤R(A,B,C)≤1. 因此，不妨定义因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - - |A - - 90|/90. 则则R(x0)=0.955. 或者或者其中其中 p = | A – 90| 则则R(x0)=0.54.43 正三角形的隶属函数正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约应满足下列约束条件：束条件：(1) 当当A = B = C = 60时时, E(A,B,C )=1;(2) 当当A = 180, B = C = 0时时, E(A,B,C)=0;(3) 0≤E(A,B,C)≤1. 因此，不妨定义因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 –– (A –– C)/180.则则E(x0) =0.677. 或者或者其中其中 p = A – C 则则E(x0)=0.02.44 等腰三角形的隶属函数等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约应满足下列约束条件：束条件：(1) (1) 当当A = B 或者或者 B = C时时, I(A,B,C )=1;(2) (2) 当当A = 180, B = 60, C = 0时时, I(A,B,C ) = 0;(3) (3) 0≤I(A,B,C )≤1. 因此，不妨定义因此，不妨定义I(A,B,C ) = 1 –– [(A –– B)∧∧(B –– C)]/60.则则I(x0) =0.766. 或者或者 p = (A –– B)∧∧(B –– C)则则I(x0)=0.10.45等腰直角三角形的隶属函数等腰直角三角形的隶属函数(I∩R)(A,B,C) = I(A,B,C)∧∧R (A,B,C);(I∩R) (x0)=0.766∧∧0.955=0.766.任意三角形的隶属函数任意三角形的隶属函数T(A,B,C) = Ic∩Rc∩Ec= (I∪∪R∪∪E)c.T(x0) =(0.766∨∨0.955∨∨0.677)c = (0.955)c = 0.045. 通过以上计算通过以上计算, ,R(x0) = 0.955最大最大, ,所以所以x0应隶应隶属于直角三角形属于直角三角形. 或者或者(I∩R)(x0) =0.10; T(x0)= (0.54)c = 0.46. 仍仍然是然是R(x0) = 0.54最大最大, ,所以所以x0应隶属于直角三角形应隶属于直角三角形.46阈值原则阈值原则 设论域设论域X ={x1, x2, … , xn }上有上有m个模糊子集个模糊子集A1, A2, … , Am( (即即m个模型个模型),),构成了一个标准模型构成了一个标准模型库库, ,若对任一若对任一x0∈∈X, ,取定水平取定水平 ∈∈[0,1]. 若存在若存在 i1, i2, … , ik, ,使使Aij(x0)≥  ( j =1, 2, …, k),则判决为：则判决为： x0相对隶属于相对隶属于 若若∨∨{Ak(x0)| k =1, 2, …, m}＜＜ , ,则判决为：不则判决为：不能识别能识别, ,应当找原因另作分析应当找原因另作分析. 该方法也适用于判别该方法也适用于判别x0是否隶属于是否隶属于标准模型标准模型Ak. .若若Ak(x0)≥ , ,则判决为：则判决为：x0相对隶属于相对隶属于Ak; 若若Ak(x0)＜＜ , ,则判决为：则判决为： x0相对不隶属于相对不隶属于Ak. .47第三节第三节 择近原则择近原则 设在论域设在论域X ={x1, x2, … , xn}上有上有m个模糊子集个模糊子集A1, A2, … , Am( (即即m个模型个模型),),构成了一个标准模型构成了一个标准模型库库. . 被识别的对象被识别的对象B也是也是X上一个模糊集上一个模糊集, ,它与标它与标准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊识别问题识别问题. . 先将模糊向量的内积与外积的概念扩充先将模糊向量的内积与外积的概念扩充. . 设设A(x), B(x)是论域是论域X上两个模糊子集的隶属上两个模糊子集的隶属函数函数, ,定义定义 内积：内积： A ○ B = ∨∨{A(x) ∧∧B(x) | x∈∈X }；； 外积：外积：A⊙⊙B = ∧∧{A(x)∨∨B(x) | x∈∈X }. 48内积与外积的性质内积与外积的性质(1) (1) (A ○B )c = Ac⊙⊙Bc; (2) (2) (A⊙⊙B )c = Ac○ Bc;(3) (3) A ○ Ac ≤1/2; (4) (4) A⊙⊙Ac ≥1/2.证明证明(1) (1) (A ○ B)c = 1- -∨∨{A(x) ∧∧B(x) | x∈∈X } = ∧∧{[1- - A(x)]∨[∨[1- - B(x)] | x∈∈X }= ∧∧{Ac(x)∨∨Bc(x) | x∈∈X }= Ac⊙⊙Bc.证明证明(3) (3) A ○ Ac =∨∨{A(x) ∧∧[1- - A(x)] | x∈∈X } ≤∨∨{1/2 | x∈∈X }≤1/2.49 下面我们用下面我们用  (A, B)表示两个模糊集表示两个模糊集A, B之间之间的贴近程度的贴近程度( (简称简称贴近度贴近度),),贴近度贴近度  (A, B)有一些有一些不同的定义不同的定义. . 0(A, B) = [A ○ B + (1 - -A⊙ ⊙B)]/2 (格贴近度格贴近度) 1(A, B) = (A ○ B )∧∧(1- - A⊙ ⊙B)择近原则择近原则 设在论域设在论域X = {x1, x2, …, xn}上有上有m个模糊子集个模糊子集A1, A2, … , Am构成了一个标准模型库构成了一个标准模型库, ,B是待识别是待识别的模型的模型. .若有若有k∈∈{1,2,…, m}, 使得使得  (Ak , B) =∨∨{  (Ai , B) | 1≤i≤m},则称则称B与与Ak最贴近最贴近, ,或者说把或者说把B归于归于Ak类类. .这就是这就是择择近原则近原则. .50小麦品种的模糊识别小麦品种的模糊识别(仅对百粒重考虑仅对百粒重考虑)51多个特性的择近原则多个特性的择近原则 设在论域设在论域X ={x1, x2, … , xn}上有上有n个模糊子集个模糊子集A1, A2, … , An构成了一个标准模型库构成了一个标准模型库, ,每个模型又每个模型又由个特性来刻划：由个特性来刻划：Ai =(Ai1, Ai2, … , Aim), i = 1,2,…, n, 待识别的模型待识别的模型B=(B1, B2, … , Bm). . 先求两个模糊向量集合族的贴近度：先求两个模糊向量集合族的贴近度：si =∧∧{  (Aij , Bj) | 1≤j≤m}, i = 1,2,…, n, 若有若有k∈∈{1,2,…, n}, ,使得使得  (Ak , B) =∨∨{si | 1≤i≤n}, ,则称则称B与与Ak最贴近最贴近, ,或者说把或者说把B归于归于Ak类类. . 这就是这就是多个特性的择近原则多个特性的择近原则. .52贴近度的的改进贴近度的的改进格贴近度的不足之处是一般格贴近度的不足之处是一般 0(A, A)≠1.定义定义 (公理化定义公理化定义)若若  (A, B)满足满足①①   (A, A)=1;②②   (A, B)=  (B, A);③③ 若若A≤B≤C, 则则  (A, C)≤  (A, B)∧∧  (B, C).则称则称  (A, B)为为A与与B的贴近度的贴近度. 显然显然, ,公理化定义显得自然、合理、直观公理化定义显得自然、合理、直观, ,避免了格避免了格贴近度的不足之处贴近度的不足之处, ,它具有理论价值它具有理论价值. .但是公理化定义并但是公理化定义并未提供一个计算贴近度的方法未提供一个计算贴近度的方法, ,不便于操作不便于操作. . 于是于是, ,人们一方面尽管觉得格贴近度有缺陷人们一方面尽管觉得格贴近度有缺陷, ,但还是但还是乐意采用易于计算的格贴近度来解决一些实际问题；另乐意采用易于计算的格贴近度来解决一些实际问题；另一方面一方面, ,在实际工作中又给出了许多具体定义在实际工作中又给出了许多具体定义(P145).(P145).53离散型离散型连续型连续型54离散型离散型连续型连续型55离散型离散型连续型连续型56 事实上事实上, ,择近原则的核心就是最大隶属原则择近原则的核心就是最大隶属原则. .如在小麦品种的模糊识别如在小麦品种的模糊识别( (仅对百粒重考虑仅对百粒重考虑) )中中, ,可重新定义可重新定义““早熟早熟””、、““矮秆矮秆””、、““大粒大粒””、、““高肥丰产高肥丰产””、、““中肥丰产中肥丰产””的隶属函数的隶属函数. .重新定义重新定义““早熟早熟””的隶属函数为的隶属函数为重新定义重新定义““矮秆矮秆””的隶属函数为的隶属函数为57例例4 4 大学生体质水平的模糊识别大学生体质水平的模糊识别. . 陈蓓菲等人在福建农学院对陈蓓菲等人在福建农学院对240240名男生的体名男生的体质水平按《中国学生体质健康调查研究》手册上质水平按《中国学生体质健康调查研究》手册上的规定的规定, ,从从1818项体测指标中选出了反映体质水平项体测指标中选出了反映体质水平的的4 4个主要指标个主要指标( (身高、体重、胸围、肺活量身高、体重、胸围、肺活量),),根根据聚类分析法据聚类分析法, ,将将240240名男生分成名男生分成5 5类：类：A1( (体质差体质差),),A2( (体质中下体质中下),),A3( (体质中体质中),),A4( (体质良体质良),),A5 ( (体体质优质优),),作为论域作为论域U( (大学生大学生) )上的一个标准模型库上的一个标准模型库, ,然后用最大隶属原则然后用最大隶属原则, ,去识别一个具体学生的体去识别一个具体学生的体质质. 