（江苏专用）高考数学二轮复习 专题检测36 直线与圆锥曲线问题

36直线与圆锥曲线问题1已知圆C：(x1)2y28，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足2，·0，点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若直线ykx与(1)中所求点N的轨迹E交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且·，求k2的取值范围解(1)如图所示，连结NA.由2，·0，可知NP所在直线为线段AM的垂直平分线，所以NANM，所以NCNANCNM2>2CA，所以动点N的轨迹是以C(1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a2，焦距2c2，即a，c1，b1.故曲线E的方程为y21.(2)设F(x1，y1)，H(x2，y2)由消去y，得(2k21)x24kx2k20，8k2>0，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，所以·x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)k21k21.由·，得，解得k21.2(2013·广东)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求AF·BF的最小值解(1)依题意知，c>0，解得c1.所以抛物线C的方程为x24y.(2)由yx2得yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20，又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0 的两组解，所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义知AFy11，BFy21，所以AF·BF(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，y1y2x2y0，y1y2y，AF·BFy1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，当y0时，AF·BF取得最小值，且最小值为.3(2013·浙江)如图，点P(0，1)是椭圆C1：1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以AB22 .又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以PD.设ABD的面积为S，则S·AB·PD，所以S，当且仅当k±时取等号所以所求直线l1的方程为y±x1.4已知双曲线E：1(a>0，b>0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线xy0相切(1)求双曲线E的方程；(2)已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使·为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意知a，a.又2c4，c2，b1.双曲线E的方程为y21.(2)当直线为y0时，则P(，0)，Q(，0)，F(2,0)，·(2,0)·(2,0)1.当直线不为y0时，可设l：xtym(t±)代入E：y21，整理得(t23)y22mtym230(t±)(*)由>0得m2t2>3.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1y2，y1y2，·(ty1m2，y1)·(ty2m2，y2)(t21)y1y2t(m2)(y1y2)(m2)2.当且仅当2m212m153时，·为定值，解得m13，m23(舍去)综上，过定点M(3，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使·1为定值5已知过抛物线y22px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且AB9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解(1)直线AB的方程是y2(x)，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得ABx1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4，知4x25pxp20可化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设(x3，y3)(1，2)(4,4)(41，42)，又y8x3，所以2(21)28(41)，即(21)241，解得0，或2.6(2014·辽宁)圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)双曲线C1：1过点P且离心率为.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程解(1)设切点P的坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S··.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)由题意知解得故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此设C2的方程为1，其中b1>0.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22my30，又设y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知·0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，将代入整理得2m22m4110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.