理论力学()第十二章动能定理习题解答

习 题121 一刚度系数为k的弹簧，放在倾角为的斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为m的物块A相连，图12-23所示为其平衡位置。如使重物A从平衡位置向下沿斜面移动了距离s，不计摩擦力，试求作用于重物A上所有力的功的总和。图12-23122 如图12-24所示，在半径为r的卷筒上，作用一力偶矩M=a+b2，其中为转角，a和b为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B。设重物B的质量为m，它与水平面之间的滑动摩擦因数为。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。图12-24123 均质杆OA长l，质量为m，绕着球形铰链O的铅垂轴以匀角速度转动，如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为，试求杆的动能。图12-25124 质量为m1的滑块A沿水平面以速度移动，质量为m2的物块B沿滑块A以相对速度u滑下，如图12-26所示。试求系统的动能。图12-26 125 如图12-27所示，滑块A质量为m1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB，杆AB长为l，质量为m2。当AB杆与铅垂线的夹角为时，滑块A的速度为，杆AB的角速度为。试求在该瞬时系统的动能。图12-27 126 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规尺都是均质细杆，其质量分别为m1和2m1，且OC=AC=BC=l，如图12-28所示。滑块A和B的质量都等于m2。如作用在曲柄上的力偶矩为M，不计摩擦，试求曲柄的角加速度。图12-28 动能定理127 曲柄导杆机构在水平面内，曲柄OA上作用有一力偶矩为M的常力偶，如图12-29所示。若初始瞬时系统处于静止，且AOB=，试问当曲柄转过一圈后，获得多大的角速度？设曲柄质量为m1，长为r且为均质细杆；导杆质量为m2；导杆与滑道间的摩擦力可认为等于常值F，不计滑块A的质量。图12-29动能定理128 半径为R质量为m1的均质圆盘A放在水平面上，如图12-30所示。绳子的一端系在圆盘中心A，另一端绕过均质滑轮C后挂有重物B。已知滑轮C的半径为r，质量为m2；重物B质量为m3。绳子不可伸长，不计质量。圆盘作纯滚动，不计滚动摩擦。系统从静止开始运动，试求重物B下落的距离为h时，圆盘中心的速度和加速度。图12-30 动能定理129 图12-31所示链条传运机，链条与水平线的夹角为，在链轮B上作用一力偶矩为M的力偶，传运机从静止开始运动。已知被提升重物A的质量为m1，链轮B、C的半径均为r，质量均为m2，且可看成均质圆柱。试求传运机链条的速度，以其位移s表示。不计链条的质量。图12-31 动能定理 1210 如图12-32所示，质量为m1的直杆AB可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为m2、倾角为的光滑的楔块C上，楔块又放在光滑的水平面上。由于杆的压力，楔块向水平向右方向运动，因而杆下降，试求两物体的加速度。图12-32 动能定理 1211 如图12-33所示，均质细杆长为l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙下，下端A用铰链与圆柱的中心相连。圆柱质量为m2，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动。如杆与水平线的夹角=45，不计滚动摩擦，试求A点在初瞬时的加速度。图12-33分析任意位置 动能定理 对时间求导，注意 初瞬时()， vA=0故1212 如图12-34所示，绳索的一端E固定，绕过动滑轮D与定滑轮C后，另一端与重物B连接。已知重物A和B的质量均为m1；滑轮C和D的质量均为m2，且均为均质圆盘，重物B与水平面间的动摩擦因数为。如重物A开始时向下的速度为v0，试求重物A下落多大距离时，其速度将增加一倍？图12-34 动能定理1213 如图12-35所示，均质直杆AB重100N，长AB=200mm，两端分别用铰链与滑块A、B连接，滑块A与一刚度系数为k=2N/mm的弹簧相连，杆与水平线的夹角为，当=0o时弹簧为原长。摩擦与滑块A、B的质量均不计。试求：（1）杆自=0处无初速地释放时，弹簧的最大伸长量。（2）杆在=60处无初速地释放时，在=30时杆的角速度。