5. 5类标准体质的类标准体质的4 4个主要指标的观测数据如下个主要指标的观测数据如下表所示表所示. .58身高身高(cm)体重体重(kg)胸围胸围(cm)肺活量肺活量(cm3)A1158.4±3.047.9±8.484.2±2.43380±184A2163.4±4.850.0±8.689.0±6.23866±800A3166.9±3.655.3±9.488.3±7.04128±526A4172.6±4.657.7±8.289.2±6.44349±402A5178.4±4.261.9±8.690.9±8.04536±756 现有一名待识别的大学生现有一名待识别的大学生x = {x1, x2, x3, x4 } = {175, 55.1, 86, 3900}，他应属于哪种类型？，他应属于哪种类型？59第第 3 章章模糊聚类分析模糊聚类分析60第一节第一节 模糊矩阵模糊矩阵 定义定义1 设设R = (rij)m×n，若，若0≤rij≤1，则称，则称R为为模模糊矩阵糊矩阵. 当当rij只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔布尔(Boole)矩阵矩阵. 当模糊方阵当模糊方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素的对角线上的元素rii都为都为1时，称时，称R为为模糊自反矩阵模糊自反矩阵.定义定义2 设设A=(aij)m×n, ,B=(bij)m×n都都是模糊矩阵，是模糊矩阵，相等相等：：A = B  aij = bij；；包含包含：：A≤B  aij≤bij；；并并：：A∪∪B = (aij∨∨bij)m×n；；交交：：A∩B = (aij∧∧bij)m×n；；余余：：Ac = (1- - aij)m×n.61模糊矩阵的并、交、余运算性质模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律：幂等律：A∪∪A = A，，A∩A = A；；交换律：交换律：A∪∪B = B∪∪A，，A∩B = B∩A；；结合律：结合律：(A∪∪B)∪∪C = A∪∪(B∪∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)；；吸收律：吸收律：A∪∪(A∩B) = A，，A∩(A∪∪B) = A；； 分配律：分配律：(A∪∪B)∩C = (A∩C )∪∪(B∩C)；； (A∩B)∪∪C = (A∪∪C )∩(B∪∪C)；；0-10-1律：律： A∪∪O = A，，A∩O = O；； A∪∪E = E，，A∩E = A；；还原律：还原律：(Ac)c = A；；对偶律：对偶律： (A∪∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪∪Bc.62模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂 设设A = (aik)m×s，，B = (bkj)s×n，定义模糊矩阵，定义模糊矩阵A 与与B 的合成为：的合成为：A ○ B = (cij)m×n，，其中其中cij = ∨∨{(aik∧∧bkj) | 1≤k≤s} .模糊方阵的幂模糊方阵的幂 定义：若定义：若A为为 n 阶方阵，定义阶方阵，定义A2 = A ○ A，，A3 = A2 ○ A，，…，，Ak = Ak- -1 ○ A.63合成合成(○ ○ )运算的性质：运算的性质：性质性质1：：(A ○ B) ○ C = A ○ (B ○ C)；；性质性质2：：Ak ○ Al = Ak + l，，(Am)n = Amn；；性质性质3：：A ○ ( B∪∪C ) = ( A ○ B )∪∪( A ○ C )；； ( B∪∪C ) ○ A = ( B ○ A )∪∪( C ○ A )；；性质性质4：：O ○ A = A ○ O = O，，I ○ A=A ○ I =A；；性质性质5：：A≤B，，C≤D  A○C ≤B ○ D.注：合成注：合成(○ )运算关于运算关于(∩)的分配律不成立，即的分配律不成立，即( A∩B ) ○ C   ( A ○ C )∩( B ○ C )64( A∩B ) ° C ( A ° C )∩( B ° C )( A∩B ) ° C   ( A ° C )∩( B ° C )65模糊矩阵的转置模糊矩阵的转置 定义定义 设设A = (aij)m×n, 称称AT = (aijT )n×m为为A的转的转置矩阵，其中置矩阵，其中aijT = aji.转置运算的性质：转置运算的性质：性质性质1：：( AT )T = A；；性质性质2：：( A∪∪B )T = AT∪∪BT，， ( A∩B )T = AT∩BT；；性质性质3：：( A ° B )T = BT ° AT；；( An )T = ( AT )n ；；性质性质4：：( Ac )T = ( AT )c ；；性质性质5：：A≤B  AT ≤BT .66证明性质证明性质3：：( A ○ B )T = BT ○ AT；；( An )T = ( AT )n .证明证明：设：设A=(aij)m×s, B=(bij)s×n, A ○ B=C =(cij)m×n, 记记( A ○ B )T = (cijT )n×m , AT = (aijT )s×m , BT = (bijT )n×s , 由转置的定义知由转置的定义知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT ○ AT= [∨∨(bikT∧∧akjT )]n×m =[∨∨(bki∧∧ajk)]n×m =[∨∨(ajk∧∧bki)]n×m = (cji)n×m = (cijT )n×m= ( A ○ B )T . 67模糊矩阵的模糊矩阵的  - - 截矩阵截矩阵 定义定义7 设设A = (aij)m×n,对任意的对任意的 ∈∈[0, 1]，称，称A = (aij( ))m×n,为模糊矩阵为模糊矩阵A的的  - - 截矩阵截矩阵, 其中其中 当当aij≥  时，时，aij( ) =1；当；当aij＜＜  时，时，aij( ) =0. 显然，显然，A的的  - - 截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵. 68对任意的对任意的 ∈∈[0, 1]，有，有性质性质1：：A≤B  A  ≤B ；；性质性质2：：(A∪∪B)  = A ∪∪B ，，(A∩B)  = A ∩B ；；性质性质3：：( A ○ B )  = A  ○ B ；；性质性质4：：( AT )  = ( A  )T.下面证明性质下面证明性质1：： A≤B  A  ≤B  和性质和性质3.性质性质1的证明：的证明： A≤B  aij≤bij；；当当  ≤aij≤bij时，时， aij( ) =bij( ) =1；；当当aij＜＜  ≤bij时，时， aij( ) =0, bij( ) =1；；当当aij≤bij＜＜ 时，时， aij( ) = bij( ) =0；；综上所述综上所述aij( )≤bij( )时，时， 故故A  ≤B  .69性质性质3的证明：的证明：设设A=(aij)m×s, B=(bij)s×n, A °B=C =(cij)m×n,cij( ) =1 cij≥  ∨∨(aik∧∧bkj)≥  k, (aik∧∧bkj)≥  k, aik ≥  , bkj≥  k, aik( ) =bkj( ) =1  ∨∨(aik( )∧∧bkj( ))=1cij( ) =0 cij＜＜  ∨∨(aik∧∧bkj)＜＜  k, (aik∧∧bkj)＜＜  k, aik＜＜  或或 bkj＜＜  k, aik( ) =0或或bkj( ) =0 ∨∨(aik( )∧∧bkj( ))=0所以所以, cij( ) =∨∨(aik( )∧∧bkj( )).( A ° B )  = A  ° B  .70第二第二节节 模糊关系模糊关系 与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广系是普通关系的推广. . 设有论域设有论域X，，Y，，X   Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R 称称为从为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系. 模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射R : X   Y [0,1].并称隶属度并称隶属度R (x , y ) 为为 (x , y )关于模糊关系关于模糊关系 R 的的相关程度相关程度. 特别地，当特别地，当 X =Y 时，时，称之为称之为 X 上各元素之上各元素之间的间的模糊关系模糊关系.71模糊关系的运算模糊关系的运算 由于由于模糊关系模糊关系 R就是就是X   Y 的一个模糊子集，的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质的运算及性质.