（江苏专用）高考数学二轮复习 专题检测45 坐标系与参数方程

45坐标系与参数方程1在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值解(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a>0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.2(2014·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，求直线l被圆C截得的弦长解直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆C的圆心(2,0)到直线xy40的距离为d.又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为22.3(2014·福建)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.4(2013·课标全国)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(0<<2)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，0<<2)(2)M点到坐标原点的距离d(0<<2)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点5已知曲线C的极坐标方程是2sin ，设直线l的参数方程是(t为参数)(1)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求MN的最大值解(1)曲线C的极坐标方程可化为22sin ，又x2y22，xcos ，ysin ，所以，曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y(x2)，令y0，得x2，即M点的坐标为(2,0)又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r1，则MC.MNMCr1，即MN的最大值为1.6(2013·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值解(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20，由参数方程可得yx1，所以解得a1，b2.7(2014·辽宁)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由x21y1得x2()21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1(x)，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.8在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos ，(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l和曲线C相切，求实数k的值解(1)由，得直线l的普通方程为ykx1，由sin24cos 得2sin24cos ，y24x，曲线C的直角坐标方程为y24x.(2)把ykx1代入y24x，得k2x2(2k4)x10，当直线l与曲线C相切时，由(2k4)24k20，得k1.经检验k1适合题意，所求实数k1.9(2014·课标全国)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，0，(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标解(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为(1cos ，sin )，即(，)10在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求PAPB.解方法一(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3t)2(t)25，即t23t40.由于(3)24×42>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得PAPB|t1|t2|t1t23.方法二(1)同方法一(2)因为圆C的圆心为点(0，)，半径r，直线l的普通方程为yx3.由得x23x20.解得或不妨设A(1,2)，B(2,1)，又点P的坐标为(3，)，故PAPB3.11已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D按逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求PA2PB2PC2PD2的取值范围解(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令SPA2PB2PC2PD2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,5212已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程为4·cos.(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为，求实数a的值解(1)由4cos，得4cos 4sin .即24cos 4sin .由得x2y24x4y0，得(x2)2(y2)28.所以圆C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)直线l的参数方程可化为y2xa，则由圆的半径为2知，圆心(2，2)到直线y2xa的距离恰好为.所以，解得a6±.