图12-35(1) 动能定理 (2) 动能定理 1214 在图12-36所示的系统中，物块M和滑轮A、B的质量均为m，且滑轮可视为均质圆盘，弹簧的刚度系数为k，不计轴承摩擦，绳与轮之间无滑动。当物块M离地面的距离为h时，系统处于平衡。现在给物块M以向下的初速度v0，使它恰能到达地面，试求物块M的初速度v0。图12-36 动能定理 1215 两均质直杆，长均为l，质量均为m，在B处用铰链连接，并可在图12-37所示的铅垂平面内运动，AB杆上作用有一力偶矩为M的常力偶。如在图示位置从静止释放，试求当A端碰到支座O时，A端的速度vA。图12-37杆AB任意时 当时 动能定理 1216 质点在变力的作用下沿空间曲线运动，其矢径，试求力F的功率。1217 如图12-38所示，汽车上装有一可翻转的车箱，内装有5m3的砂石，砂石的密度为2296kg/m3。车箱装砂石后重心C与翻转轴A之水平距离为1m，铅垂距离为0.7m。若使车箱绕A轴翻转的角速度为0.06rad/s，试求当砂石倾倒时所需要的最大功率。图12-38重力与A轴的最大距离为 1218 一载重汽车总重100kN，在水平路面上直线行驶时，空气阻力FR=0.001v2（v以m/s计，FR以kN计），其它阻力相当于车重的0.016倍。设机械的总效率为。试求此汽车以54km/h的速度行驶时，发动机应输出的功率。 1219 均质直杆AB的质量m=1.5kg，长度l=0.9m，在图12-39所示水平位置时从静止释放，试求当杆AB经过铅垂位置时的角速度及支座A的反力。图12-39 动能定理 定轴转动微分方程 质心运动定理 1220 如图12-40所示，已知均质圆柱A的半径为0.2m，质量为10kg，滑块B的质量为5kg，它与斜面间动摩擦因数，圆柱A只作纯滚动，系统由静止开始运动。试求A、B沿斜面向下运动10m时滑块B的速度和加速度，以及AB杆所受的力。不计AB杆的质量。图12-40 动能定理 (1)由(1)得 滑块B1221 两个相同的滑轮，半径为R，质量为m，用绳缠绕连接如图12-41所示。两滑轮可视为均质圆盘。如系统由静止开始运动，试求滑轮质心C下落距离h时的速度及AB段绳子的拉力。图12-41滑轮O 滑轮C 因故 动能定理 1222 如图12-42所示的均质细杆AB，长为l，质量为m，放在铅直面内，杆与水平面成角，杆的一端A靠在光滑的铅直墙上，另一端B放在光滑的水平地面上，然后杆由静止状态倒下。试求：（1）杆在任意位置时的角速度和角加速度；（2）杆脱离墙时与水平面所成的夹角。 图12-42动能定理动能定理 (1)由式(1)对时间求导，注意 (设与同向，为逆时针) 质心运动定理 得 1223 如图12-43所示，均质杆AB质量为m，长2l，一端用长l的绳索OA拉住，另一端B放置在光滑地面上可沿地面滑动。开始时系统处于静止状态，绳索OA位于水平位置，O、B点在同一铅垂线上。试求当绳索OA运动到铅垂位置时，B点的速度和绳索的拉力以及地面的反力。图12-43 (瞬时平动，)动能定理 绳索OA运动到铅垂位置时，质心加速度沿铅垂方向。以C点为基点，分析B点 以C点为基点，分析A点 向y方向由平面运动方程 (1) (2)由(1)+(2)得 由(1)得1224 如图12-44所示，均质杆OA重150N，可绕垂直于图面的光滑水平轴O转动。杆的A端连有刚度系数为k=0.5N/mm的弹簧。在图示位置时，弹簧的变形是100mm，杆的角速度。试求杆转过90时的角速度和角加速度以及轴O的反力。图12-44 动能定理 定轴转动微分方程 或 质心运动定理 1225 图12-45所示为放在水平面内的曲柄滑道机构。曲柄OA长为l,质量为m1，视为的匀质直杆。丁字形滑道连杆BCD的质量为m2，对称于x轴。在曲柄上施加有一力偶，其力偶矩为M。设开始时0=0，=0，试求当曲柄与x轴夹角为时，曲柄的角速度、角加速度及滑块A对槽面的压力。摩擦和滑块质量均不计。图12-45 动能定理 (1) 对式(1)求导曲柄OA，定轴转动微分方程 1226 图12-46所示的三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑动，A和B的质量各为m1与m2，三棱柱B的斜面与水平面成角。如开始时物体系静止，不计摩擦。试求运动时三棱柱B的加速度。图12-46 动量守恒 ，开始静止， 有 (1)对时间求导 (2)动能定理 对时间求导 将式(1)、(2)代入上式，得 1227 物A质量为m1，沿楔状物D的斜面下降，同时借绕过定滑轮C的绳使质量为m2的物体B上升，如图12-47所示。斜面与水平成角，滑轮和绳的质量及一切摩擦均略去