设设R，，R1，，R2均为从均为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.相等相等：：R1= R2  R1(x, y) = R2(x, y)；；包含包含：： R1  R2  R1(x, y)≤R2(x, y)；；并并：： R1∪∪R2 的隶属函数为的隶属函数为 (R1∪∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨∨R2(x, y)；；交交：： R1∩R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧∧R2(x, y)；；余余：：Rc 的隶属函数为的隶属函数为Rc (x, y) = 1- - R(x, y).72 (R1∪∪R2 )(x, y)表示表示(x, y)对模糊关系对模糊关系“R1或者或者R2”的相关程度，的相关程度， (R1∩R2 )(x, y)表示表示(x, y)对模糊对模糊关系关系“R1且且R2”的相关程度，的相关程度，Rc (x, y)表示表示(x, y)对对模糊关系模糊关系“非非R”的相关程度的相关程度.模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 对于有限论域对于有限论域 X = {x1, x2, …… , xm}和和Y = { y1, y2, …… , yn}，则，则X 到到Y 模糊关系模糊关系R可用可用m×n 阶模糊阶模糊矩阵表示，即矩阵表示，即R = (rij)m×n，，其中其中rij = R (xi , yj )∈∈[0, 1]表示表示(xi , yj )关于模糊关系关于模糊关系R 的相关程度的相关程度. . 又若又若R为布尔矩阵时为布尔矩阵时, ,则关系则关系R为普通关系为普通关系, ,即即xi 与与 yj 之间要么有关系之间要么有关系(rij = 1), ,要么没有关系要么没有关系( rij = 0 ).73 例例 设身高论域设身高论域X ={140, 150, 160, 170, 180} (单位：单位：cm), 体重论域体重论域Y ={40, 50, 60, 70, 80}(单位：单位：kg), ,下表给出了身高与体重的模糊关系下表给出了身高与体重的模糊关系. .405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.8174模糊关系的合成模糊关系的合成 设设 R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系, R2 是是 Y 到到 Z 的关系的关系, 则则R1与与 R2的合成的合成 R1 ○ R2是是 X 到到 Z 上的一个关系上的一个关系.(R1 ○ R2) (x, z) = ∨∨{[R1 (x, y)∧∧R2 (y, z)]| y∈∈Y } 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成矩阵的合成. 设设X = {x1, x2, ……, xm}, Y = { y1 , y2 , …… , ys}, Z= {z1, z2, …… , zn}，且，且X 到到Y 的的模糊模糊关系关系R1 = (aik)m×s，，Y 到到Z 的的模糊模糊关系关系R2 = (bkj)s×n，则，则X 到到Z 的的模糊模糊关关系可表示为系可表示为模糊模糊矩阵的合成：矩阵的合成：R1 ○ R2 = (cij)m×n，，其中其中cij = ∨∨{(aik∧∧bkj) | 1≤k≤s}.75模糊关系合成运算的性质模糊关系合成运算的性质性质性质1：：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)；； 性质性质2：：A ° ( B∪∪C ) = ( A ° B )∪∪( A ° C )；； ( B∪∪C ) ° A = ( B ° A )∪∪( C ° A )；；性质性质3：：( A ° B )T = BT ° AT；；性质性质4：：A   B，，C   D  A ° C   B ° D.注：注：(1) 合成合成(° )运算关于运算关于(∩)的分配律不成立的分配律不成立, ,即即( A∩B ) ° C   ( A ° C )∩( B ° C ) (2) 这些性质在有限论域情况下这些性质在有限论域情况下, ,就是模糊矩就是模糊矩阵合成运算的性质阵合成运算的性质.76第三节第三节 模糊等价矩阵模糊等价矩阵模糊等价关系模糊等价关系 若模糊关系若模糊关系R是是X上上各元素之间的各元素之间的模糊关系，模糊关系，且满足：且满足： (1) (1)自反性：自反性：R(x, x) =1；； (2) (2)对称性：对称性：R(x, y) =R(y, x)；； (3) (3)传递性：传递性：R2 R, 则称则称模糊关系模糊关系R是是X上上的一个的一个模糊等价关系模糊等价关系. . 当论域当论域X = {x1, x2, ……, xn}为有限时为有限时, X 上的一上的一个个模糊等价关系模糊等价关系R就是模糊等价矩阵就是模糊等价矩阵, 即即R满足：满足：I ≤R ( rii =1 )RT=R( rij= rji)R2≤R.R2≤R ( ∨∨{(rik∧∧rkj) | 1≤k≤n} ≤ rij) .77模糊等价矩阵的基本定理模糊等价矩阵的基本定理 定理定理1 若若R具有自反性具有自反性(I≤R)和传递性和传递性(R2≤R), 则则 R2 = R. 定理定理2 若若R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵,则则对任意对任意 ∈∈[0, 1]，，R 是等价的是等价的Boole矩阵矩阵.  ∈∈[0,1]，，A≤BA ≤B ；；(A°B) =A °B ；；( AT )  = ( A )T 证明如下：证明如下： (1) (1)自反性：自反性：I≤R ∈∈[0,1]，，I ≤R     ∈∈[0,1]，，I ≤R ，即，即R 具有具有自反性；自反性； (2) (2)对称性对称性：：RT = R (RT)  = R   (R )T = R ，即，即R 具有具有对称性；对称性； (3) (3)传递性传递性：：R2≤R(R )2≤R ，即，即R 具有具有传传递性递性. .78 定理定理3 若若R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵,则对任意的则对任意的0≤ ＜＜ ≤1, R  所决定的分类中的每一个类所决定的分类中的每一个类是是R 决定的分类中的某个类的子类决定的分类中的某个类的子类. 证明：对于论域证明：对于论域 X = {x1, x2, …, xn}，若，若 xi , xj 按按R 分在一类，则有分在一类，则有rij( ) = 1  rij≥   rij≥    rij( ) =1，，即若即若 xi , xj 按按R 也分在一类也分在一类. 所以，所以，R  所决定的分类中的每一个类是所决定的分类中的每一个类是R  决决定的分类中的某个类的子类定的分类中的某个类的子类.79模糊相似关系模糊相似关系 若模糊关系若模糊关系 R 是是 X 上各元素之间的上各元素之间的模糊关模糊关系，且满足：系，且满足： (1) 自反性：自反性：R( x , x ) = 1；； (2) 对称性：对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ；； 则称则称模糊关系模糊关系 R 是是 X 上的一个上的一个模糊相似关系模糊相似关系. 当论域当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时，为有限时，X 上的一上的一个个模糊相似关系模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即就是模糊相似矩阵，即R满足：满足： (1) 自反性：自反性：I ≤R ( rii =1 )；； (2) 对称性：对称性：RT = R ( rij = rji ).80模糊相似矩阵的性质模糊相似矩阵的性质 定理定理1 若若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自是模糊相似矩阵，则对任意的自然数然数 k，，Rk 也是模糊相似矩阵也是模糊相似矩阵. 定理定理2 若若R 是是n阶模糊相似矩阵，则存在一阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数个最小自然数 k (k≤n )，对于一切大于，对于一切大于k 的自然的自然数数 l，恒有，恒有Rl = Rk，即，即Rk 是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时称此时称Rk为为R的传递闭包，记作的传递闭包，记作 t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵出一个模糊等价矩阵.平方法求传递闭包平方法求传递闭包 t (R)：：RR2R4R8R16…81第四第四节节 模糊聚类分析模糊聚类分析数据标准化数据标准化 设论域设论域X = {x1, x2, …, xn}为被分类对象为被分类对象, ,每个每个对象又由对象又由m个指标表示其形状个指标表示其形状: :xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n于是于是, ,得到原始数据矩阵为得到原始数据矩阵为82平移平移 • 标准差变换标准差变换其中其中平移平移 • 极差变换极差变换83模糊相似矩阵建立方法模糊相似矩阵建立方法相似系数法相似系数法 ----夹角余弦法夹角余弦法84相似系数法相似系数法 ----相关系数法相关系数法其中其中85距离法距离法rij = 1 – c d (xi, xj )其中其中c为适当选取的参数为适当选取的参数.