历届北方数学奥林匹克试题

1、北方数学奥林匹克 目录目录 2005 年北方数学奥林匹克 . 2 2006 年北方数学奥林匹克 . 4 2007 年北方数学奥林匹克 . 6 2008 年北方数学奥林匹克 . 7 2009 年北方数学奥林匹克 . 10 2010 年北方数学奥林匹克 . 13 2011 年北方数学奥林匹克 . 15 2012 年北方数学奥林匹克 . 17 北方数学奥林匹克 20052005 年年北方数学奥林匹克北方数学奥林匹克 1. AB 是O 的一条弦，它的中点为 M，过点 M 作一条非直径的弦CD，过点 C 和 D 作O 的两条切线，分别与直线 AB 相交于 P、Q两点.求证：PA=QB. （裘宗沪 供题） 2. 定义在 R 上的函数()满足： （1） (0) = 0; （2） 对任意 (,1) (1,+)， 都有1 + 1 = (+1+)； （3） 当 (1,0)时，都有() 0.求证：119 + 129 + +12+7+11 (12)，其中 +. （刘贵 谭祖春 供题） 3. 在公差为( 0)的整数等差数列1,2,3( 2)中，任取n+2 个数.证明：其中必存在两个数、( )，满足不等式1 ，

2、+ = 1，E、F 分别是 AB、AC 延长线上的点，且满足 = = 90. （1） 求证： + = ； （2） 设的平分线与 EF 交于点 P，求证：CP 平分. 图 1 （刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题） 3. 已知有 26 个互不相等的正整数， 其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除. （张同君 供题） 4. 船长和三位水手共得到 2009 枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手 1、水手 2、水手 3 每人写下一个正整PFEABC北方数学奥林匹克 数分别为1、2、3，满足1 2 3，且1+ 2+3= 2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将 2009 枚金币分成 3 堆，各堆数量分别为1、2、3，且1 2 3.对于水手( = 1,2,3)，当0， 且2+ 2+ 2= 3， 求证： 20092008(1)+12( + + ). （杨海滨 贾应红 供题） 7. 记为不超过实数 m 的最大整数.设 x、y 均为正实数，且对所有的正整数 n，都有 = 1成立.证明 xy=1，且 y 是大于 1 的无Q

3、OBCAP北方数学奥林匹克 理数. （刘康宁 供题） 8. 求能被 209 整除且各位数字之和等于 209 的最小正整数. （张 雷 供题） 北方数学奥林匹克 20102010 年年北方北方数学数学奥林匹克奥林匹克 1. 已知数列满足1= 2，= 221+ 22( = 2,3,).求通项( = 1,2,). （吴树勋 供题） 2. 已知 PA、PB 是O 的切线，切点分别是 A、B，PCD 是O 的一条割线，过点 C 作 PA 的平行线，分别交弦 AB、AD 于点 E、F.求证： = . （李新焕 供题） 3. 求所有的正整数(,)，使得1 + 2 3= 5成立. （张 雷 供题） 4. 在7 7的方格表的 64 个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放 1 枚，一共放了 k 枚棋子.若无论怎样放，总存在 4 枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求 k 的最小值. （张利民 供题） 5. 设正实数 a、b、c 满足( + 2)( + 2) = 9. 求证：2+22+ 23+323 3. （张 雷 供题） 6. 已知O 是ABC 的内切圆，

4、D、E、N 是切点，连结 NO 并延长交 DE 于点 K， 连结 AK 并延长交 BC 于点 M.求证： M 是 BD 的中点. （康春波 供题） 北方数学奥林匹克 7. 求, = (,) + (,) + (,)满足 ,(,) = 1的所以正整数解，其中，,和(,)分别表示正整数 m、n 的最小公倍数和最大公约数. （王 全 供题） 8. 设、 0,1，且| | 12，| | 12，| | 12.试求 = + + 的最小值和最大值. （刘康宁 安振平 供题） 北方数学奥林匹克 20112011 年年北方数学奥林匹克北方数学奥林匹克 1. 已知数列的通项= (3 + 2)2( +)，设= +1. （1） 试求+2、+1、之间的递推关系； （2） 求2011整数部分的个位数字. （刘洪柱 供题） 2. 如图 1，ABC 的内切圆分别切 BC、CA、AB、于点 D、E、F，P为内切圆内一点，线段 PA、PB、PC 分别于内切圆交于点 X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF 三线共点. 图 1 （徐庆金 供题） 3. 求不定方程1 + 2 7= 2的全部正整数解(,). （翁世有 供题） 4. 设

5、 n 个集合1,2,是集合 = 1,2,29的一个分划，且( = 1,2,)中任意个元素之和都不等于 30.求 n 的最小可能值. 【 注 】 若 集 合 A 的 非 空 子 集 1,2,( +, 2) 满 足 = ( )，1 2 = ，则称1,2,是集合A 的一个分划. （张 雷 供题） ZYXDEFIABC北方数学奥林匹克 5. 若正整数 a、b、c 满足2+2= 2，则称(,)为勾股数组.求含有 30 的所有勾股数组. （杨春宏 供题） 6. 如图 2，过点 P 引的切线 PA 和割线 PBC， ，垂足为 D.证明：AC 是ABD 外接圆的切线. 图 2 （吕建恒 供题） 7. 在ABC 中，证明：11+2+2+11+2+2+11+2+2 2. （安振平 供题） 8. 已知 n 是正整数，实数 x 满足 1 |2 |( 1) | | = . 求 x 的值. （张利民 供题） DBAOPC北方数学奥林匹克 20122012 年年北方数学奥林匹克北方数学奥林匹克 1. 如图 1，在ABC 中， = 90，I 是内心.直线 BI 交 AC 于 D，作 DE 平行于 AI 交 BC 于

6、E， 直线 EI 交 AB 于 F.证明： DF 垂直于 AI. 图 1 2. 正整数1,2,( +)，满足12+ 22+ + 2= 111，求 =1+2+的最大可能值. 3. 设 = | = 2+ + 2, .求证： (1) 若 ,3|，则3 ； (2) 若, ，则 . 4. 平面上有( 4)条直线，对于直线 a，b，在余下的 n-2 条直线中，如果至少存在两条直线与直线 a，b 都相交，则称直线 a，b 是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若 n 条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多 2012.求 n 的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）. 5. 已知数列:0= 0,=112, +，在数列中任意取定一项，构造数列:0= ,=21+11, +.试判断数列是有限数列还是无穷数列？并给出证明. FEDIBCA北方数学奥林匹克 6. 设 n 是正整数，证明 1 +131 +1321 +13 AE，若 = ，且=，求证：AC 平分线段 BE. 图 2 8. 设 p 是奇素数，如果存在正整数 a 使!|+ 1，证明： (1) + 1,+1+1 = . (2) +1+1没有小于的素因子. !| + 1. AEBCD

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