概率论与数理统计习题解答(第二版-)李书刚编,

'' 第一章 随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10 件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出 为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下 （1）S= 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 （2）S= (x, y)| x2+y20 2. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A、B、C 都发生； （4）A、B、C 都不发生； （5）A、B、C 不都发生； （6）A、B、C 至少有一个发生； （7）A、B、C 不多于一个发生； （8）A、B、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下 (1)(2)(3)(4) (5)(6) (7) (8) ABCABCABCABC ABCABC ABBCAC ABBCC A 3在某小学的学生中任选一名，若事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示该生是三年 级学生，事件 C 表示该学生是运动员，则 （1）事件 AB 表示什么？ （2）在什么条件下 ABC=C 成立？ （3）在什么条件下关系式是正确的？CB （4）在什么条件下成立？AB 解 所求的事件表示如下 （1）事件 AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. '' （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C 成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式是正确的. CB （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，成立. AB 4设 P(A)0.7，P(AB)0.3，试求()P AB 解 由于 AB = A AB, P(A)=0.7 所以 P(AB) = P(AAB) = P(A)P(AB) = 0.3, 所以 P(AB)=0.4, 故 = 10.4 = 0.6.()P AB 5. 对事件 A、B 和 C，已知 P(A) = P(B)P(C) ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 求 1 4 1 8 A、B、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于故 P(ABC) = 0,()0,ABCAB P AB 则 P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC) 11115 0 00 44488 6. 设盒中有 只红球和 b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A两球颜色相同， B两球颜色不同. 解 由题意，基本事件总数为，有利于 A 的事件数为，有利于 B 的事件数为 2 a b A 22 ab AA , 111111 2 abbaab A AA AA A 则 2211 22 2 ( )( ) abab a ba b AAA A P AP B AA 7. 若 10 件产品中有件正品，3 件次品, （1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设 A=取得三件次品 则 . 33 33 33 1010 16 ( )( ) 120720 或者 CA P AP A CA （2）设 B=取到三个次品, 则 . 3 3 327 ( ) 101000 P A 8. 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语，35 人会讲日语，32 人会讲日语和英语，9 人 会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率. 解 设 A=此人会讲英语, B=此人会讲日语, C=此人会讲法语 根据题意, 可得 (1) 32923 ()()() 100100100 P ABCP ABP ABC (2) ()()()P ABCP ABP ABC ()01()P ABP AB 1( )( )()P AP BP AB 43353254 1 100100100100 9. 罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子 4 颗黑子，若从中任取 3 颗，求： '' （1）取到的都是白子的概率； （2）取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4）取到三颗棋子颜色相同的概率. 解 (1) 设 A=取到的都是白子 则 . 3 8 3 12 14 ( )0.255 55 C P A C (2) 设 B=取到两颗白子, 一颗黑子 . 21 84 3 12 ( )0.509 C C P B C (3) 设 C=取三颗子中至少的一颗黑子 . ( )1( )0.745 P CP A (4) 设 D=取到三颗子颜色相同 . 33 84 3 12 ()0.273 CC P D C 10. （1）500 人中，至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少(1 年按 365 日计算)？ （2）6 个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解 (1) 设 A = 至少有一个人生日在 7 月 1 日, 则 500 500 364 ( )1( )10.746 365 P AP A (2)设所求的概率为 P(B) 412 612 6 11 ( )0.0073 12 CC P B 11. 将 C，C，E，E，I，N，S 7 个字母随意排成一行，试求恰好排成 SCIENCE 的概率 p. 解 由于两个 C，两个 E 共有种排法，而基本事件总数为，因此有 22 22 A A 7 7 A 22 22 7 7 0.000794 A A p A 12. 从 5 副不同的手套中任取款 4 只，求这 4 只都不配对的概率. 解 要 4 只都不配对，我们先取出 4 双，再从每一双中任取一只，共有中取法. 设 44 5 2C A=4 只手套都不配对，则有 44 5 4 10 280 ( ) 210 C P A C 13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第 i 只零件是不合格的概率为 ，i=1，2，3，若以 x 表示零件中合格品的个数，则 P(x=2)为多少？ 1 1 i p i 解 设 Ai = 第 i 个零件不合格，i=1,2,3, 则 1 () 1 ii P Ap i 所以 ()1 1 ii i P Ap i 123123123 (2)()()()P xP A A AP A A AP A A A 由于零件制造相互独立，有： ， 123123 ()() () ()P A A AP A P A P A 123123 ()() () ()P A A AP A P A P A 123123 ()() () ()P A A AP A P A P A '' 11112111311 ,(2) 23423423424 P x 所以 14. 假设目标出现在射程之内的概率为 0.7，这时射击命中目标的概率为 0.6，试求两次独 立射击至少有一次命中目标的概率 p. 解 设 A=目标出现在射程内，B=射击击中目标，Bi =第 i 次击中目标, i=1,2. 则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式 12 ( )()() ()( ) (|) ( ) ()|) P BP ABP AB P ABP A P B A P A P BBA 另外, 由于两次射击是独立的, 故 P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式 P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.588 15. 设某种产品 50 件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为 0.35，有 1，2，3，4 件 次品的概率分别为 0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取 10 件，检查出一件次品， 求该批产品中次品不超过两件的概率. 解 设 Ai =一批产品中有 i 件次品，i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取 10 件检查出一件次品, C=产品中次品不超两件, 由题意 0 19 149 1 10 50 19 248 2 10 50 19 347 3 10 50 19 446 1 10 50 (|)0 1 (|) 5 16 (|) 49 39 (|) 98 988 (|) 2303 P B A C C P B A C C C P B A C C C P B A C C C P B A C 由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 4 0 ( )() (|)0.196 ii i P BP A P B A 由 Bayes 公式 00 0 11 1 22 2 ()(|) (|)0 () ()(|) (|)0.255 () ()(|) (|)0.333 () P AP B A P AB P B P A P B A P AB P B P AP B A P AB P B 故 2 0 ( )(|)0.588 i i P CP AB 16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏 2%，10%和 90%的概率分别为 '' 0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损 坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）. 解 设 B=三件都是好的，A1=损坏 2%, A2=损坏 10%, A1=损坏 90%，则 A1, A2, A3是两两互斥, 且 A1+ A2 +A3=, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13, 由全概率公式 3 1 333 ( )()(|) 0.80.980.150.900.050.100.8624 ii i P BP A P B A 由 Bayes 公式, 这批货物的损坏率为 2%, 10%, 90%的概率分别为 3 1 3 2 3 3 ()(|)0.80.98 (|)0.8731 ( )0.8624 ()(|)0.150.90 (|)0.1268 ( )0.8624 ()(|)0.050.10 (|)0.0001 ( )0.8624 ii ii ii P A P B A P AB P B P A P B A P AB P B P A P B A P AB P B 由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2. 17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且 含 0，1 和 2 件残次品的箱各占 80%，15%和 5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中 4 只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率 ； （2）通过验收的箱中确定无残次品的概率 . 解 设 Hi=箱中实际有的次品数, , A=