海明距离海明距离欧氏距离欧氏距离切比雪夫距离切比雪夫距离d (xi, xj ) = ∨∨{ | xik- - xjk | , 1≤k≤m}86Boole矩阵法：矩阵法： 定理：设定理：设 R 是论域是论域 X = {x1, x2, …, xn}上的一上的一个相似的个相似的 Boole 矩阵，则矩阵，则 R 具有传递性具有传递性 (当当R是是等价等价Boole矩阵时矩阵时)  矩阵矩阵 R 在任一排列下的矩在任一排列下的矩阵都没有形如阵都没有形如的特殊子矩阵的特殊子矩阵.87Boole矩阵法的步骤如下：矩阵法的步骤如下：(1)求模糊相似矩阵的求模糊相似矩阵的  - -截矩阵截矩阵R  ；；(2) 若若R 在某一排列下的矩阵有形如在某一排列下的矩阵有形如的特殊子矩阵的特殊子矩阵, ,则将则将R  中上述特殊形式子矩阵的中上述特殊形式子矩阵的0改为改为1，直到在任一排列下，直到在任一排列下R 中不再产生上述特殊中不再产生上述特殊形式子矩阵为止形式子矩阵为止.88最佳分类的确定最佳分类的确定 在模糊聚类分析中，对于各个不同的在模糊聚类分析中，对于各个不同的 ∈[0,1]∈[0,1]，可得到不同的分类，从而形成，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的情况是比较形象和直观的. . 但在许多实际问题中，需要给出样本但在许多实际问题中，需要给出样本的一个具体分类，这就提出了如何确定最的一个具体分类，这就提出了如何确定最佳分类的问题佳分类的问题. .89 设设X = (xij)n×m为为n个元素个元素m个指标的原始数据个指标的原始数据矩阵矩阵. 为总体样本的中心向量为总体样本的中心向量. 对应于对应于  值的分类数为值的分类数为r，第，第 j 类的样本数为类的样本数为nj，第，第 j 类的样本标记为类的样本标记为第第 j 类样本的中心向量为类样本的中心向量为作作F- - 统计量：统计量：90 如果满足不等式如果满足不等式F＞＞F  ( r - -1, n - -r )的的F值不值不止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，或者进一步考查差或者进一步考查差 ( F - - F  )/F  的大小，从较大的大小，从较大者中找一个满意的者中找一个满意的F值即可值即可. 实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到比较满意的分类比较满意的分类. .91蠓的分类蠓的分类 左图给出了左图给出了9只只Af和和6只只Apf蠓的触角长和翼长蠓的触角长和翼长数据数据, , 其中其中“●”“●”表示表示Apf,“○”,“○”表示表示Af. .根据触角长根据触角长和翼长来识别一个标本是和翼长来识别一个标本是Af还是还是Apf是重要的是重要的. . ① ① 给给定定一一只只Af族族或或Apf族族的的蠓蠓, ,如如何何正正确确地地区区分分它它属属于哪一族？于哪一族？ ② ② 将将你你的的方方法法用用于于触触角角长长和和翼翼长长分分 别别 为为(1.24,1.80), (1.28,1.84), (1.40,2.04)三个标本三个标本. .9293模糊判别方法模糊判别方法 先将已知蠓重新进行分类先将已知蠓重新进行分类. .94 当当  = 0.919时时, ,分为分为3 3类类{ {1, 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8}, }, { {9},{},{10, 11, 12, 13, 14, 15},},三类的中心向量分别三类的中心向量分别为为( (1.395, 1.770),(),(1.560, 2.080),(),(1.227, 1.927).).用平移极差变换用平移极差变换将它们分别变为将它们分别变为A1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓蠓),A2 = (0.390, 1.000) (Af 蠓蠓),A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓蠓),再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为B1= (0.015, 0.672),B2 = (0.062, 0.719),B3 = (0.203, 0.953 ). .95采用贴近度采用贴近度 3 (A, B) =计算得：计算得： 3(A1, B1) = 0. 89,  3(A2, B1) = 0.65,  3(A3, B1) = 0.92. 3(A1, B2) = 0.89,  3(A2, B2) = 0.69,  3(A3, B2) = 0.92.  3(A1, B3) = 0.84,  3(A2, B3) = 0.88,  3(A3, B3) = 0.83.s 根据择近原则及上述计算结果根据择近原则及上述计算结果, ,第一只待识第一只待识别的蠓别的蠓(1.24, 1.80)属于第三类属于第三类, ,即即Apf 蠓蠓；第二只；第二只待识别的蠓待识别的蠓(1.28, 1.84)属于第三类属于第三类, ,即即Apf 蠓蠓；第；第三只待识别的蠓三只待识别的蠓(1.40, 2.04)属于第二类属于第二类, ,即即Af 蠓蠓. .96 ③ ③ 设设Af是传粉益虫是传粉益虫, Apf是某种疾病的载体是某种疾病的载体, 是否应修改你的分类方法？若需修改是否应修改你的分类方法？若需修改, 为什么？为什么？9720002000网易杯全国大学生数学建模竞赛网易杯全国大学生数学建模竞赛 DNADNA序列分类序列分类 20002000年年6 6月，人类基因组计划中月，人类基因组计划中DNADNA全序列草图完成，全序列草图完成，预计预计20012001年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录着自身生老病死及遗传进化的全部信息的本记录着自身生老病死及遗传进化的全部信息的““天书天书””。

这本大自然写成的这本大自然写成的““天书天书””是由是由4 4个字符个字符A A，，T T，，C C，，G G按按一定顺序排成的长约一定顺序排成的长约3030亿的序列，其中没有亿的序列，其中没有““断句断句””也没也没有标点符号，除了这有标点符号，除了这4 4个字符表示个字符表示4 4种碱基以外，人们对它种碱基以外，人们对它包含的包含的““内容内容””知之甚少，难以读懂破译这部世界上最知之甚少，难以读懂破译这部世界上最巨量信息的巨量信息的““天书天书””是二十一世纪最重要的任务之一在是二十一世纪最重要的任务之一在这个目标中，研究这个目标中，研究DNADNA全序列具有什么结构，由这全序列具有什么结构，由这4 4个字符个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这部排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这部天书的基础，是生物信息学（天书的基础，是生物信息学（BioinformaticsBioinformatics）最重要的）最重要的课题之一课题之一 98虽虽然然人人类类对对这这部部““天天书书””知知之之甚甚少少，，但但也也发发现现了了DNADNA序序列列中中的的一一些些规规律律性性和和结结构构。

例例如如，，在在全全序序列列中中有有一一些些是是用用于于编编码码蛋蛋白白质质的的序序列列片片段段，，即即由由这这4 4个个字字符符组组成成的的6464种种不不同同的的3 3字字符符串串，，其其中中大大多多数数用用于于编编码码构构成成蛋蛋白白质质的的2020种种氨氨基基酸酸又又例例如如，，在在不不用用于于编编码码蛋蛋白白质质的的序序列列片片段段中中，，A A和和T T的的含含量量特特别别多多些些，，于于是是以以某某些些碱碱基基特特别别丰丰富富作作为为特特征征去去研研究究DNADNA序序列列的的结结构构也也取取得得了了一一些些结结果果此此外外，，利利用用统统计计的的方方法法还还发发现现序序列列的的某某些些片片段段之之间间具具有有相相关关性性，，等等等等这这些些发发现现让让人人们们相相信信，，DNADNA序序列列中中存存在在着着局局部部的的和和全全局局性性的的结结构构，，充充分分发发掘掘序序列列的的结结构构对对理理解解DNADNA全全序序列列是是十十分分有有意意义义的的目目前前在在这这项项研研究究中中最最普普通通的的思思想想是是省省略略序序列列的的某某些些细细节节，，突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。

