（江苏专用）高三数学一轮总复习 第六章 数列、推理与证明 第五节 数列的综合应用课时跟踪检测 理-人教高三数学试题

课时跟踪检测（三十三） 数列的综合应用一保高考，全练题型做到高考达标1在数列an中，a11，数列an13an是首项为9，公比为3的等比数列(1)求a2，a3；(2)求数列的前n项和Sn.解：(1)数列an13an是首项为9，公比为3的等比数列，an13an9×3n13n1，a23a19，a33a227，a212，a363.(2)an13an3n1，1，数列是首项为，公差为1的等差数列，数列的前n项和Sn.2(2016·苏北四市调研)已知数列an为等差数列，a11，公差d>0，数列bn为等比数列，且a2b1，a6b2，a18b3.(1)求数列an和数列bn的通项公式；(2)设数列cn满足对任意正整数n均有a，m为正整数，求所有满足不等式102<c1c2cm<103的m的值解：(1)由已知得a2，a6，a18成等比数列，所以aa2a18，(a15d)2(a1d)(a117d)，化简得8d28a1d0，由d>0，a11，an为等差数列，所以a1d1，ann，又b12，b26，b318，bn为等比数列，所以bn2·3n1.(2)因为n2，当n1时，c11，当n2时，两式相减得cn(2n1)·3n1，又n1时也符合上式，所以cn(2n1)·3n1，nN*，cn(2n1)·3n1>0，c11，c1c210，c1c2c355，c1c2c3c4244，c1c2c3c4c5973，c1c2c3c4c5c63 646，所以m4或5.3已知等差数列an的前n项和为Sn，a11，S36，正项数列bn满足b1·b2·b3··bn2Sn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若bn>an对nN*均成立，求实数的取值范围解：(1)a11，S36，3a13d6，数列an的公差d1，ann.由题知，÷得bn2SnSn12an2n(n2)，又b12S1212，满足上式，故bn2n.(2)bn>an恒成立>恒成立，设cn，当n2时，cn<1，数列cn单调递减，(cn)max，故>.所以实数的取值范围为.4数列an满足a11，an12an(nN*)，Sn为其前n项和数列bn为等差数列，且满足b1a1，b4S3.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn<.解：(1)由题意知，an是首项为1，公比为2的等比数列，ana1·2n12n1.Sn2n1.设等差数列bn的公差为d，则b1a11，b413d7，d2，bn1(n1)×22n1.(2)证明：log2a2n2log222n12n1，cn，Tn.nN*，Tn<，当n2时，TnTn1>0，数列Tn是一个递增数列，TnT1.综上所述，Tn<.二上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016·南京师大附中调研)对于数列xn，若对任意nN*，都有<xn1成立，则称数列xn为“减差数列”设数列an是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且a11，S3.(1)求数列an的通项公式，并判断数列Sn是否为“减差数列”；(2)设bn(2nan)tan，若数列b3，b4，b5，是“减差数列”，求实数t的取值范围解：(1)设数列an的公比为q，因为a11，S3，所以1qq2，即4q24q30，所以(2q1)(2q3)0.因为q>0，所以q，所以an，Sn2，所以2<2Sn1，所以数列Sn是“减差数列”(2)由题设知，bnt2t.由<bn1(n3，nN*)，得tt<2t，即>，化简得t(n2)>1.又当n3时，t(n2)>1恒成立，即t>恒成立，所以t>max1.故t的取值范围是(1，)2(2016·南通一调)已知数列an是等比数列，且an0.(1)若a2a18，a3m.当m48时，求数列an的通项公式；若数列an是唯一的，求m的值；(2)若a2ka2k1ak1(akak1a1)8，kN*，求a2k1a2k2a3k的最小值解：设数列an的公比为q，则由题意，得q0.(1)由a2a18，a3m48，得解得或所以数列an的通项公式为an(168)(3)n1或an(168)(3)n1.要使满足条件的数列an是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解所以方程8q2mqm0有唯一解则m232m0，解得m32或m0.因为a3m0，所以m32，此时q2.经检验，当m32时，数列an唯一，其通项公式为an2n2.(2)由a2ka2k1ak1(akak1a1)8，得a1(qk1)(qk1qk21)8，且q1.则a2k1a2k2a3ka1q2k(qk1qk21)832.当且仅当qk1，即q，等号成立所以a2k1a2k2a3k的最小值为32.