石大数学文化课件03若干数学典故中的数学文化

1第三章第三章 若干数学典故中的数学文化若干数学典故中的数学文化2第一节第一节 历史上的三次数学危机历史上的三次数学危机 3 历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是学危机。每一次数学危机，都是数学的基本数学的基本部分部分受到质疑。实际上，也恰恰是这受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危三次危机，引发了数学上的三次思想解放机，引发了数学上的三次思想解放，大大推，大大推动了数学科学的发展。动了数学科学的发展。4 一、第一次数学危机一、第一次数学危机 第第一一次次数数学学危危机机是是由由 不不能能写写成成两两个个整整数数之之比比引引发发的的，我我们们在在第第二二章章已已专专门讨论过，现再简要回顾一下。门讨论过，现再简要回顾一下。5 这这一一危危机机发发生生在在公公元元前前5世世纪纪，危危机机来来源源于于：当当时时认认为为所所有有的的数数都都能能表表示示为为整整数数比比，但但突突然然发发现现 不不能能表表为为整整数数比比。其实质是：其实质是：是无理数，全体整数之比是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需要添加无理数。要添加无理数。6 当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比两个量之比”的新说法，回避了的新说法，回避了 是无理数的实质，而是用几何是无理数的实质，而是用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的里得的几何原本几何原本中也采用了这一说法，以致在中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。学的基础。但是彻底解决这一危机是在但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数世纪，依赖实数理论的建立。理论的建立。7 二、第二次数学危机二、第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿对牛顿“无穷小量无穷小量”说法的质疑引起的。说法的质疑引起的。8 1危机的引发危机的引发 1）牛顿的）牛顿的“无穷小无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内。在牛顿之前，只能求一段时间内的的平均速度平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。，无法求某一时刻的瞬时速度。9 例如，设自由落体在时间例如，设自由落体在时间 下落的距离为下落的距离为 ，有公式有公式 ，其中，其中 是固定的重力加速度。我是固定的重力加速度。我们要求物体在们要求物体在 的瞬时速度，先求的瞬时速度，先求 。（*）10 当当 变成无穷小时，右端的变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是是 ，这就是物体在，这就是物体在 时的瞬时速度，时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。格，遭到责难。11 2）贝克莱的发难）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。攻击牛顿的理论。贝克莱问道：贝克莱问道：“无穷小无穷小”作为一个作为一个量，究竟是不是量，究竟是不是0？12 如果是如果是0，上式左端当，上式左端当 成无穷小后分母为成无穷小后分母为0，就，就没有意义了。如果不是没有意义了。如果不是0，上式右端的，上式右端的 就不能就不能任意去掉。任意去掉。在推出上式时，假定了在推出上式时，假定了 才能做除法，所以才能做除法，所以上式的成立是以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又为前提的。那么，为什么又可以让可以让 而求得瞬时速度呢？而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以出发，两端同除以0，得出，得出5=3一样一样的荒谬。的荒谬。（*）13 贝克莱还讽刺挖苦说：即然贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和和 都变都变成成“无穷小无穷小”了，而无穷小作为一个量，既了，而无穷小作为一个量，既不是不是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一定是“量的鬼魂量的鬼魂”了。了。这就是著名的这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，提出的，但是，14贝克莱的质问是击中要害的贝克莱的质问是击中要害的数学家在将近数学家在将近200年的时间里，不能彻底年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。反驳贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。贝克莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立直至魏尔斯特拉斯创立“”语言，语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。才彻底地反驳了贝克莱的责难。15 3）实践是检验真理的唯一标准）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无无穷小穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。实践是检验真理的唯一标准。”16 2危机的实质危机的实质 第一次数学危机的实质是第一次数学危机的实质是“不是有不是有理数，而是无理数理数，而是无理数”。那么第二次数学危机。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是的实质是什么？应该说，是极限的概念不清极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。积分理论缺乏逻辑基础。17 其实，在牛顿把瞬时速度说成其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。法本身就是不明确的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最最终的比终的比”，就是分子、分母要成为，就是分子、分母要成为0还不是还不是0时的比时的比例如（例如（*）式中的）式中的gt，它不是，它不是“最终的量的比最终的量的比”，而是，而是“比所趋近的极限比所趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了他这里虽然提出和使用了“极限极限”这个词，但这个词，但并没有明确说清这个词的意思。并没有明确说清这个词的意思。18 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。分，但是也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后近二百年间的数学家，正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由所以，由“无穷小无穷小”引发的第二次数学引发的第二次数学危机，危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。理论作为微积分学的基础。19牛顿莱布尼茨20 3危机的解决危机的解决 1）必要性）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。是数学家的一块心病。21 而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。22 因因此此，进进入入19世世纪纪时时，一一方方面面微微积积分分取取得得的的成成就就超超出出人人们们的的预预料料，另另一一方方面面，大大量量的的数数学学理理论论没没有有正正确确、牢牢固固的的逻逻辑辑基基础础，因因此此不不能能保保证证数数学学结结论论是是正正确确无无误的。误的。历史要求为微积分学说奠基。历史要求为微积分学说奠基。23 2）严格的极限理论的建立）严格的极限理论的建立 到到19世纪，一批杰出数学家辛勤、世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。理论，并把它作为微积分的基础。应该指出，严格的极限理论的建立应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。是逐步的、漫长的。24 在在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。那是初步的、粗糙的。达朗贝尔在达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。提供这样的理论。19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的的论证引入数学分析，他写的无穷的悖论无穷的悖论一书一书中包含许多真知灼见。中包含许多真知灼见。25 而做出决定性工作、可称为分析学的而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是奠基人的是法国数学家柯西法国数学家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在）。他在18211823年间出版的年间出版的分析教程分析教程和和无穷小计无穷小计算讲义算讲义是数学史上划时代的著作。他对极是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。已与我们现在教科书上的差不太多了。26柯西波尔查诺波尔查诺27 3）严格的实数理论的建立）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极限后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积