突出特征，然后将其表示成适当的数学对象99这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构作作为为研研究究DNADNA序序列列的的结结构构的的尝尝试试，，提提出出以以下下对对序序列列集集合合进进行行分分类类的的问题：问题： 1 1））下下面面有有2020个个已已知知类类别别的的人人工工制制造造的的序序列列（（见见下下页页）），，其其中中序序列列标标号号1—10 1—10 为为A A类类，，11-2011-20为为B B类类请请从从中中提提取取特特征征，，构构造造分分类类方方法法，，并并用用这这些些已已知知类类别别的的序序列列，，衡衡量量你你的的方方法法是是否否足足够够好好然然后后用用你你认认为为满满意意的的方方法法，，对对另另外外2020个个未未标标明明类类别别的的人人工工序序列列（（标标号号21—4021—40））进进行行分分类类，，把把结结果果用用序序号号（（按按从从小小到到大大的的顺顺序序））标标明明它它们们的类别（无法分类的不写入）：的类别（无法分类的不写入）：A A类类 ；； B B类类 。

请请详详细细描描述述你你的的方方法法，，给给出出计计算算程程序序如如果果你你部部分分地地使使用用了了现成的分类方法，也要将方法名称准确注明现成的分类方法，也要将方法名称准确注明这这4040个个序序列列也也放放在在如如下下地地址址的的网网页页上上，，用用数数据据文文件件Art-model-Art-model-data data 标识，供下载：标识，供下载：网易网址：网易网址： 教育频道教育频道 试题；试题；教育网：教育网： News mcm2000 News mcm2000教育网：教育网： 2 2））在在同同样样网网址址的的数数据据文文件件Nat-model-data Nat-model-data 中中给给出出了了182182个个自自然然DNADNA序序列列，，它它们们都都较较长长用用你你的的分分类类方方法法对对它它们们进行分类，像进行分类，像1 1）一样地给出分类结果一样地给出分类结果提提示示：：衡衡量量分分类类方方法法优优劣劣的的标标准准是是分分类类的的正正确确率率，，构构造造分分类类方方法法有有许许多多途途径径，，例例如如提提取取序序列列的的某某些些特特征征，，给给出出它它们们的的数数学学表表示示：：几几何何空空间间或或向向量量空空间间的的元元素素等等，，然然后后再再选选择择或或构构造造适适合合这这种种数数学学表表示示的的分分类类方方法法；；又又例例如如构构造造概概率率统计模型，然后用统计方法分类等统计模型，然后用统计方法分类等。

 1011.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggagga1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttggcgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggtttaaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggtttaaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga3.gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacatacacggcggcaacggacggaacggaggaaggagggcggcaatcggtacggaggcggcgga3.gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacatacacggcggcaacggacggaacggaggaaggagggcggcaatcggtacggaggcggcgga4.atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagcttagatgcatatgttttttaaataaaatttgtattattatggtatcataaaaaaaggttgcga4.atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagcttagatgcatatgttttttaaataaaatttgtattattatggtatcataaaaaaaggttgcga5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggctacaccaccgtttcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacggggag5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggctacaccaccgtttcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacggggag6.atggaaaattttcggaaaggcggcaggcaggaggcaaaggcggaaaggaaggaaacggcggatatttcggaagtggatattaggagggcggaataaaggaacggcggcaca6.atggaaaattttcggaaaggcggcaggcaggaggcaaaggcggaaaggaaggaaacggcggatatttcggaagtggatattaggagggcggaataaaggaacggcggcaca7.atgggattattgaatggcggaggaagatccggaataaaatatggcggaaagaacttgttttcggaaatggaaaaaggactaggaatcggcggcaggaaggatatggaggcg7.atgggattattgaatggcggaggaagatccggaataaaatatggcggaaagaacttgttttcggaaatggaaaaaggactaggaatcggcggcaggaaggatatggaggcg8.atggccgatcggcttaggctggaaggaacaaataggcggaattaaggaaggcgttctcgcttttcgacaaggaggcggaccataggaggcggattaggaacggttatgagg8.atggccgatcggcttaggctggaaggaacaaataggcggaattaaggaaggcgttctcgcttttcgacaaggaggcggaccataggaggcggattaggaacggttatgagg9.atggcggaaaaaggaaatgtttggcatcggcgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcgaaaatcgtgggcggcggcagcgctggccggagtttgaggagcgcg9.atggcggaaaaaggaaatgtttggcatcggcgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcgaaaatcgtgggcggcggcagcgctggccggagtttgaggagcgcg10.tggccgcggaggggcccgtcgggcgcggatttctacaagggcttcctgttaaggaggtggcatccaggcgtcgcacgctcggcgcggcaggaggcacgcgggaaaaaacg10.tggccgcggaggggcccgtcgggcgcggatttctacaagggcttcctgttaaggaggtggcatccaggcgtcgcacgctcggcgcggcaggaggcacgcgggaaaaaacg11.gttagatttaacgttttttatggaatttatggaattataaatttaaaaatttata11.gttagatttaacgttttttatggaatttatggaattataaatttaaaaatttatattttttaggtaagtaatccaacgtttttattactttttaaaattaaatatttattttttttaggtaagtaatccaacgtttttattactttttaaaattaaatatttatt12.gtttaattactttatcatttaatttaggttttaattttaaatttaatttaggtaagatgaatttggttttttttaaggtagttatttaattatcgttaaggaaagttaaa12.gtttaattactttatcatttaatttaggttttaattttaaatttaatttaggtaagatgaatttggttttttttaaggtagttatttaattatcgttaaggaaagttaaa13.gtattacaggcagaccttatttaggttattattattatttggattttttttttttttttttttaagttaaccgaattattttctttaaagacgttacttaatgtcaatgc13.gtattacaggcagaccttatttaggttattattattatttggattttttttttttttttttttaagttaaccgaattattttctttaaagacgttacttaatgtcaatgc14.gttagtcttttttagattaaattattagattatgcagtttttttacataagaaaatttttttttcggagttcatattctaatctgtctttattaaatcttagagatatta14.gttagtcttttttagattaaattattagattatgcagtttttttacataagaaaatttttttttcggagttcatattctaatctgtctttattaaatcttagagatatta15.gtattatatttttttatttttattattttagaatataatttgaggtatgtgtttaaaaaaaatttttttttttttttttttttttttttttttaaaatttataaatttaa15.gtattatatttttttatttttattattttagaatataatttgaggtatgtgtttaaaaaaaatttttttttttttttttttttttttttttttaaaatttataaatttaa16.gttatttttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttctaaaattggtctctggatcgataatgtaaacttattgaatctatagaattacattattgat16.gttatttttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttctaaaattggtctctggatcgataatgtaaacttattgaatctatagaattacattattgat17.gtatgtctatttcacggaagaatgcaccactatatgatttgaaattatctatggctaaaaaccctcagtaaaatcaatccctaaacccttaaaaaacggcggcctatccc17.gtatgtctatttcacggaagaatgcaccactatatgatttgaaattatctatggctaaaaaccctcagtaaaatcaatccctaaacccttaaaaaacggcggcctatccc18.gttaattatttattccttacgggcaattaattatttattacggttttatttacaattttttttttttgtcctatagagaaattacttacaaaacgttattttacatactt18.gttaattatttattccttacgggcaattaattatttattacggttttatttacaattttttttttttgtcctatagagaaattacttacaaaacgttattttacatactt19.gttacattatttattattatccgttatcgataattttttacctcttttttcgctgagtttttattcttactttttttcttctttatataggatctcatttaatatcttaa19.gttacattatttattattatccgttatcgataattttttacctcttttttcgctgagtttttattcttactttttttcttctttatataggatctcatttaatatcttaa20.gtatttaactctctttactttttttttcactctctacattttcatcttctaaaactgtttgatttaaacttttgtttctttaaggattttttttacttatcctctgttat20.gtatttaactctctttactttttttttcactctctacattttcatcttctaaaactgtttgatttaaacttttgtttctttaaggattttttttacttatcctctgttat10221.tttagctcagtccagctagctagtttacaatttcgacaccagtttcgcaccatcttaaatttcgatccgtaccgtaatttagcttagatttggatttaaaggatttagattga22.tttagtacagtagctcagtccaagaacgatgtttaccgtaacgtqacgtaccgtacgctaccgttaccggattccggaaagccgattaaggaccgatcgaaaggg 23.cgggcggatttaggccgacggggacccgggattcgggacccgaggaaattcccggattaaggtttagcttcccgggatttagggcccggatggctgggaccc24.tttagctagctactttagctatttttagtagctagccagcctttaaggctagctttagctagcattgttctttattgggacccaagttcgacttttacgatttagttttgaccgt25.gaccaaaggtgggctttagggacccgatgctttagtcgcagctggaccagttccccagggtattaggcaaaagctgacgggcaattgcaatttaggcttaggcca26.gatttactttagcatttttagctgacgttagcaagcattagctttagccaatttcgcatttgccagtttcgcagctcagttttaacgcgggatctttagcttcaagctttttac 27.ggattcggatttacccggggattggcggaacgggacctttaggtcgggacccattaggagtaaatgccaaaggacgctggtttagccagtccgttaaggcttag28.tccttagatttcagttactatatttgacttacagtctttgagatttcccttacgattttgacttaaaatttagacgttagggcttatcagttatggattaatttagcttattttcga29.ggccaattccggtaggaaggtgatggcccgggggttcccgggaggatttaggctgacgggccggccatttcggtttagggagggccgggacgcgttagggc30.cgctaagcagctcaagctcagtcagtcacgtttgccaagtcagtaatttgccaaagttaaccgttagctgacgctgaacgctaaacagtattagctgatgactcgta31.ttaaggacttaggctttagcagttactttagtttagttccaagctacgtttacgggaccagatgctagctagcaatttattatccgtattaggcttaccgtaggtttagcgt32.gctaccgggcagtctttaacgtagctaccgtttagtttgggcccagccttgcggtgtttcggattaaattcgttgtcagtcgctctrtgggtttagtcattcccaaaagg33.cagttagctgaatcgtttagccatttgacgtaaacatgattttacgtacgtaaattttagccctgacgtttagctaggaatttatgctgacgtagcgatcgactttagcac34.cggttagggcaaaggttggatttcgacccagggggaaagcccgggacccgaacccagggctttagcgtaggctgacgctaggcttaggttggaacccggaaa35.gcggaagggcgtaggtttgggatgcttagccgtaggctagctttcgacacgatcgattcgcaccacaggataaaagttaagggaccggtaagtcgcggtagcc36.ctagctacgaacgctttaggcgcccccgggagtagtcgttaccgttagtatagcagtcgcagtcgcaattcgcaaaagtccccagctttagccccagagtcgacg37.gggatgctgacgctggttagctttaggcttagcgtagctttagggccccagtctgcaggaaatgcccaaaggaggcccaccgggtagatgccasagtgcaccgt38.aacttttagggcatttccagttttacgggttattttcccagttaaactttgcaccattttacgtgttacgatttacgtataatttgaccttattttggacactttagtttgggttac39.ttagggccaagtcccgaggcaaggaattctgatccaagtccaatcacgtacagtccaagtcaccgtttgcagctaccgtttaccgtacgttgcaagtcaaatccat40.ccattagggtttatttacctgtttattttttcccgagaccttaggtttaccgtactttttaacggtttacctttgaaatttttggactagcttaccctggatttaacggccagttt103二十种氨基酸分类表二十种氨基酸分类表名称名称英文简称英文简称单字符号单字符号可能的碱基组成可能的碱基组成苷氨酸苷氨酸GlyGggt、、ggc、、ggg、、gga丙氨酸丙氨酸AlaAgct、、gcc、、gcg、、gca缬氨酸缬氨酸ValVgtt、、gtc、、gtg、、gta亮氨酸亮氨酸LcuLttg、、tta、、ctt、、ctc、、ctg、、cta异亮氨酸异亮氨酸HeIatt、、atc、、ata苯丙氨酸苯丙氨酸PheFttt、、ttc酪氨酸酪氨酸TyrYtat、、tac色氨酸色氨酸TrpWtgg丝氨酸丝氨酸ScrStct、、tcc、、tcg、、tca、、agt、、agc104苏氨酸苏氨酸ThrTact、、acc、、acg、、aca天冬氨酸天冬氨酸AspDgat、、gac谷氨酸谷氨酸GluEgag、、gaa天冬酰胺天冬酰胺AsnNaag、、aaa谷氨酰胺谷氨酰胺GlnQcag、、caa精氨酸精氨酸ArgRcgt、、cgc、、cgg、、cga脯氨酸脯氨酸ProPcct、、cc、、ccg、、cca半胱氨酸半胱氨酸CysCtgt、、tgc甲硫氨酸甲硫氨酸MctMatg组氨酸组氨酸HisHcat、、cac赖氨酸赖氨酸LysKaag、、aaa105 各各DNA序序列列中中每每种种氨氨基基酸酸的的摩摩尔尔含含量量多多少少是是由由序序列列的的结结构构及及其其DNA分分子子的的分分子子量量等等特特征征决决定定的的，，而而其其中中大大多多数数又又是是用用于于编编码码蛋蛋白白质质，，决决定定DNA的的属属性性。

因因此此，，对对DNA进进行行分分类类，，充充分分统统计计DNA分分子子内内每每种种氨氨基基酸酸的的绝绝对对数数，，具具有重要意义有重要意义 其其中中20个个已已知知类类别别的的人人工工制制造造的的各各DNA序序列列中中各各种种氨氨基酸绝对数如下：基酸绝对数如下：106(1) (1) 已知类别已知类别DNA序列的模糊分类序列的模糊分类 提取已知类别的提取已知类别的20个个DNA序列的序列的A,T,C,GA,T,C,G的百的百分含量构成如下矩阵：分含量构成如下矩阵：X = (xij)20×4, ,其中其中xi1, xi2, xi3, xi4分别表示第个分别表示第个DNA系列中的系列中的A,T,C,GA,T,C,G的百分含量的百分含量. . 采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵, ,然后用然后用传递闭包法进行聚类传递闭包法进行聚类, ,动态聚类图如下动态聚类图如下. .107108(2) (2) 确定最佳分类确定最佳分类将将20个已知个已知DNA序列分成如下序列分成如下3类为最佳：类为最佳：A1 1 ={1,2,3,5,6,7,8 9,10},={1,2,3,5,6,7,8 9,10},A2 2 ={4,17},={4,17},A3 3 ={11,12,13,14,15,16,18,19,20}.={11,12,13,14,15,16,18,19,20}.建立标准模型库：建立标准模型库：A1, A2, A3. .(3) (3) 未知未知DNADNA序列的模糊识别序列的模糊识别 采用格贴近度公式：采用格贴近度公式： 0(A, B) =[A ○B + (1 - -A⊙ ⊙B)]/2,将隶属于将隶属于A1的的DNADNA序列序列归为归为A A类类, ,隶属于隶属于A3的的DNADNA序序列列归为归为B B类类, ,隶属于隶属于A2的的DNA序列序列归为非归为非A,BA,B类类. .109第四章 模糊综合评价方法 很多时候，人们不仅要从多种因素考虑，很多时候，人们不仅要从多种因素考虑，且一般只能用模糊语言描述。

如显示器的舒且一般只能用模糊语言描述如显示器的舒适性，人员的政治立场坚定，某建设方案的适性，人员的政治立场坚定，某建设方案的社会影响等社会影响等 评价者从诸因素出发，参照有关信息，评价者从诸因素出发，参照有关信息，根据其判断对复杂问题分别作出根据其判断对复杂问题分别作出“大、中、小大、中、小”；；“高、中、低高、中、低”；；“优、良、可、劣优、良、可、劣”；；“好、好、较好、一般、较差、差较好、一般、较差、差”等程度性的模糊评价等程度性的模糊评价 110 多因素评价较困难，因为要同时综合考虑的多因素评价较困难，因为要同时综合考虑的因素很多，而各因素重要程度又不同，使问题变因素很多，而各因素重要程度又不同，使问题变得很复杂如用经典数学方法来解决综合评价问得很复杂如用经典数学方法来解决综合评价问题，就显得很困难而模糊数学则为解决模糊综题，就显得很困难而模糊数学则为解决模糊综合评价问题提供了理论依据，从而找到了一种简合评价问题提供了理论依据，从而找到了一种简便而有效的评价与决策方法便而有效的评价与决策方法 可通过模糊数学提供的方法进行运算，得出可通过模糊数学提供的方法进行运算，得出定量的综合评价结果，从而为正确决策提供依据。

定量的综合评价结果，从而为正确决策提供依据第一节. 模糊综合评价方法111给定评价指标因素（着眼点）的有限集合给定评价指标因素（着眼点）的有限集合给定评价指标因素（着眼点）的有限集合给定评价指标因素（着眼点）的有限集合和评语的有限集合和评语的有限集合和评语的有限集合和评语的有限集合则相对某一单项评价因素则相对某一单项评价因素则相对某一单项评价因素则相对某一单项评价因素u u1 1而言，评价结果可以用评而言，评价结果可以用评而言，评价结果可以用评而言，评价结果可以用评语集合语集合语集合语集合V V这一论域上的模糊子集这一论域上的模糊子集这一论域上的模糊子集这一论域上的模糊子集 来描述：来描述：来描述：来描述：并简记为向量形式并简记为向量形式第二节、模糊综合评价的数学模型112 如对教材进行评价，假如评价科学性如对教材进行评价，假如评价科学性如对教材进行评价，假如评价科学性如对教材进行评价，假如评价科学性(u(u1 1) )、实践、实践、实践、实践性性性性(u(u2 2) ) 、适应性、适应性、适应性、适应性(u(u3 3) ) 、先进性、先进性、先进性、先进性(u(u4 4) ) 、专业性、专业性、专业性、专业性(u(u5 5) )等等等等方面，则评价指标因素集为方面，则评价指标因素集为方面，则评价指标因素集为方面，则评价指标因素集为若评价结果划分为若评价结果划分为若评价结果划分为若评价结果划分为“ “很好很好很好很好” (v” (v1 1) ) 、、、、“ “好好好好” (v” (v2 2) ) 、、、、“ “一般一般一般一般” (v” (v3 3) ) 、、、、“ “差差差差” (v” (v4 4) )四个等级，评语集则为四个等级，评语集则为四个等级，评语集则为四个等级，评语集则为第二节、模糊综合评价的数学模型113如只对科学性如只对科学性如只对科学性如只对科学性(u(u1 1) )一个因素来评定该教材，若采用民一个因素来评定该教材，若采用民一个因素来评定该教材，若采用民一个因素来评定该教材，若采用民意测验的方法，结果意测验的方法，结果意测验的方法，结果意测验的方法，结果16%16%的人说的人说的人说的人说“ “很好很好很好很好” ”，，，，42%42%的人说的人说的人说的人说“ “好好好好” ”，，，， 39% 39%的人说的人说的人说的人说“ “一般一般一般一般” ”，，，， 3% 3%的人说的人说的人说的人说“ “差差差差” ”，则评价，则评价，则评价，则评价结果可用模糊集结果可用模糊集结果可用模糊集结果可用模糊集 描述描述描述描述评价结果评价结果评价结果评价结果 是评语集合是评语集合是评语集合是评语集合V V这一论域上的模糊子集。

这一论域上的模糊子集这一论域上的模糊子集这一论域上的模糊子集 可简记为向量形式可简记为向量形式可简记为向量形式可简记为向量形式第二节、模糊综合评价的数学模型就是对被评对象所做的单因素评价就是对被评对象所做的单因素评价就是对被评对象所做的单因素评价就是对被评对象所做的单因素评价114 然而，一般往往需要从几个方面来综合地评价某一事物，然而，一般往往需要从几个方面来综合地评价某一事物，然而，一般往往需要从几个方面来综合地评价某一事物，然而，一般往往需要从几个方面来综合地评价某一事物，从而得到一个综合的评价结果从而得到一个综合的评价结果从而得到一个综合的评价结果从而得到一个综合的评价结果 对多指标因素的综合评价，最终结果仍是评语集合对多指标因素的综合评价，最终结果仍是评语集合对多指标因素的综合评价，最终结果仍是评语集合对多指标因素的综合评价，最终结果仍是评语集合V V这一这一这一这一论域上的模糊子集，记作论域上的模糊子集，记作论域上的模糊子集，记作论域上的模糊子集，记作 其中其中其中其中 b bj j 为为为为V V中相应元素的隶属度，且中相应元素的隶属度，且中相应元素的隶属度，且中相应元素的隶属度，且 。

简记为简记为简记为简记为mm维向量形式维向量形式维向量形式维向量形式第二节、模糊综合评价的数学模型115 实际评价工作中，考虑到不同评价因素重要性的区别，实际评价工作中，考虑到不同评价因素重要性的区别，实际评价工作中，考虑到不同评价因素重要性的区别，实际评价工作中，考虑到不同评价因素重要性的区别，评价因素集合是因素集评价因素集合是因素集评价因素集合是因素集评价因素集合是因素集U U这一论域上的模糊子集，记作这一论域上的模糊子集，记作这一论域上的模糊子集，记作这一论域上的模糊子集，记作 简记为简记为简记为简记为n n维向量形式维向量形式维向量形式维向量形式其中其中其中其中 a ai i 为为为为U U中相应元素的隶属度，且中相应元素的隶属度，且中相应元素的隶属度，且中相应元素的隶属度，且 第二节、模糊综合评价的数学模型116 一个模糊综合评价问题，就是将评价因素集合一个模糊综合评价问题，就是将评价因素集合一个模糊综合评价问题，就是将评价因素集合一个模糊综合评价问题，就是将评价因素集合U U这一论域上的这一论域上的这一论域上的这一论域上的一个模糊集合一个模糊集合一个模糊集合一个模糊集合 经过模糊关系变换为经过模糊关系变换为经过模糊关系变换为经过模糊关系变换为评语集合评语集合评语集合评语集合V V这一论域上的一个这一论域上的一个这一论域上的一个这一论域上的一个模糊集合模糊集合模糊集合模糊集合 ，即，即，即，即上式即模糊综合评价的数学模型。

其中上式即模糊综合评价的数学模型其中上式即模糊综合评价的数学模型其中上式即模糊综合评价的数学模型其中种评语的可能程度种评语的可能程度种评语的可能程度种评语的可能程度 模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示复合关系模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示复合关系模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示复合关系模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示复合关系————模糊综合评价的结果，是模糊综合评价的结果，是模糊综合评价的结果，是模糊综合评价的结果，是m m 维模糊行向量维模糊行向量维模糊行向量维模糊行向量————模糊评价因素权重集合，是模糊评价因素权重集合，是模糊评价因素权重集合，是模糊评价因素权重集合，是n n维模糊行向量维模糊行向量维模糊行向量维模糊行向量————从从从从U U到到到到V V的一个模糊关系，是的一个模糊关系，是的一个模糊关系，是的一个模糊关系，是 矩阵表示从第表示从第表示从第表示从第i i个因素着眼，做出第个因素着眼，做出第个因素着眼，做出第个因素着眼，做出第j j第二节 模糊综合评价的数学模型117模糊综合评价的步骤：1. 1.设定评价指标因素集设定评价指标因素集设定评价指标因素集设定评价指标因素集U U；；；；2. 2.设定评语集设定评语集设定评语集设定评语集V V；；；；3. 3.确定评价指标权重集确定评价指标权重集确定评价指标权重集确定评价指标权重集 ；；；；4. 4.用民意测验方法请专家实施评价；用民意测验方法请专家实施评价；用民意测验方法请专家实施评价；用民意测验方法请专家实施评价；5. 5.建立评价矩阵建立评价矩阵建立评价矩阵建立评价矩阵 ；；；；6. 6.按数学模型进行综合评价；按数学模型进行综合评价；按数学模型进行综合评价；按数学模型进行综合评价；7. 7.归一化处理，得出具有可比性的综合评价结果。

归一化处理，得出具有可比性的综合评价结果归一化处理，得出具有可比性的综合评价结果归一化处理，得出具有可比性的综合评价结果第二节 模糊综合评价的数学模型118第二节 模糊综合评价的应用1. 1.用于讲课质量的评估用于讲课质量的评估用于讲课质量的评估用于讲课质量的评估 U = [ U = [清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁] ] V = [ V = [很好，较好，一般，不好很好，较好，一般，不好很好，较好，一般，不好很好，较好，一般，不好] ]119第三节 模糊综合评价的应用归一化：归一化：归一化：归一化：1202. 2.用于科技成果的评定用于科技成果的评定用于科技成果的评定用于科技成果的评定 U = [ U = [水平，成功概率，经济效益水平，成功概率，经济效益水平，成功概率，经济效益水平，成功概率，经济效益] ] V = [ V = [高，中，低高，中，低高，中，低高，中，低] ]因素因素项目项目技术水平技术水平成功概率成功概率经济效益经济效益甲甲乙乙丙丙接近国际先接近国际先进进国内先进国内先进一般一般70%70%100%100%100%100%>100>100万元万元>200>200万元万元>20>20万元万元第三节 模糊综合评价的应用121第三节 、模糊综合评价的应用评价评价项目项目科技水平科技水平 成功概率成功概率 经济效益经济效益 高高 中中 低低 大大 中中 小小 高高 中中 低低甲甲 0.7 0.2 0.1 0.1 0.2 0.7 0.3 0.6 0.1乙乙 0.3 0.6 0.1 1 0 0 0.7 0.3 0丙丙 0.1 0.4 0.5 1 0 0 0.1 0.3 0.6122第三节 、模糊综合评价的应用综合评价：综合评价：综合评价：综合评价：归一化：归一化：归一化：归一化：排序：排序：排序：排序：乙、甲、丙乙、甲、丙乙、甲、丙乙、甲、丙1233.3.3.3.某品牌服装的市场定位选择（方案不同，各指标权重不同）某品牌服装的市场定位选择（方案不同，各指标权重不同）某品牌服装的市场定位选择（方案不同，各指标权重不同）某品牌服装的市场定位选择（方案不同，各指标权重不同）f f1 1f f2 2f f3 3f f4 4f f5 5f f6 6因素集因素集款式款式面料面料耐穿度耐穿度 流行性流行性商标商标价格价格e e1 1e e2 2e e3 3e e4 4评语集评语集很欢迎很欢迎欢迎欢迎一般一般不欢迎不欢迎a a1 1a a2 2市场定位方案集市场定位方案集第一类消费者第一类消费者第二类消费者第二类消费者第三节 、模糊综合评价的应用124很欢迎很欢迎e e1 1欢迎欢迎e e2 2一般一般e e3 3不欢迎不欢迎e e4 4款式款式f f1 10.550.550.340.340.100.100.010.01面料面料f f2 20.600.600.150.150.250.250 0耐穿性耐穿性f f3 30.250.250.400.400.150.150.200.20流行性流行性f f4 40.800.800.120.120.080.080 0商标商标f f5 50.500.500.380.380.120.120 0价格价格f f6 60.210.210.170.170.440.440.180.18第三节 、模糊综合评价的应用利用市场调查获得模糊评价矩阵：利用市场调查获得模糊评价矩阵：利用市场调查获得模糊评价矩阵：利用市场调查获得模糊评价矩阵：1254.4.不同类型考核的综合（考核类型不同，各指标评语不同）不同类型考核的综合（考核类型不同，各指标评语不同）不同类型考核的综合（考核类型不同，各指标评语不同）不同类型考核的综合（考核类型不同，各指标评语不同）设考核因素集为设考核因素集为设考核因素集为设考核因素集为F = {fF = {f1 1,f ,f2 2,f ,f3 3,f ,f4 4} }，评语集为，评语集为，评语集为，评语集为E = {eE = {e1 1,e ,e2 2,e ,e3 3,e ,e4 4} }，因素的权，因素的权，因素的权，因素的权重为重为重为重为WWF F= {0.35,0.35,0.15,0.15}= {0.35,0.35,0.15,0.15}。

又设考核集为又设考核集为又设考核集为又设考核集为T={tT={t1 1,t ,t2 2} }，，，，t t1 1表示日常表示日常表示日常表示日常考核，考核，考核，考核，t t2 2表示晋级考核，设日常和晋级考核重要性分别为表示晋级考核，设日常和晋级考核重要性分别为表示晋级考核，设日常和晋级考核重要性分别为表示晋级考核，设日常和晋级考核重要性分别为0.6,0.40.6,0.4甲乙两人的日常考核甲乙两人的日常考核甲乙两人的日常考核甲乙两人的日常考核/ /晋级考核统计记录分别如下，要求进行模糊综晋级考核统计记录分别如下，要求进行模糊综晋级考核统计记录分别如下，要求进行模糊综晋级考核统计记录分别如下，要求进行模糊综合评价甲甲e e1 1e e2 2e e3 3e e4 4日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级f f1 10.50.50 00.30.30 00 0 1 10.20.20 0f f2 20.50.50 00.10.10 00.20.20 00.20.21 1f f3 30 00 00.70.70 00.30.30 00 01 1f f4 40.60.60 00.10.10 00 00 00.30.31 1第三节 、模糊综合评价的应用126乙乙e e1 1e e2 2e e3 3e e4 4日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级 日常 晋级f f1 10 01 10.10.10 00.80.80 00.10.10 0f f2 20 01 10.10.10 00.70.70 00.20.20 0f f3 30.10.11 10.60.60 00.30.30 00 00 0f f4 40 00 00.10.11 10.60.60 00.30.30 0第三节 、模糊综合评价的应用可得：可得：可得：可得：设考核因素权重为设考核因素权重为设考核因素权重为设考核因素权重为WT={0.6,0.4}WT={0.6,0.4}127第四节 、多级模糊总评价举例：战略导弹效能的多级模糊总评价问题。

举例：战略导弹效能的多级模糊总评价问题举例：战略导弹效能的多级模糊总评价问题举例：战略导弹效能的多级模糊总评价问题128第四节 多级模糊总评价评语等级分为评语等级分为评语等级分为评语等级分为5 5级：级：级：级：{ {好、较好、一般、较差、差好、较好、一般、较差、差好、较好、一般、较差、差好、较好、一般、较差、差} }假设已得到以下中间结果：假设已得到以下中间结果：可靠性：可靠性：维修性：维修性：安全性：安全性：适应性：适应性：有有有有效效效效性性性性的的的的四四四四个个个个方方方方面面面面的的的的权权权权向向向向量量量量为为为为：：：：则有效性的模糊综合评价结果为则有效性的模糊综合评价结果为则有效性的模糊综合评价结果为则有效性的模糊综合评价结果为 ：：：：129第四节 、多级模糊总评价假设已得到以下中间结果：假设已得到以下中间结果：假设已得到以下中间结果：假设已得到以下中间结果：威威威威 力：力：力：力：有效性：有效性：有效性：有效性：机动能力：机动能力：机动能力：机动能力：有效性的四个方面的权向量为有效性的四个方面的权向量为有效性的四个方面的权向量为有效性的四个方面的权向量为 ：：：：则总体性能的模糊综合评价结果为则总体性能的模糊综合评价结果为则总体性能的模糊综合评价结果为则总体性能的模糊综合评价结果为 ：：：：130个人观点供参考，欢迎讨论。